以“一題”變“一型”，于“無形”中尋“有型”

朱錚誼

【摘? ?要】變式教學是我國傳統(tǒng)數(shù)學教學中值得保留的重要經(jīng)驗。新一代教師尤其要關注：課堂教學中要變“以‘一題說‘一題”為“以‘一題變‘一型”，變“以教師講題”為“學生論題”。進行變式教學時，教師需掌握教材習題的知識內在邏輯順序，從學生的認知水平出發(fā)，在不改變問題本質的前提下，變換問題的條件、結論、形式，形成由一題多解向多題一解轉化的教學回路，使問題有“型”可尋，給學生減負，給教師減壓。

【關鍵詞】無形;變式;有型;一題多變;多題一解

學生在數(shù)學學習的過程中會遇見各式各樣的問題，但很多時候，表面上看起來紛繁復雜的問題，其核心往往就是一些基本的數(shù)學概念、數(shù)學模型。通過一道題介紹一類題，讓學生在變式練習中提高解題能力，是我國數(shù)學教學中值得保留的重要經(jīng)驗。教學中教師應關注：變“以‘一題說‘一題”為“以‘一題變‘一型”，變“以教師講題”為“學生論題”。高效的變式教學可以有效提高學生解決問題的能力，變“雙負”為“雙贏”。

下面以一道關于周長的習題為例，談談如何利用變式教學有效提高學生解決問題的能力。

圖1是由6個邊長為1厘米的小正方形擺成的，如果把5號小正方形拿走，這個圖形的周長和原來長方形的周長相比（? ? ?）。

A.減少1厘米? ? B.增加2厘米? ? C.增加3厘米

這道題涉及的知識點并不難，又有具體的圖形支撐，看起來只需要在頭腦中“拿掉”5號小正方形，數(shù)數(shù)線段數(shù)就能得到答案，對三年級學生來講應該不難。但在一次測試中，兩個班90名學生中僅有21名學生答對了本題。為探究學生的思維過程，以便改進教學，筆者從以下三個問題入手，進行了思考與研究：（1）在解決這個問題前，學生已有的經(jīng)驗有什么？（2）學生是如何解答問題的？（3）教師如何組織課堂變式教學，才能讓學生清晰地明確這類問題的解題思路？

一、對學生的已有經(jīng)驗的探尋

本題所考查的內容是“長方形和正方形的周長計算”，在做本題前學生已有了一些相關的知識經(jīng)驗：（1）知道了長方形周長的計算方法;（2）知道可以通過用“數(shù)”和“平移”的方法求不規(guī)則圖形的周長。

學生在練習中遇到過類似的問題，如：

1.拆分后求周長的問題。

把一個長2厘米、寬1厘米的長方形，分成兩個邊長為1厘米的小正方形，此時的周長與原來相比（? ? ?）。

A.增加了1厘米 B.減少了2厘米 C.增加了2厘米

2.平移后求周長的問題。

如圖2所示，螞蟻從A出發(fā)與從B出發(fā)找食物，走過的路（? ?）。

A.A更近 B.B更近 C.一樣近

二、對學生如何解答問題的分析

開展高效的變式教學，教師應先清楚學生是怎樣想的，再決定教什么。為了便于分析，對90名學生解答本題的情況進行了統(tǒng)計。選擇正確答案B的學生有21人，占總人數(shù)的23.3%;選擇錯誤的學生中，選答案A的是16人，占17.8%，選答案C的是53人，占58.9%。

通過訪談了解學生解決問題時的思維過程大致如下。

1.利用平移的經(jīng)驗解決問題。將5號小正方形上面的1條邊平移到下面后可以發(fā)現(xiàn)，去掉5號小正方形的圖形與原圖相比多了5號小正方形左右兩條邊，也就是多了2厘米。

2.借助數(shù)周長的經(jīng)驗解決問題。先數(shù)出原長方形的周長為10厘米，再數(shù)出拿走5號小正方形后的周長為12厘米，12厘米-10厘米=2厘米。

3.去掉5號小正方形后多出來了3條邊，所以周長增加了3厘米。

前2種思考都是正確的，可以解決問題。而第3種思考只關注到“拿走的部分”信息，沒能從整體思考，因此得到的是錯誤答案。

三、對教師如何組織教學的思考

借助從一道題變一類題的變式教學，可以有效幫助教師解決教學中的難點問題。以本題為例，結合四個策略談一談如何組織有效的變式教學。

（一）以錯喚思，初探問題

從前面的測試開始。課堂上先組織學生看錯例，分析選C的同學是怎樣想的，經(jīng)過集體交流，引導學生發(fā)現(xiàn)：去掉5號小正方形后多出了3條邊，所以選C的同學認為周長比原來增加了3厘米，沒有考慮到拿走5號小正方形后，下面的一條邊減少了1厘米的周長。

分析完錯例后，組織學生積極展示自己的想法，多樣化的思維碰撞一觸即發(fā)。學生中又多了1種想法：拿走5號小正方形后多了3條邊，但少了5號小正方形下面的1條邊，3-1=2厘米。

一道數(shù)學題可以有多種解題方法，一題多解可以有效發(fā)散學生的思維。思維發(fā)散出去，再聚攏回來，形成由一題多解向多題一解轉化的教學回路，使思維聚焦問題本質，達到以不變應萬變的解題高度。

（二）以變促思，深入探究

變式教學強調學生對知識內在聯(lián)系的認知，意在拓寬思路、發(fā)展智力。教師可由淺入深、循序漸進地將問題一步步分解，滿足不同層次學生的需求，啟發(fā)學生進行歸納總結。課堂上教師通過三次變式教學，引導學生從不斷變化的“形”中找到不變的“型”。

