四種策略，助學生真理解

林小紅

【摘? ?要】“雞兔同籠”問題是生動有趣的古代數(shù)學名題，是讓師生感受我國古代璀璨的數(shù)學文化，厚植民族文化自信的好素材。但同時，由于這個問題本身涉及“頭數(shù)”“腳數(shù)”兩個變量，內容比較抽象，學生理解起來并不容易。教學中教師可以運用多種策略，引導學生深刻體會題目中蘊含的數(shù)學思想方法，讓他們在理解解決問題的不同方法時促進其思維發(fā)展。

【關鍵詞】雞兔同籠;教學策略;學生理解

人教版教材原來將“雞兔同籠”問題編排在六年級上冊，現(xiàn)編排在四年級下冊“數(shù)學廣角”中，這個問題雖不太具有實際意義，但能解決生活中的一類問題，可以看作是一種數(shù)學模型。其多樣的解題方法和解法背后的數(shù)學思想方法是訓練學生數(shù)學思維的重要載體。本節(jié)課對于四年級學生來說，難度還是比較大的。例題用了列表法和假設法解決雞兔同籠問題，但學生在還沒有學習列方程之前，對于假設法感到比較抽象、難理解。學生在學習過程中，常會出現(xiàn)以下盲點與瓶頸：其一，算理不清。學生會用假設法列出算式解答“雞兔同籠”問題，但說不清楚每一步算式表示什么（即算理）。其二，雞兔混淆。假設全是雞（或兔），學生不知道先求出的是雞的只數(shù)還是兔的只數(shù)。其三，只知雞兔，不能學以致用。學生不能根據(jù)已學的知識類比聯(lián)想、舉一反三地去解答生活中的實際問題。

教學中，教師常常讓學生死記：假設全是雞，那么先算出的就是兔的只數(shù);假設全是兔，那么先算出的就是雞的只數(shù)。學生雖然記住了，但說不出所以然，也不會類比遷移解決實際生活中類似的問題，并不是真理解。教師可以從以下幾點著手，解決學生學習中的盲點和瓶頸，幫助其實現(xiàn)真正意義上的理解。

一、重直觀

“雞兔同籠”問題比較抽象，而四年級學生往往以具體形象思維為主，抽象思維能力還偏弱。教師在教學中使用直觀教具，如實物、畫圖、表格等，可以很好地幫助學生理解所學知識。

如“雞兔同籠，數(shù)頭有8個，數(shù)腳有26只。問雞和兔各幾只？”如果教師直接讓學生用假設法解題，學生難免感到力不從心。教師可以先讓學生借助圓片（代表“頭”）、小棒（代表“腳”）動手擺一擺，動口說一說，邊擺邊說;也可以引導學生畫一畫，畫圓代表“頭”，畫線代表“腳”;或用列表的方法，從“如果是8只雞，0只兔……”開始推算，依次減少雞（或兔）增加兔（或雞），直到頭數(shù)、腳數(shù)與已知條件吻合為止。

年齡越小的學生思考問題時越需要借助具體形象的直觀圖形作為支撐。畫圖和列表是假設法的“具體化”，是解決“雞兔同籠”問題的基礎。教師可以借此幫助學生理解問題，培養(yǎng)學生有序思考的能力，發(fā)展思維。

二、明算理

數(shù)學語言表達能力是思維能力的體現(xiàn)。要讓學生真正理解“雞兔同籠”問題中的每一步算式表示什么，就必須讓學生明晰運算的道理，理解透徹并表達出來，說明白、說通透。

如“雞和兔關在一起，數(shù)頭有16個，數(shù)腳有44只。問雞和兔各多少只？”教師可以針對解決問題過程中的算式引導學生說理。如果假設16只全是雞，那么每一步算式中的道理如下。

