漢簡《算數(shù)書》“少廣術(shù)”求最小公倍數(shù)法

周序林，張顯成，何均洪

(1.西南民族大學(xué)中國語言文學(xué)學(xué)院，四川 成都610041；2.西南大學(xué)漢語言文獻(xiàn)研究所，重慶 北碚400715；3.中國民用航空飛行學(xué)院大飛機(jī)學(xué)院，四川 廣漢618307)

1 問題的提出

《九章算術(shù)》有“少廣”章.(唐)李籍認(rèn)為:“廣少，縱多，截縱之多，益廣之少，故曰少廣.”[1](唐)李淳風(fēng)認(rèn)為:“一畝之田，廣一步，長二百四十步.今欲截取其縱少，以益其廣，故曰少廣.”[2]可見，“少廣”指在田面積1畝不變的情況下，田寬在1步的基礎(chǔ)上有少量增長時(shí)求田的長度.《九章算術(shù)》“少廣”章有關(guān)例題的田寬可表示為步(n＝2，3，…，12).“少廣”算題需要對(duì)田寬諸分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分.《九章算術(shù)》“合分術(shù)”本有“母相乘”的通分方法[2].(唐)李淳風(fēng)指出這種通分法的缺點(diǎn)是“列數(shù)尤多”“算數(shù)至繁”，因此特制少廣術(shù)“從省約”[2].《九章算術(shù)》“少廣術(shù)”求田寬諸分母公倍數(shù)的方法是:

置全步及分母子，以最下分母徧乘諸分子及全步，各以其母除其子，置之于左；命通分者，又以分母徧乘諸分子及已通者，皆通而同之.[2]

此法只要遵循“能除則除，能約則約”的原則，就能算得諸分母的最小公倍數(shù).

出土漢簡《算數(shù)書》簡164―165也載有“少廣術(shù)”[3]，我們依據(jù)竹簡紅外線圖版將該術(shù)簡文整理如下(簡體行文，均用通用字，簡文符號(hào)略):“投少廣之術(shù)曰:先置廣，即曰，下有若干步，以一為若干，以半為若干，以三分為若干，積分以盡所投分，同之以為法.即藉置田二百四十步，亦以一為若干以為積步，除，積步如法得縱一步，不盈步者，以法命其分.”

學(xué)界普遍認(rèn)為，《算數(shù)書》“少廣術(shù)”沒有求最小公倍數(shù)的算法[4－8].我們認(rèn)為，這是對(duì)《算數(shù)書》“少廣術(shù)”的誤解，造成這種誤解的主要原因是對(duì)術(shù)文(尤其是“積分以盡所投分”)理解有誤[3，5，9－12]和對(duì)《算數(shù)書》的文獻(xiàn)性質(zhì)認(rèn)識(shí)不足.我們認(rèn)為《算數(shù)書》“少廣術(shù)”有求最小公倍數(shù)的算法，講述這一算法的術(shù)文是:“先置廣，即曰，下有若干步，以一為若干，以半為若干，以三分為若干，積分以盡所投分.”下文將對(duì)此算法進(jìn)行分析.

2 《算數(shù)書》“少廣術(shù)”新解

現(xiàn)將《算數(shù)書》和《九章算術(shù)》“少廣術(shù)”求最小公倍數(shù)算法的術(shù)文分解并對(duì)比如表1，觀察二者是否存在對(duì)應(yīng)關(guān)系.

表1 《九章算術(shù)》與《算數(shù)書》“少廣術(shù)”最小公倍數(shù)算法術(shù)文對(duì)比Table 1 Comparison between the methods for finding LCM in the Jiuzhang suanshu and the Suanshu shu

圖1 設(shè)置田廣Fig.1 Putting down the width of a field on the counting board

步驟2:以最下分母為例演示如何化分?jǐn)?shù)為整數(shù)，分以下三個(gè)步驟進(jìn)行.

其中，步驟2(a)中“最下分母”指位于籌算板最下面的那個(gè)分母n，“以最下分母徧乘諸分子及全步”指用n分別乘以田廣步中的全步1和每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子，如圖2右列.簡文“下有若干步”指位于籌算板最下面的步數(shù)(即步)；簡文“以一為若干，以半為若干，以三分為若干”中的“一”“半”“三分”為不完全例舉，其后還有若干個(gè)分?jǐn)?shù)，直至；古算表達(dá)方式“以a為若干”指“某數(shù)乘以a得若干”；整句簡文指用n分別乘以田廣步中每一個(gè)數(shù)，如圖2右列.顯然，《九章算術(shù)》相較《算數(shù)書》而言，表達(dá)方式更加概括、抽象.

