基于拉格朗日插值法的概率建模方法及其在概率潮流分析中的應(yīng)用

楊少瑜，黃國棟，林星宇，樂彥婷，唐俊杰

（1.重慶理工大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，重慶市巴南區(qū)400054；2.中國電力科學(xué)研究院有限公司，北京市海淀區(qū)100192；3.輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(重慶大學(xué))，重慶市沙坪壩區(qū)400044）

0 引言

截至2018年，全世界范圍內(nèi)可再生能源發(fā)電的裝機(jī)容量占總裝機(jī)容量的33%以上，可再生能源全年發(fā)電量約占全球總發(fā)電量的26.2%，其中風(fēng)力發(fā)電所占全球總發(fā)電的比例超過5%[1]。

隨著大量可再生能源的并網(wǎng)，風(fēng)速、太陽輻射強(qiáng)度等不確定因素會(huì)對電力系統(tǒng)帶來大量的不確定源[2-3]。另外，隨著科技的發(fā)展，負(fù)荷類型也在不斷增加，負(fù)荷的不確定性也應(yīng)該引起重視[4]。大量不確定源的引入，導(dǎo)致傳統(tǒng)的潮流分析方法不能夠有效地分析、評估電力系統(tǒng)當(dāng)前的運(yùn)行狀態(tài)和所面臨的運(yùn)行風(fēng)險(xiǎn)。概率潮流（probabilistic power flow，PPF）考慮了輸入變量的概率特性，求取潮流輸出變量的概率信息，能夠有效地分析不確定源給電力系統(tǒng)運(yùn)行帶來的影響[5]。

概率潮流分析中，對不確定源的概率建模有2個(gè)步驟：邊緣分布建模和相關(guān)性建模。邊緣分布建模是用特定分布類型和特定分布參數(shù)來描述單個(gè)隨機(jī)變量概率特性的過程，需要根據(jù)實(shí)測樣本，通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來實(shí)現(xiàn)。常用的不確定源的物理對象和所用分布類型有：用韋布爾分布（Weibull distribution）描述風(fēng)速的不確定性，正態(tài)分布（Normal distribution）描述負(fù)荷的波動(dòng)規(guī)律等[4,6]。相關(guān)性建模是對2個(gè)隨機(jī)變量的不確定性之間關(guān)聯(lián)程度的刻畫，常用皮爾森相關(guān)系數(shù)來進(jìn)行表征[7]。文獻(xiàn)[7]認(rèn)為在實(shí)際應(yīng)用中，隨機(jī)變量之間的相關(guān)性必須予以考慮，優(yōu)秀的概率方法必須具備處理隨機(jī)變量相關(guān)性的能力。

由于實(shí)際場景中不確定源種類多樣，所涉及的邊緣分布模型復(fù)雜，概率潮流分析時(shí)難以直接基于隨機(jī)變量概率模型產(chǎn)生計(jì)算樣本。對于這個(gè)問題，文獻(xiàn)[8]采用Nataf變換，建立了原始分布域與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，使樣本得以在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域進(jìn)行生成。該方法的關(guān)鍵在于求解標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域變量的相關(guān)系數(shù)。對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法，文獻(xiàn)[9]給出了基于數(shù)值積分和二分法的求取方法，其計(jì)算過程較為繁瑣，耗時(shí)可以占到整個(gè)概率潮流分析總耗時(shí)的一半以上。文獻(xiàn)[10]給出了經(jīng)驗(yàn)公式來快速且精確地實(shí)現(xiàn)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算，但是所涉及的分布類型極為有限。由于電力系統(tǒng)規(guī)模龐大，不確定源種類繁多，隨機(jī)變量服從的分布類型多樣，這些經(jīng)驗(yàn)公式已經(jīng)不能滿足實(shí)際需求。

對于這樣的問題，本文采用拉格朗日插值法對原始域變量累積分布函數(shù)的反函數(shù)進(jìn)行近似，使用簡化牛頓法對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)進(jìn)行求解，在保證計(jì)算精度的情況下，能夠提高標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)的計(jì)算效率。

