關(guān)注結(jié)構(gòu)建立 促進(jìn)思維生長

卞航萍

【摘? ?要】復(fù)習(xí)不是簡單的重復(fù)學(xué)習(xí)，總復(fù)習(xí)更需要關(guān)注學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的建立，促進(jìn)學(xué)生思維的生長。為此，教師需要對(duì)小學(xué)階段相關(guān)內(nèi)容的教材進(jìn)行整體梳理，對(duì)學(xué)生的學(xué)情進(jìn)行細(xì)致分析，進(jìn)而有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。圍繞“立體圖形體積”總復(fù)習(xí)，對(duì)教材進(jìn)行重新組合，先幫助學(xué)生整體溝通直柱體體積之間的關(guān)系，再集中呈現(xiàn)圖形的運(yùn)動(dòng)變化過程，以使學(xué)生形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】立體圖形體積;復(fù)習(xí);溝通;圖形變化

復(fù)習(xí)不是簡單的重復(fù)學(xué)習(xí)，總復(fù)習(xí)更需要關(guān)注學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的建立，促進(jìn)學(xué)生思維的生長?！傲Ⅲw圖形的體積”是小學(xué)幾何教學(xué)中的重要內(nèi)容，圍繞這一內(nèi)容進(jìn)行總復(fù)習(xí)需要在梳理教材、分析學(xué)情的基礎(chǔ)上，有針對(duì)性地展開。

一、教材梳理

統(tǒng)觀教材（見圖1），“空間與圖形”的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)被有層次、有梯度地分配到各個(gè)學(xué)段。整體來講，教材編寫遵循由簡單到復(fù)雜、先整體再細(xì)化的基本原則。

學(xué)生需要先整體認(rèn)識(shí)各類圖形，能夠分辨各種圖形的樣子;然后逐步學(xué)習(xí)從特征的角度認(rèn)識(shí)圖形;接著理解點(diǎn)、線、面、體經(jīng)過“運(yùn)動(dòng)變化”，可以產(chǎn)生豐富的圖形變換;理解體體交于面、面面交于線、線線交于點(diǎn)，由此形成多姿多彩的世界，等等。對(duì)各學(xué)段相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行梳理如下。

通過梳理，教師很容易理解教材編寫的邏輯序。但學(xué)生的學(xué)習(xí)是散點(diǎn)式進(jìn)行的，對(duì)于多數(shù)學(xué)生來講，他們很難自發(fā)地將這些點(diǎn)狀的知識(shí)聯(lián)結(jié)起來，形成知識(shí)網(wǎng)。因此，總復(fù)習(xí)階段需要做的最重要的事情不是將學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行簡單的復(fù)習(xí)，而是要從聯(lián)系的角度幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)梳理，搭建知識(shí)結(jié)構(gòu)框架，讓學(xué)生能夠?qū)⑸Ⅻc(diǎn)式的知識(shí)點(diǎn)結(jié)成網(wǎng)，連成片。

二、學(xué)情分析

學(xué)生經(jīng)過六年的學(xué)習(xí)，具有了將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行溝通聯(lián)系的能力，能夠深入理解圖形與圖形，圖形內(nèi)部各組成要素之間的關(guān)系。但實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生的理解停留在形式化階段，主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。

（一）對(duì)計(jì)算公式形式化運(yùn)用，沒有真正理解

通過對(duì)學(xué)生問題解決過程的分析，可以了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度。以“求圖中長方體的體積”（如圖2）這道題為例，對(duì)127名學(xué)生的解答情況進(jìn)行了數(shù)據(jù)梳理（如表1）。

從表1呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)中可以看出，只有不到一半的學(xué)生采用了“底面積乘高”的方法直接求出該立方體的體積。有20.47%的學(xué)生采用了更加“復(fù)雜”的方法。因?yàn)殚L方體的體積公式是“長×寬×高”，而題目給的數(shù)據(jù)中只有底面的“長和寬”，因此需要根據(jù)給出的一個(gè)側(cè)面長方形的面積求出高，再根據(jù)公式進(jìn)行解答。這是典型的“公式化”表現(xiàn)。表1中顯示有22.05%的學(xué)生犯了“典型錯(cuò)誤1”，出錯(cuò)的原因也是源于體積公式的束縛，未正確辨別24cm2是長方體右側(cè)長方形的面積，這說明學(xué)生對(duì)直柱體體積通用公式為什么是“底面積×高”并沒有深刻理解。

（二）對(duì)問題解決淺表性思考，缺少深入分析

通過分析學(xué)生問題解決的過程，可以部分看到學(xué)生思考的痕跡，了解學(xué)生的思維水平。同樣以兩道相關(guān)題目為例。

題1：高為5cm的圓柱，被橫切成兩個(gè)小圓柱后，表面積增加了20cm2，原來圓柱的體積是（? ? ）cm3。

題2：（見圖3）一個(gè)圓柱被截去5cm，圓柱的表面積減少了31.4cm2。原來圓柱的體積是（? ? ?）cm3。

測試中發(fā)現(xiàn)，127名學(xué)生中，能夠明確找到解題關(guān)鍵并順利解決問題的，題1有83人，占總?cè)藬?shù)的65.35%，題2有57人，占總?cè)藬?shù)的44.88%。通過對(duì)學(xué)生的錯(cuò)例進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)題1產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因主要是學(xué)生沒有理解“表面積增加了20cm2”指的就是兩個(gè)底面積;題2產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因則是學(xué)生沒有理解“圓柱的表面積減少了31.4cm2 ”指的就是減少了高為5cm的那段圓柱的側(cè)面積。這兩道題的難度并不大，但學(xué)生解決問題時(shí)停留在淺表性思考上，對(duì)題目缺少深入分析。