圖2 最下分母n乘全步及諸分子Fig.2 Multiplying the width by the denominator at the bottom of the counting board

步驟2(b)中“各以其母除其子”指步驟2(a)中最下分母n與田廣諸分子的乘積除以各自的分母(如圖2左列)，即:只要貫徹“能除則除”“能約則約”的原則，就可以確保最終算得最小公倍數(shù).《算數(shù)書》沒有表達(dá)“能除則除”“能約則約”的術(shù)文.《算數(shù)書》在“少廣術(shù)”后面有9個(gè)“少廣”例題[9]，演算這些例題時(shí)發(fā)現(xiàn)，圖2右列的運(yùn)算中存在“可除”“可約”的可能，現(xiàn)將其次數(shù)、分布狀況和所得公倍數(shù)統(tǒng)計(jì)如表2.

表2 《算數(shù)書》“少廣”例題中“可除”“可約”次數(shù)及所得公倍數(shù)Table 2 The number of times of dividing and fraction－simplifying when finding LCM in the 9 Shaoguang problems in the Suanshu shu

這9個(gè)例題共有45次“可除”和7次“可約”，各例題所得公倍數(shù)均為最小公倍數(shù).可見，《算數(shù)書》“少廣”算題在分母乘全步和諸分子的過程中，都遵循了“可除則除”“可約則約”的原則，從而算得了諸分母的最小公倍數(shù).此外，《算數(shù)書》還將“少廣術(shù)”求最小公倍數(shù)法應(yīng)用于非“少廣”類算題，如“徑分”“石率”“賈鹽”“米出錢”算題[9]，這時(shí)同樣嚴(yán)格遵循了“可除則除”“可約則約”的原則.相反，《九章算術(shù)》沒有嚴(yán)格遵循這一原則，例如，1＋＝6，12)的最小公倍數(shù)應(yīng)該分別是60和27，720，但《九章算術(shù)》“少廣”第5和第11例題分別算得120和83，160[2].為什么這兩個(gè)例題沒有遵循此原則尚待進(jìn)一步研究.

步驟2(c)“置之于左”指把步驟2(a)、2(b)所得之?dāng)?shù)設(shè)置在左側(cè)，如圖2左列.《算數(shù)書》無此表達(dá)，但不影響計(jì)算結(jié)果.

步驟3:如何把其余分?jǐn)?shù)化為整數(shù).《九章算術(shù)》術(shù)文“命通分者，又以分母徧乘諸分子及已通者，皆通而同之”講述如何把其余分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，方法是:逐次以分母乘整數(shù)和各分子，直至所有分?jǐn)?shù)化為整數(shù)為止[13].我們認(rèn)為，《算數(shù)書》術(shù)文“積分以盡所投分”講述了相同方法.理解這條術(shù)文的關(guān)鍵是“積分”的含義.劉徽在《九章算術(shù)·方田》“徑分術(shù)”中講如何將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)時(shí)論及“分母乘全……散全則為積分[2]”，白尚恕(1983)認(rèn)為劉徽稱“分母乘全”為“積分”[13].“積分”指帶分?jǐn)?shù)的分母乘以帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)，可引申指由這種乘法運(yùn)算所得的乘積.就“少廣術(shù)”田廣(1＋中分?jǐn)?shù)構(gòu)成的特殊性而言，“分母”在“乘全”的同時(shí)還需要乘諸分?jǐn)?shù)，因此《算數(shù)書》“少廣術(shù)”中的“積分”指分母乘以整數(shù)以及諸分子.可見，《算數(shù)書》術(shù)文“積分”與《九章算術(shù)》術(shù)文“又以分母徧乘諸分子及已通者”含義相同.此外，《算數(shù)書》術(shù)文“盡”意為“化盡”，“投”意為“計(jì)算”，“所投分”指所需要計(jì)算的分?jǐn)?shù)，即田廣(1＋ 12步中的).因此“以盡所投分”意為:以把中所有分?jǐn)?shù)化為整數(shù)，這與《九章算術(shù)》術(shù)文“皆通而同之”表達(dá)的意思相同.