1 基本模型

1.1 概率潮流模型

對于純交流電力系統(tǒng)，概率潮流的確定性模型的潮流方程可描述為：

式中：Uia和Uia分別為節(jié)點(diǎn)ia和節(jié)點(diǎn)ja的電壓幅值；Pia和Qia為節(jié)點(diǎn)ia上的注入有功功率和注入無功功率；Nb為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)；Giaja和Biaja分別為系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣第ia行第ja列元素的實(shí)部和虛部；θiaja為節(jié)點(diǎn)ia與節(jié)點(diǎn)ja電壓的相位差。

考慮到新能源的接入，在實(shí)際計(jì)算中，確定性模型還需要嵌入從一次能源變量到對應(yīng)電廠發(fā)電功率的轉(zhuǎn)換。本文考慮了風(fēng)電場的并網(wǎng)，所使用的風(fēng)速?風(fēng)電轉(zhuǎn)換公式為[11]：

式中：vwind表示風(fēng)速，m/s；PT表示單臺風(fēng)機(jī)出力，MW；每臺風(fēng)機(jī)消耗無功功率為恒定值0.0002 MV·A。

聯(lián)合公式（1）和公式（2），確定性潮流模型的輸入可以包含：可再生能源電廠的一次能源數(shù)據(jù)如風(fēng)速，PV節(jié)點(diǎn)發(fā)電機(jī)的有功出力和電壓幅值，所有節(jié)點(diǎn)的有功、無功負(fù)荷；對于概率潮流分析，本文將電力系統(tǒng)中的隨機(jī)變量視為輸入，確定性模型的其余輸入變量均為常數(shù)，整個(gè)概率潮流的輸入變量用X表示；對于輸出變量，概率潮流的輸出可以包含PQ節(jié)點(diǎn)電壓幅值與相角，PV節(jié)點(diǎn)電壓相角，發(fā)電機(jī)無功出力和支路潮流等；所有輸出用Y表示。對于概率潮流分析，基于公式（1）和公式（2），確定性模型可簡化表示為：

1.2 隨機(jī)變量邊緣分布模型

對于電力系統(tǒng)中的隨機(jī)變量，風(fēng)速用韋布爾分布（Weibull distribution）來建模，而負(fù)荷的波動(dòng)用正態(tài)分布來描述（Normal distribution）。本文在只考慮風(fēng)電廠接入和負(fù)荷隨機(jī)波動(dòng)的情況下，所使用的邊緣分布模型如表1所示。另外，為了驗(yàn)證本文所提出的相關(guān)系數(shù)計(jì)算法，也會(huì)用到表2所示概率分布。

表1 概率潮流中隨機(jī)變量的邊緣分布模型Table 1 Marginal distribution model of random variables in PPF calculation

表2 用以驗(yàn)證本文方法的其他概率分布Table 2 Other probability distributions to verify the effectiveness of the proposed method

1.3 隨機(jī)變量線性相關(guān)性模型

本文以皮爾森相關(guān)系數(shù)作為描述隨機(jī)變量之間相關(guān)性的指標(biāo)。對于第i個(gè)和第j個(gè)隨機(jī)變量Xi和Xj，已知其均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別為μi，μj，σi和σj；另外，2個(gè)變量之積的均值為μij，Xi和Xj的相關(guān)系數(shù)ρXij可通過如下方式計(jì)算：

對于皮爾森相關(guān)系數(shù)，變量進(jìn)行單調(diào)非線性變換（如Nataf變換）前后，變量之間的皮爾森相關(guān)系數(shù)數(shù)值會(huì)發(fā)生變化。在概率潮流分析中，Nataf變換基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量生成用以概率潮流計(jì)算的樣本，而標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本的生成依賴于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量之間的相關(guān)系數(shù)，因此需要對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)進(jìn)行精確計(jì)算。