變式一：

圖3是由6個邊長為1厘米的小正方形擺成的，如果把2號小正方形拿走，這個圖形的周長和原來長方形的周長相比（? ? ）。

（設計意圖：引導學生發(fā)現(xiàn)拿走中間2、5的共同之處，初步感知無“形” 中的有“型”。）

課堂教學組織：先組織學生獨立思考，再組織集體交流反饋，最后組織四人小組討論：拿走2號或5號小正方形后為什么周長都增加了2厘米？引導學生發(fā)現(xiàn)2號、5號都是中間的小正方形，因此拿走后周長增加了3條邊，同時減少了1條邊，最后周長都增加了2厘米。

變式二：

圖4是由6個邊長為1厘米的小正方形擺成的，如果把6號小正方形拿走，這個圖形的周長和原來長方形的周長相比（? ? ）。

（設計意圖：拿走一個小正方形的情況其實只有兩類，拿走中間的2號、5號和拿走角上的1號、3號、4號、6號。在對比完變式一后，再來對比變式二，學生利用之前的學習經(jīng)驗，更易發(fā)現(xiàn)拿走1號、3號、4號、6號的相同點。）

課堂教學組織：先組織學生獨立思考，再引導學生比較拿走6號和拿走5號的不同，在對比中深化理解，最后組織學生進一步思考：要使周長不變，只拿走一個小正方形還可以怎么拿？引導學生發(fā)現(xiàn)拿走1號、3號、4號、6號這四個角上的小正方形，都是在多了兩條邊的同時又少了兩條邊，因此拿走后周長是不變的。

變式三：

圖5是由6個邊長1厘米的小正方形擺成的，如果把3號和5號小正方形拿走，這個圖形的周長和原來長方形的周長相比（? ? ）。

（設計意圖：拓展學生思維，打破只拿走一個小正方形的思維限制，使問題變得更靈活、更有趣，有助于學生深入探究變與不變的本質，同時為接下來的自主改編習題環(huán)節(jié)提供支架。）

課堂教學組織：組織學生與變式二進行比較。找相同：引導學生發(fā)現(xiàn)變式二和變式三都是拿走了一個角上的小正方形，這時周長沒變;找不同：引導學生發(fā)現(xiàn)變式三比變式二多拿走了一個中間的小正方形，因此拿走3號和5號小正方形后周長增加了2厘米。

多層次、多樣化的變式教學可以深化學生對同一類問題的理解，教師引導學生發(fā)現(xiàn)不同問題間的內在聯(lián)系，找到同一類問題的統(tǒng)一解題方法，聚焦問題本質。教師在設計變式時需注意知識之間的聯(lián)系，使問題具有延展性，有思維容量、有思維深刻性的變式，留給學生更多的思維空間。

（三）以創(chuàng)構思，活化應用

許多問題教師明明教過，但條件變一變學生又做錯了，這說明學生對于一類題型的思維方式未能有效內化。因此在變式后可以讓學生自己來創(chuàng)造問題，改變題干中的已知條件等，這樣的教學形式可以多維度測試學生對數(shù)學知識的掌握情況，幫助學生更加靈活地應用所學的知識。

課堂上學生創(chuàng)造的題目主要分為四類：第一類，“拿走角落上的某兩個小正方形，求剩下圖形的周長”。如“拿走2號和3號”“拿走1號和6號”“拿走1號和3號”等。問題提出后，學生通過討論交流，很快發(fā)現(xiàn)這三題在拿走圖形后周長與原來周長相比是不變的。教師適時追問：為什么拿走的小正方形不同，但最后周長都不變？學生發(fā)現(xiàn)：都是拿走了角上的。第二類，“拿走一個中間和一個不相鄰的角上的某兩個小正方形，求剩下圖形的周長”。如“拿走2號和6號”，學生會發(fā)現(xiàn)本題與變式三相似，都是拿走了一個中間的小正方形和一個角上的小正方形。此時教師追問：為什么拿走2號和3號都是拿走一個角上的小正方形和一個中間的小正方形，最后結果卻不一樣？經(jīng)過交流討論，學生發(fā)現(xiàn)，2號和3號是相鄰的，2號和6號是不相鄰的，2號和3號可以看成一個整體，就是拿走了一個角。第三類問題有了拓展的雛形，如“拿走任意兩個小正方形，答案可能有多少種？”“拿走任意三個小正方形，圖形的周長能保持不變嗎？如果能，怎么拿？”第四類問題更加開放，如“有25個小正方形擺成了一個大正方形，從中任意拿走三個，怎么拿周長會保持不變？怎么拿周長會增加？”等等。學生在這樣的延伸思考中更加深入地理解知識，真正地從“一題”走向了“一型”。

上述課堂變式教學的組織形式，改變的不僅僅是問題的條件、結論，還改變了教授形式，做到了以生為本，課堂上學生主動參與其中，積極思考，深入探究，在總結、歸納中找到了這一類問題中不變的“型”。這樣的變式教學，使得學生解決問題的能力得以全面提升。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]余文森.核心素養(yǎng)導向的課堂教學[M].上海：上海教育出版社，2017.

[3]陳理宣.論知識的結構形式選擇與知識的教育形式生成[J].課程·教材·教法，2014（11）.

[4]趙小平，張福生，鄒一心.隨機思想·歸納推理·問題開放：九年制義務教育“統(tǒng)計”知識學習的比較研究之二[J].數(shù)學教學，1999（2）.

[5]布魯納.教育過程[M].邵瑞珍，譯.北京：文化教育出版社，1982.

（浙江省海寧市南苑小學? ?314400）