北師大版教材“乘法分配律”知識的梳理與啟示

吳銳潔

【摘? ?要】“乘法分配律”這一知識點，除了新課教學之外，在教材中的具體呈現(xiàn)方式，可以分成“滲透”與“應用”兩種情況。在乘法分配律沒有正式學習以前，教材中已經有多處應用，這種“未學先用”的情況非常特殊，教師需要理清整套教材中乘法分配律的知識線，尋找合適的語言表達乘法分配律，重視理解乘法對減法的分配律和除法的分配律。

【關鍵詞】乘法分配律;教材梳理

“乘法分配律”是非常重要的規(guī)律，2013年教育部審定的北京師范大學出版社出版的數(shù)學教材（以下簡稱“教材”），將“乘法分配律”這一教學內容安排在四年級上冊，但是在二、三年級中卻經常出現(xiàn)需要應用乘法分配律解決的問題，這種“未學先用”的情況非常特殊。本文對整套北師大版教材，即一至六年級教材中有關“乘法分配律”的內容進行了梳理，試圖弄清乘法分配律的“前世今生”，以便一線教師更好地進行教學。

“乘法分配律”這個知識點，除了新課教學之外，在教材中的具體呈現(xiàn)方式，可以分成“滲透”和“應用”兩種情況。

滲透乘法分配律是指教材在編寫某一教學內容時，學生還沒有學習過乘法分配律，但為了讓學生提前接觸、感知，編者會有意編寫這方面的內容，讓學生從側面感知、了解這一運算定律。比如，在乘法口訣的教學中，教材有意識地安排了與分配律相關的內容，這就是“滲透”。

應用乘法分配律是指教材在編寫某一教學內容時，一定要用到乘法分配律，否則就無法說清運算的道理或者較難進行簡便運算。比如，在學習兩位數(shù)乘一位數(shù)時，就一定要應用乘法分配律才能說明算理，這就是“應用”。

一、滲透與應用

下面將從乘法分配律的滲透與應用入手，對一至六年級的教材進行梳理，分別闡述各年級新課教學中乘法分配律的滲透與應用情況。

（一）一年級中乘法分配律的滲透

一年級時，學生還沒有學習乘法，教材就已經出現(xiàn)了“乘法分配律”的滲透。如一年級下冊“整十數(shù)的加減運算”中，有“20+30=？，50-10=？”這樣的問題。教材呈現(xiàn)中，引導學生解決這些問題時借用小棒模型、計數(shù)器和文字說明來解釋整十數(shù)加減整十數(shù)的算理。事實上，20+30為什么等于50，可以解釋為：因為2個十加3個十就是（2+3）個十，是5個十，所以是50。同樣50-10=40，也是因為5個十減去1個十，就是（5-1）個十，是4個十，所以是40。這樣的說明過程可以使整十數(shù)加減法的計算更為嚴密，同時也滲透了乘法對加法的分配律和乘法對減法的分配律。

（二）二年級中乘法分配律的滲透與應用

二年級學習乘法口訣時，教材對乘法分配律做了以下三個層次的安排。

1.在乘法口訣的記憶中滲透“乘法分配律”

如教材在呈現(xiàn)乘法口訣的記憶方法時，先引導學生思考“怎樣記住5的乘法口訣”以及“你覺得哪句乘法口訣不太好記”，然后提示“只要記住五六三十，再加1個5，就是五七三十五了”以及“三七二十一，再加上1個7就是……”等，都體現(xiàn)了對乘法分配律的滲透。

2.出現(xiàn)“乘法分配律”具體算式的雛形

教材在口訣教學中，還用點子圖、數(shù)線圖與算式相結合的方式，直接呈現(xiàn)了具體計算中乘法分配律的雛形（如圖1）。

通過計算過程的再現(xiàn)，引導學生先算6×5，再算6×2，然后把兩部分加起來，得到6×7的結果?；蛲ㄟ^結合數(shù)線圖把8個7分成兩部分，先算6個7和2個7分別是多少，進而得出8個7是多少的結果，并將兩個相等的算式用等號連接起來。這也已經是乘法分配律的雛形了。這樣的呈現(xiàn)對學生進一步學習乘法分配律是有幫助的。