2 概率方法基本理論

2.1 Nataf變換

在概率潮流分析中，具有特定相關(guān)性的任意非正態(tài)分布樣本無法直接生成，需要借助于Nataf變換。Nataf變換采用等概率原理，建立原始分布域變量與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域變量的轉(zhuǎn)換關(guān)系。已知m維原始域隨機(jī) 變 量X，即X=[X1,···,Xi,···,Xm]，原始域相關(guān)系數(shù)矩陣CX，其中第i行第j列元素表示變量Xi和Xj之間的相關(guān)系數(shù)，記為ρXi j。

設(shè)在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域，有同等維度的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Z。第i個(gè)隨機(jī)變量Xi和Zi，滿足關(guān)系：

對于單峰的非正態(tài)分布，連續(xù)性隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)的反函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，同時(shí)Φ是嚴(yán)格單調(diào)遞增的函數(shù)，那么公式（5）所表述的變換過程一定是非線性的單調(diào)變換的過程。因此，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域和原始域?qū)?yīng)的相關(guān)系數(shù)數(shù)值不同，若要生成用以概率潮流分析的樣本，需要首先計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域的相關(guān)系數(shù)。根據(jù)公式（4）對皮爾森相關(guān)系數(shù)的定義和概率論的基本知識，原始域隨機(jī)變量Xi和Xj之間的相關(guān)系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量Zi和Zj之間的相關(guān)系數(shù)ρZi j滿足如下關(guān)系：

通過線性變換可以建立獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量U和相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量Z之間的關(guān)系：

式中：L為下三角矩陣，可以通過對矩陣CZ進(jìn)行Cholesky下三角分解得到，即CZ=LLT，同時(shí)可以得到：

基于以上理論，生成獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本后，使用式(5)—(8)可以生成原始域變量X的樣本，且這些樣本滿足相關(guān)系數(shù)矩陣CX。顯然，這個(gè)過程涉及到使用式(6)或式(8)求解標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域的相關(guān)系數(shù)矩陣CZ。而式(6)或式(8)都是含有二重積分的非線性隱式方程。傳統(tǒng)的基于數(shù)值積分和二分法的求解方法能夠較為精確地對ρZi j進(jìn)行求解，但是耗時(shí)及其嚴(yán)重，一般不能滿足實(shí)時(shí)計(jì)算的需求。因此有必要對其求解方法加以改進(jìn)，在保證較高精度的情況下快速完成相關(guān)系數(shù)的求解，從而加快概率潮流分析的效率。

2.2 基于拉格朗日插值法和簡化牛頓法的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)計(jì)算法

拉格朗日插值法通過用多項(xiàng)式函數(shù)，連續(xù)穿過所給的離散點(diǎn)，來近似輸入與輸出之間的函數(shù)關(guān)系。對于n+1個(gè)給定樣本點(diǎn)(x0,y0),···,(x?,y?),···,(xn,yn)，其中所有的x互不相同。可通過式(9)來近似得到從x到y(tǒng)之間的關(guān)系y≈L(x)：

式中l(wèi)?(x)為插值基函數(shù)，其計(jì)算方法為

通過式(9)和式(10)可知，拉格朗日函數(shù)L(x)總能寫為

式中a0,a1,···,an均為多項(xiàng)式系數(shù)?，F(xiàn)使用n階拉格朗日插值法（階數(shù)為樣本點(diǎn)數(shù)?1），使用式(11)的形式分別近似式(6)中zi，zj和2個(gè)反函數(shù)的關(guān)系：

式中A0,A1, ···,An和B0,B1,···,Bn均為多項(xiàng)式系數(shù)。聯(lián)合式(8)和式(12)，式(8)中分子的積分項(xiàng)為

其中C表示組合數(shù)。式(13)中的積分滿足：

其中“!!”表示雙階乘。于是式(13)變?yōu)?/p>

式中：p+k和q?k為偶數(shù)。將式(15)帶入式(8)，式(8)可化為不含積分，僅含求和的表達(dá)式，簡化表示為：

式(6)表明對ρZi j的求解是解一元非線性方程的問題。根據(jù)實(shí)驗(yàn)，設(shè)定收斂精度后，以ρXi j為迭代初始值，G(ρZi j)的導(dǎo)數(shù)值恒定為1，使用簡化牛頓法，通過若干次迭代便能夠?qū)κ剑?6）精確求解。