以上分析提醒教師，學(xué)生在立體幾何學(xué)習(xí)過程中積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不足，空間觀念薄弱，在解決問題的過程中更多的是單純機(jī)械地套用公式。這種憑借套用公式解決問題的思維方式會(huì)對(duì)他們今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生嚴(yán)重的負(fù)面影響。

因此，教師需要思考如何在六年級(jí)的總復(fù)習(xí)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生深入理解立體圖形體積的概念，拓展概念外延，提升學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)他們舉一反三的能力，并圍繞此展開教學(xué)實(shí)踐。

三、教學(xué)實(shí)踐

在審視學(xué)情、教材與課堂的基礎(chǔ)上，筆者整合設(shè)計(jì)了“立體圖形復(fù)習(xí)與整理”（共2課時(shí)）的教學(xué)架構(gòu)并進(jìn)行了教學(xué)嘗試。

（一）設(shè)計(jì)思考

1.尊重認(rèn)知思維

學(xué)生在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中積累了大量的立體圖形學(xué)習(xí)與練習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)中練習(xí)的“量”應(yīng)減少，“趣”應(yīng)提高。教師可從“一張長方形紙”入手，借用一個(gè)核心問題，勾連起立體圖形，以此作為學(xué)生復(fù)習(xí)的思維起點(diǎn)。

2.立足知識(shí)結(jié)構(gòu)

立足長方體、正方體、圓柱、圓錐這四個(gè)基本立體圖形知識(shí)的關(guān)聯(lián)度，將學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行重組、調(diào)整（見表2），讓學(xué)生在“圓柱”的承接上，能多角度、多維度地進(jìn)行深入復(fù)習(xí)。

（二）課堂教學(xué)

【課時(shí)1】整體溝通直柱體體積之間的關(guān)系

布魯納認(rèn)為“學(xué)習(xí)者在一定的問題情境中，經(jīng)歷對(duì)學(xué)習(xí)材料的親身體驗(yàn)和發(fā)展過程，才是對(duì)學(xué)習(xí)者最有價(jià)值的東西”。課時(shí)1的教學(xué)圍繞“長方體、正方體和圓柱的再復(fù)習(xí)”，著眼于平面與立體的密切關(guān)系，挖掘知識(shí)的深度，通過“蜂巢”這一研究媒介，設(shè)計(jì)“導(dǎo)學(xué)單”，目的在于溝通直柱體體積之間的關(guān)系。

環(huán)節(jié)一：呈現(xiàn)核心問題，引導(dǎo)探秘“體積”

（1）計(jì)算感知：圖形的側(cè)面積相同，體積不同。

①教師引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)正方體、長方體、圓柱的體積計(jì)算方法。

②通過核心問題“計(jì)算這些圖形的體積，有什么相同之處”，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)將知識(shí)進(jìn)行溝通，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)：正方體、長方體、圓柱體積的計(jì)算方法，可以統(tǒng)一為V=S底h。

（2）類比推理：計(jì)算新圖形的體積，探究直柱體體積計(jì)算方式。

①教師引導(dǎo)：正方體、長方體、圓柱體積的計(jì)算方法都可以用底面積乘高計(jì)算，那么猜猜看，三角形體、六邊形體、愛心形體（學(xué)生創(chuàng)造的叫法）等立體圖形的體積怎么算呢？為什么這么算？

②學(xué)生分組交流、探索，溝通，發(fā)現(xiàn)正方體、長方體、圓柱與三角形體、六邊形體、愛心形體等圖形的特征聯(lián)系，揭示“直柱體”定義及體積計(jì)算方法。

③請(qǐng)學(xué)生分組創(chuàng)造新的直柱體圖形，并計(jì)算它們的體積。

（3）小結(jié)：計(jì)算直柱體體積時(shí)，如果底面積相同，高也相同，體積的大小一定相同。

環(huán)節(jié)二：拓展應(yīng)用，計(jì)算蜂巢容積

（1）教師用課件介紹蜂巢結(jié)構(gòu)（如圖4）。

（2）學(xué)生合作計(jì)算蜂巢容積。

古語有云“學(xué)起于思，思起于疑”。學(xué)生不缺乏提問的啟動(dòng)力，只是缺乏正確的引導(dǎo)和空間的給予。課時(shí)1中，一句“計(jì)算這些圖形的體積，有什么相同之處”，在課堂上瞬間泛起漣漪。在后繼學(xué)習(xí)中，學(xué)生有問自創(chuàng)立體圖形的體積是怎么計(jì)算的，有找體積最大的為何物的，也有找體積大小與什么因素有直接關(guān)系的。給學(xué)生提問的空間，有助于他們主動(dòng)地從聯(lián)系的角度思考相關(guān)知識(shí)?！安虏驴?，三角形體、六邊形體、愛心形體（學(xué)生創(chuàng)造的叫法）等立體圖形的體積怎么算呢？為什么這么算？”該過程旨在讓學(xué)生通過猜想、驗(yàn)證、體會(huì)、思辨、推理等活動(dòng)，來體會(huì)V=Sh這個(gè)適用于所有直柱體體積計(jì)算的公式。這個(gè)過程無形地運(yùn)用了類比推理，既鞏固了圖形特征，又培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念。