3.拓展練習中“乘法分配律”的應用

教材中有一些打了“？”的拓展練習，不要求所有學生掌握，但要求部分優(yōu)等生能夠解決這些問題，答題時需要應用“乘法分配律”的內容。如：“9×3-9=？”“想一想，算一算。2+4+8=（）×2”等。學生要計算“9×3-9=？”就可以將此理解為：3個9里面去掉1個9，還剩2個9。而思考“2+4+8=（）×2”，可以直接考慮每個加數(shù)中2的個數(shù)，1個2加上2個2加上4個2，一共是7個2。這樣的理解與思考本質上都是在應用乘法分配律。

（三）三年級中乘、除法分配律的滲透與應用

三年級學習兩位數(shù)乘或除以一位數(shù)時，教材呈現(xiàn)的內容有乘法對加法分配律的滲透與應用，也有除法對加法分配律的滲透與應用。

1.兩位數(shù)乘一位數(shù)中，乘法對加法分配律的滲透與應用

教材中多處呈現(xiàn)了與“兩位數(shù)乘一位數(shù)”相關的內容。比如教材借助人民幣中10元與2元不同面值的紙幣，引導學生思考如何計算“12×3=？”的例題。為了把兩位數(shù)乘一位數(shù)轉化成用已有的知識來解決的問題，需要把兩位數(shù)拆分成整十數(shù)與一位數(shù)相加，即“12=10+2”，拆分后的兩個加數(shù)分別與一位數(shù)相乘，再相加。這個過程實質上是乘法對加法分配律的應用。

2.兩位數(shù)除以一位數(shù)中，除法對加法分配律的滲透與應用

學習兩位數(shù)除以一位數(shù)的計算方法，與乘法類似，也需要有一個轉化的過程。這一過程中同樣需要用到拆分，比如，計算“36÷3=？”就會轉化成“（30+6）÷3=30÷3+6÷3”。這個過程實質上是除法對加法分配律的應用，教材呈現(xiàn)了這一拆分的過程，并用分步算式說明計算過程，這樣的問題解決本質上是應用乘法分配律。

3.長方形周長教學時，乘法對加法分配律的滲透

在長方形周長的教學中，雖然教材沒有出示用字母表示的周長公式，但在用多種不同方法解決周長問題的過程中，“分別量出長和寬，再把2個長和2個寬加起來”和“先把1個長和1個寬加起來，再乘2”兩種方法等價的本質也是乘法分配律。

4.兩、三位數(shù)乘、除法中，乘法、除法對加法分配律的應用

兩位數(shù)乘一位數(shù)的豎式計算，是筆算乘法的開始。解釋為什么可以這樣列豎式計算的過程，就是說明乘法分配律意義的過程。比如，“12×4”的豎式計算，實質上是“（2+10）×4=2×4+10×4”，這個過程中算理的解釋，就是乘法分配律在計算中的應用。同樣，要說明“888÷6=148”，實質上是要說明把888分成600、240和48后，用“600÷6+240÷6+48÷6”，得到 “100+40+8=148”，這是除法對加法分配律在計算中的應用。教材中乘、除法計算教學對“豎式”道理的解釋，都應用了分配律。

（四）四上年級中的乘、除法分配律

教材安排在四年級上冊第四單元正式學習“乘法分配律”。第三單元學的是三位數(shù)乘兩位數(shù)，在學習三位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式中，有乘法對加法分配律的應用，這與三年級兩、三位數(shù)乘一位數(shù)的豎式計算思路基本一致，這里不再贅述。

在教學四年級上冊“乘法分配律”這一內容時，教材首先創(chuàng)設了一個要求算瓷磚塊數(shù)的情境，引導學生用多種不同的方法解決問題，進而得到相等的算式。然后引導學生觀察算式的特點，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并概括出字母表達式（a+b）×c=a×c+b×c。接著借用點子圖說明4×9+6×9表示4個9加6個9，一共是10個9，同時運用乘法分配律簡算諸如34×72+34×28的算式。

本冊教材中有多處練習與乘法分配律相關，不再詳細介紹。

（五）四下至六年級中的乘、除法分配律應用

四上年級是正式學習乘法分配律的階段，從四下年級開始到小學畢業(yè)，是應用乘法分配律的階段。具體地說，四下年級的小數(shù)加減法，五年級的小數(shù)乘除法，分數(shù)加減法，長方體棱長和及表面積計算公式，解方程，六年級的分數(shù)混合運算中，分數(shù)（百分數(shù)）應用題、比的應用等內容中，均有乘法分配律的應用。