算式1：2 × 16 = 32（只）（每只雞2只腳，16只雞一共32只腳）

算式2：44 - 32 = 12（只）（32只腳比實際題中的44只腳少了12只腳）

算式3：4–2 = 2（只）（兔子4只腳，全看成雞只有2只腳，這樣每只兔就少算了2只腳）

算式4：12÷2 = 6（只）（一只兔子少算2只腳，少算12只腳就有6只兔）

算式5：16 - 6 = 10（只）（總數(shù)有16只，現(xiàn)在知道有6只兔子，剩下的10只就是雞了）

所以，兔有6只，雞有10只。

學生通過多種形式的表達，以“說”促“思”，加深了對所學知識的理解，培養(yǎng)了良好的思維品質。

三、揭本質

解決“雞兔同籠”問題，可以使用假設法、畫圖法、列表法等策略，它們不是孤立存在的，而是互有聯(lián)系的。教師應引導學生尋找畫圖、列表、假設三者之間的本質聯(lián)系，利用畫圖法、列表法的直觀性，幫助學生理解抽象的假設法。

教師可以引導學生思考和尋找：（1）從畫圖法里，你能找到假設法中每一步算式的影子嗎？（2）從列表法里，你能找到假設法中每一步算式的影子嗎？

這樣尋找假設法與畫圖法、列表法之間的聯(lián)系，讓學生明白：畫圖法、列表法本質上就是假設法的一種形式。畫圖時，每個頭下面畫2只腳，就是“假設全是雞”;列表時，從“雞8只、兔0只、腳16只”開始推算，也就是“假設全是雞”。假設全是雞或兔，是從最特殊的情況入手，是解決數(shù)學問題的常用策略。其共同的數(shù)學實質是在兩個已知條件中先滿足一個條件，通過調換，再滿足另一個條件。學生運用數(shù)形結合的方式，用畫圖、列表的方法來理解每一步算式的意義，從畫圖、列表中得出答案，嘗試用算式表達思維的過程，讓“雞兔同籠”的理解變得更深刻。這樣，各種方法就實現(xiàn)了聯(lián)系與整合。

教師引導學生發(fā)現(xiàn)，畫圖法、列表法雖然看起來是不同的方法，但本質上是一致的，它們是假設法的不同體現(xiàn)，經(jīng)歷的都是“假設—比較—調換”的思維過程。這樣的引導讓學生對假設法有更深刻的認識，即借“畫圖”的直觀、“列表”的有序，來理解“假設”的抽象，幫助學生實現(xiàn)真正意義上的理解。

四、巧遷移

“雞兔同籠”是一種模型。模型思想是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。而類推遷移則有助于學生理解“雞兔同籠”的模型思想，深度理解知識本質，促進知識內化、發(fā)展，提高問題解決的能力。

學習“雞兔同籠”例題后，教師要引導學生在做習題中類比遷移，鞏固用假設法解決“雞兔同籠”問題的方法，從中感悟、體會雞兔同籠中蘊含的模型和思想方法，學會運用這種思想方法解決生活中的類似問題。如鈔票問題：信封里有2元和5元的鈔票，共8張，34元。兩種鈔票各多少張？

教師可先引導學生分析：2元相當于“雞”，5元相當于“兔”，并做如下對比（如圖1）。再引導學生遷移拓展，讓學生明晰“鈔票問題”“龜鶴問題”“植樹問題”“租船問題”“投籃問題”“抽獎問題”“搶答問題”等的解題思路、過程和方法與解決“雞兔同籠”問題相同，讓學生明白“雞兔同籠”問題不一定真的有“雞兔”，也不一定真的“同籠”，從而促進學生遷移類推，構建模型。

實踐證明，教學“雞兔同籠”問題時，運用“重直觀、明算理、揭本質、巧遷移”等多種策略，能有效幫助學生理解“雞兔同籠”問題，深刻體會其中蘊含的數(shù)學思想方法，厚植民族文化自信。在學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋和應用的過程中，其思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面能得到進步和發(fā)展。

（福建省上杭縣城南小學? ?364200）