在實(shí)際應(yīng)用中，對任意2個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)均實(shí)施上述過程，最終可得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域的相關(guān)系數(shù)矩陣CZ。另外，相關(guān)系數(shù)矩陣為實(shí)對稱矩陣，且主對角線元素為1。因此在含有m個(gè)隨機(jī)變量的情況下，需要計(jì)算的相關(guān)系數(shù)個(gè)數(shù)為0.5m(m?1)，即只需計(jì)算矩陣上三角（或下三角）除主對角線以外的元素。最后，此方法是基于拉格朗日插值法和簡化牛頓法的求解法（Lagrange interpolation and simplified Newton method，LISNM），在后文中用LISNM表示。本文所提到的改進(jìn)Nataf變換，即使用LISNM計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)的Nataf變換方法。

2.3 基于改進(jìn)Nataf變換的PPF計(jì)算方法

在Nataf變換的過程中，LISNM可以對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行精確而快速的計(jì)算，從而提高整個(gè)概率潮流計(jì)算的效率。需要注意的是，Nataf變換用于產(chǎn)生具有特定相關(guān)性的原始域樣本，而不受到特定概率潮流計(jì)算方法的限制，如文獻(xiàn)[8,12-13]在概率潮流中對Nataf變換的使用。

在實(shí)際應(yīng)用中，基于改進(jìn)Nataf變換的概率潮流計(jì)算方法可以參照如下步驟：

步驟1：確定電力系統(tǒng)中的不確定源，即隨機(jī)變量X，并通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法得到其邊緣分布和相關(guān)系數(shù)矩陣CX。

步驟2：反復(fù)使用LISNM得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域的相關(guān)系數(shù)，最終得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)矩陣CZ。

步驟3：基于特定的概率潮流方法，生成獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本，進(jìn)一步使用公式（7）得到具有相關(guān)性的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本。

步驟4：使用公式（5），將所有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本轉(zhuǎn)換回原始分布域。

步驟5：將所有原始分布域的樣本，代入確定性模型（3）進(jìn)行計(jì)算，得到相同數(shù)量的輸出樣本。

步驟6：對于輸出樣本，基于所用的概率潮流方法的理論，得到輸出變量的概率信息。

3 算例分析

3.1 LISNM的性能測試

使用表1和表2中的分布類型對LISNM的性能進(jìn)行測試。設(shè)這4類分布的具體信息為：韋布爾分布，形狀參數(shù)和尺度參數(shù)分別為3和10；正態(tài)分布，均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為10和1；均勻分布，下界和上界分別為5和15；對數(shù)正態(tài)分布，對數(shù)均值和對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差分別為3和0.04。為了充分表明所提方法的適用性，設(shè)原始域相關(guān)系數(shù)數(shù)值R，R=[?0.95,?0.9,?0.8,?0.7,?0.6,?0.5,?0.4,?0.3,?0.2,?0.1,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95]。對于R中所有數(shù)值，任意2個(gè)分布之間、每個(gè)分布自身之間都將對其進(jìn)行計(jì)算。

使用高精度的基于辛普森數(shù)值積分法和二分法的相關(guān)系數(shù)求解法作為精度參考（Simpson’s method and bisection method, SMBM），來測試LISNM的精度。其中SMBM的收斂精度設(shè)置為10?4，表示在迭代結(jié)束時(shí)，SMBM的結(jié)果與相關(guān)系數(shù)真實(shí)值的絕對誤差小于10?4。

定義相關(guān)系數(shù)的最大絕對誤差εmax和平均絕對誤差εmean，其計(jì)算方法如公式（17）所示：

式中：ρref和ρtested分別表示通過SMBM計(jì)算得到的相關(guān)系數(shù)和通過LISNM計(jì)算得到的相關(guān)系數(shù)；Nρ表示相關(guān)系數(shù)的個(gè)數(shù)。

對于所設(shè)的4類變量之間以及每類變量自身之間，分別使用SMBM和LISNM對R中的所有數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域的相關(guān)系數(shù)精度和計(jì)算總時(shí)間的結(jié)果如表3所示。