值得注意的是，在整套教材的編排體系中，只有在四上年級時正式學習了乘法分配律，在整個推導分配律的過程中，用的都是整數(shù)，嚴格地說，這樣得到的分配律，應該只適合整數(shù)的范圍。然而，在小數(shù)與分數(shù)的四則運算中，多次運用了乘法對加法、乘法對減法的分配律，也多次運用了除法對加法、除法對減法的分配律。乘法分配律在小數(shù)、分數(shù)范圍內也同樣成立，這一規(guī)律的得出并沒有經過重新推導、重新教學，而是先后用“智慧老人”的話“整數(shù)的運算律在小數(shù)中同樣適用”和“整數(shù)的運算律在分數(shù)中同樣適用”，將整數(shù)中的分配律推廣到了小數(shù)和分數(shù)。

經過以上梳理可以看到，“乘法分配律”（也包括除法分配律）作為運算體系中重要的規(guī)律，在整套小學數(shù)學教材中的滲透或應用主要體現(xiàn)在以下幾個方面。

（1）加減法計算，包括整數(shù)、小數(shù)、同分母分數(shù)相加減，體現(xiàn)在相同計數(shù)單位和相同分數(shù)單位相加減;（2）乘除法計算，包括乘法口訣，兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，兩、三位數(shù)乘兩位數(shù)，兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的除法，小數(shù)除法等;（3）四則混合運算，主要是整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則混合運算;（4）問題解決，包括列方程解應用問題（含相遇問題），分數(shù)、百分數(shù)應用題，比的相關應用問題等;（5）部分幾何知識領域，包括長方形周長、面積，長方體棱長和、表面積等。

二、啟示與建議

梳理是為了更好地把握。對整套教材與“乘法分配律”相關的知識進行梳理以后，得到了很多啟示和教學建議。

（一）努力把握“乘法分配律”的知識線

作為一線教師，要盡量把握教材的整體結構，厘清新舊知識之間的聯(lián)系以及教材編者的意圖。明確“乘法分配律”這個知識，前有直觀圖、意義、橫式、豎式中的滲透與應用，后有“乘法分配律”在小數(shù)、分數(shù)運算和幾何領域中的應用。

（二）運用合適的語言表達“乘法分配律”

從上面的梳理中可以看到，教材在正式呈現(xiàn)“乘法分配律”教學內容之前，已經在滲透或應用分配律。教學的時候用什么樣的語言，適當?shù)乇磉_出乘法分配律，就成為教師面臨的問題。首先，教師要能夠識別出“分配律”的內容，也就是要對教材中哪里有滲透、哪里有應用弄清楚想明白;其次，要結合當時的內容，尋找到合適的表達語言。在正式學習之前，特別是在滲透時，比較好的表達方式是：幾個幾加幾個幾合起來是幾個幾，反之，幾個幾可以分為幾個幾和幾個幾。

（三）要充分認識乘法對減法分配律的重要性

平時大家說的乘法分配律常常只是指乘法對加法的分配律。事實上，不但乘法對加法的分配律是成立的，乘法對減法的分配律也同樣成立，而且有著廣泛的應用價值。建議一線教師重視乘法對減法的分配律，讓學生能夠理解并掌握。比如，有一類稍復雜的分數(shù)應用題，在解決時，會出現(xiàn)類似于下面這樣的算式：40-40×[25]和40×（1-[25]），x-[17]x=12和（1-[17]）x=12，每組中的兩個算式為什么具有相等關系，本質上需要運用乘法對減法的分配律來闡述。

（四）要重視理解除法的左、右分配律

學生在學習乘法對加法的分配律時是不分左、右的，這是因為乘法運算滿足交換律，但由于除法運算不滿足交換律，它就有了“左右分配律”之說。事實上，除法的左分配律是不成立的，也就是a÷（b+c）=a÷b+a÷c這個等式不成立，而除法的右分配律（b+c）÷a=b÷a+c÷a是成立的。特級教師朱樂平認為“在小學探索除法分配律是可行的”。建議一線教師在教學中，引導學生理解除法的分配律，從而減少類似“5÷（[56]+[59]）或1.2÷2.4+1.2÷0.6”這樣的題目的出錯率。

參考文獻：

[1]朱樂平.“除法分配律”教學設計及說明[J].小學教學（數(shù)學版），2020（7/8）：55-59.

（廣東省深圳市寶安區(qū)西鄉(xiāng)小學? ?518102）