綜上，《算數(shù)書》“少廣術(shù)”術(shù)文“先置廣，即曰，下有若干步，以一為若干，以半為若干，以三分為若干，積分以盡所投分”除兩處省略外(見表1)，其余均與《九章算術(shù)》“少廣術(shù)”相關(guān)術(shù)文呈對(duì)應(yīng)關(guān)系，其內(nèi)容可概括為:在籌算板上設(shè)置田廣)步，然后以最下分母n為例演示如何把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，最后講述如何化其余分?jǐn)?shù)為整數(shù).術(shù)文省略但嚴(yán)格遵循了“可除則除”“可約則約”的原則.

3 “可除則除”“可約則約”原則省略的原因

“少廣術(shù)”只要堅(jiān)持“可除則除”“可約則約”的原則，就可以求得最小公倍數(shù).《算數(shù)書》嚴(yán)格地遵循了這一原則，但為什么這一原則在術(shù)文中沒有出現(xiàn)呢?這與《算數(shù)書》的文獻(xiàn)性質(zhì)有關(guān).鄒大海(2001)認(rèn)為《算數(shù)書》的性質(zhì)是一本“不大成系統(tǒng)的撮編之書”[4].因此《算數(shù)書》的語言表達(dá)還不夠規(guī)范統(tǒng)一，常有省略與簡省，其情形有三.第一是上文出現(xiàn)過的簡文，如果在相同語境中再次出現(xiàn)，則往往省略.如“狐皮”算題簡36―37“狐出十二七十二分十一，貍出八〔七十二〕分卌九，犬出四〔七十二〕分十二”[10]，其中〔七十二〕就是承上省略的簡文.第二是程序化的表達(dá)法往往采用簡省形式，如《算數(shù)書》描述做除法的程序，完整的表達(dá)如“婦織”算題簡56“……以為法，……以為實(shí)，如法而一尺，不盈尺者，以法命分”[10]，往往簡省為如“傳馬”算題簡53“以……為法，以……為實(shí)”[10]，甚至簡省為如“程竹”算題簡70、71“以……為法”[10]，因?yàn)樵诠湃丝磥?，只要看到“以為法”就知道需要做除法運(yùn)算了，故采用簡省的表達(dá)而不需費(fèi)盡筆墨完整地表達(dá)整個(gè)程序.《算數(shù)書》中這種簡省的形式，正如鄒大海(2001)所言:“一些簡省的表述說明《算數(shù)書》是在羅列一些已有的方法、算題或利用已有的方法解決應(yīng)用問題:換句話說，《算數(shù)書》中這些部分的方法是早已有之的.”[4]三是常識(shí)性知識(shí)的省略，如圓周率取值為3和“方五斜七”，這些知識(shí)在古人看來是常識(shí)，因此在《算數(shù)書》中沒有必要交代，而是直接運(yùn)用.這類省略對(duì)于現(xiàn)代的讀者來說比較隱晦，需要從算題的數(shù)據(jù)中尋找蛛絲馬跡.

根據(jù)以上三種省略，結(jié)合前文對(duì)“少廣術(shù)”的分析，我們可以得出三個(gè)結(jié)論.一是“少廣”例題都承術(shù)文省略了最小公倍數(shù)的計(jì)算過程而直接使用最小公倍數(shù)進(jìn)行通分.如例題((n＝4)省略了計(jì)算最小公倍數(shù)12的過程，而直接使用最小公倍數(shù)12進(jìn)行通分.二是“少廣術(shù)”是“早已有之”的算法.不僅如此，它還為人們熟悉并廣泛運(yùn)用(見上文).正因?yàn)椤吧購V術(shù)”是“早已有之”、為人熟悉并廣泛運(yùn)用的算法，它才能以簡省的形式出現(xiàn)(即省略“可除則除”“可約則約”).三是所省略的“可除則除”“可約則約”是常識(shí)性知識(shí)，以至于在用“少廣術(shù)”求最小公倍數(shù)的計(jì)算過程中，不需要明言這一原則，古人都會(huì)一貫地、嚴(yán)格地執(zhí)行.

4 結(jié)論

《算數(shù)書》“少廣術(shù)”計(jì)算最小公倍數(shù)的方法是，分別用田廣(1＋)的諸分母(從n開始)逐次乘以全步1及諸分子，遵循“可除則除”“可約則約”的原則，全步1的積分就是諸分母的最小公倍數(shù).

《算數(shù)書》成書年代的下限為公元前186年[9]，那么，求最小公倍數(shù)算法至少在公元前186年已經(jīng)成熟.比成書于公元一世紀(jì)的《九章算術(shù)》[14]提前了至少200年，可能接近甚至早于《幾何原本》求最小公倍數(shù)算法的時(shí)間.這在中國乃至世界數(shù)學(xué)史上都具有重要意義.