【課時(shí)2】集中呈現(xiàn)圖形運(yùn)動(dòng)變化的過程

認(rèn)知科學(xué)告訴我們，知識(shí)只有在聯(lián)系中才顯示出意義;學(xué)習(xí)必須將問題定位在真實(shí)問題中，將點(diǎn)狀知識(shí)聯(lián)結(jié)起來。因此課時(shí)2的設(shè)計(jì)在求聯(lián)不求全上下功夫，用卷、轉(zhuǎn)、疊（平移）聯(lián)結(jié)2D到3D的動(dòng)態(tài)變化過程，用切、削、熔對(duì)3D圖形進(jìn)行改造。簡單的素材通過6個(gè)動(dòng)詞的演繹，力求達(dá)到知識(shí)遷移、模型建立的目標(biāo)。

環(huán)節(jié)一：結(jié)合運(yùn)動(dòng)變化，理解圖形關(guān)系

（1）教師引導(dǎo)學(xué)生將一張長方形紙卷成一個(gè)立體圖形，提問：“你們用的紙都是同樣大小的，卷出的圖形之間有什么相同和不同之處嗎？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：它們的側(cè)面積相同，但表面積和體積卻不一定相同。教師引導(dǎo)學(xué)生思考原因，促進(jìn)學(xué)生對(duì)表面積和體積概念的理解。

（2）教師為學(xué)生提供同樣大小的長方形和三角形紙各一張，并引導(dǎo)學(xué)生思考：如果將紙張進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后將成為什么圖形？怎樣旋轉(zhuǎn)體積最大？

學(xué)生通過想象與操作會(huì)得出，長方體旋轉(zhuǎn)后可能成為不同的圓柱，也可能成為由兩個(gè)圓錐組成的組合體;三角形旋轉(zhuǎn)后可能成為圓錐體。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生計(jì)算與比較得到的圖形體積。

（3）教師引導(dǎo)學(xué)生想象將長方形、三角形等圖形進(jìn)行平移的過程，并提問：“通過平移的過程，你有什么發(fā)現(xiàn)？結(jié)合上節(jié)課的學(xué)習(xí)你想說些什么？”讓學(xué)生進(jìn)一步從平面圖形平移運(yùn)動(dòng)形成直柱體圖形的角度理解直柱體體積公式之間的關(guān)系。

環(huán)節(jié)二：通過切圓柱的過程促進(jìn)溝通理解

（1）利用課件呈現(xiàn)一個(gè)圓柱體，引導(dǎo)學(xué)生想象切圓柱體的過程：如果將圓柱體橫著切，切一刀增加2個(gè)圓形底面;如果豎著切，切一刀增加2個(gè)長方形;如果斜著切，切一刀也會(huì)增加2個(gè)長方形，切的角度不同，得到的長方形大小也不相同。學(xué)生進(jìn)而通過對(duì)比溝通，發(fā)現(xiàn)將圓柱體切一刀以后，圓柱體的體積保持不變，表面積增加了。

（2）利用課件呈現(xiàn)一個(gè)圓柱體，引導(dǎo)學(xué)生想象削圓柱體的過程：在圓柱體內(nèi)削出一個(gè)最大的圓錐，這個(gè)圓錐和原來圓柱體的體積之間有什么關(guān)系？通過對(duì)比溝通，發(fā)現(xiàn)關(guān)系。

在課時(shí)2的教學(xué)中要注意，如果教師在人教版六年級(jí)下冊(cè)第三單元《圓柱與圓錐》的“整理與復(fù)習(xí)”中就已經(jīng)做得很充分了，那么總復(fù)習(xí)階段，只需要學(xué)生使用“思維導(dǎo)圖”將碎片知識(shí)連成體系即可。

“立體圖形”的復(fù)習(xí)，雖具有其知識(shí)的特殊性，但對(duì)于其他內(nèi)容的復(fù)習(xí)課，甚至是不同的課型，都具有共性。立足學(xué)生，深讀教材，對(duì)有限的素材以真問題為統(tǒng)領(lǐng)，進(jìn)行重組與調(diào)整，再配以精選習(xí)題組，課堂的推進(jìn)效果可能會(huì)更好?！白寣W(xué)生源源不斷地獲得思維的增量”這一教育追求，才可能實(shí)現(xiàn)。

（浙江省安吉縣高禹小學(xué)? ?313309）