表3 相關(guān)系數(shù)計(jì)算結(jié)果Table 3 Computing results of correlation coefficients

在表3中，LISNM的拉格朗日插值法使用插值點(diǎn)個(gè)數(shù)為17，簡化牛頓法迭代初值與原始域相關(guān)系數(shù)數(shù)值相同，雅可比矩陣為固定值1。根據(jù)表3的結(jié)果，LISNM的計(jì)算時(shí)間比SMBM小了3個(gè)數(shù)量級，計(jì)算時(shí)間大大減少。而計(jì)算精度上，根據(jù)SMBM的精度設(shè)定，SMBM結(jié)果小數(shù)點(diǎn)后4位是完全精確的，而LISNM計(jì)算得到的結(jié)果與SMBM相比，最大誤差和平均誤差均在10?4的數(shù)量級。也就表明本文所提方法的精度至少為10?3，從數(shù)值上來看，其結(jié)果非常精確。

3.2 基于改進(jìn)Nataf變換的PPF計(jì)算

從3.1節(jié)的結(jié)果可以看到，LISNM的計(jì)算速度快，精度高。設(shè)定以下算例，測試LISNM的概率潮流計(jì)算精度的影響。概率潮流方法分別為蒙特卡洛仿真法（Monte Carlo simulation method,MCSM）和Hong氏e method,HPEM）[14]。

基于MCSM的方法在樣本數(shù)足夠大時(shí)，其計(jì)算結(jié)果也是依概率收斂于精確的結(jié)果。同時(shí)由于計(jì)算機(jī)只能夠偽隨機(jī)生成計(jì)算樣本，即使樣本數(shù)量非常大，樣本的相關(guān)系數(shù)矩陣與所給矩陣本身便存在一定誤差。通過實(shí)驗(yàn)測試，樣本足夠多時(shí)，這個(gè)誤差的最大值小于10?3。根據(jù)3.1節(jié)結(jié)果可以知道，LISNM計(jì)算的相關(guān)系數(shù)矩陣誤差和MCSM隨機(jī)樣本相關(guān)系數(shù)的天然誤差相當(dāng)。因此，理論上基于MCSM所測得的結(jié)果誤差應(yīng)該更大。

但是對于以HPEM為代表的近似法，在獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域采得的樣本是固定的。根據(jù)公式（7），在實(shí)施過程中，每個(gè)樣本點(diǎn)都會(huì)直接受到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)矩陣的影響。并且在算例既定的情況下，其原始域樣本數(shù)值僅受到相關(guān)系數(shù)矩陣的影響。因此，HPEM的計(jì)算結(jié)果對相關(guān)系數(shù)矩陣的數(shù)值非常敏感。相比于MCSM而言，HPEM的潮流結(jié)果誤差更能體現(xiàn)Nataf變換中相關(guān)系數(shù)計(jì)算精度對概率潮流分析結(jié)果精度的影響。

基于標(biāo)準(zhǔn)的IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，接入如文獻(xiàn)[11]完全相同的風(fēng)電裝置(共14處)。對于所有負(fù)荷，其有功負(fù)荷均服從正態(tài)分布，均值為算例中對應(yīng)原始值，標(biāo)準(zhǔn)差為均值的5%。另外，在計(jì)算中保證負(fù)荷的功率因素與原始算例對應(yīng)負(fù)荷的功率因素相同，從而決定無功負(fù)荷。其中有功負(fù)荷之間的相關(guān)系數(shù)為0.6，負(fù)荷與風(fēng)速之間相關(guān)系數(shù)為0.05。另外，本文用相對誤差來描述均值與標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算結(jié)果的精確度，數(shù)值越小代表該結(jié)果越精確，其具體計(jì)算方法如公式（18）所示：

式中：εr表示相對誤差；rref和rtested分別代表通過SMBM和LISNM進(jìn)行相關(guān)系數(shù)轉(zhuǎn)換后的概率潮流計(jì)算結(jié)果。根據(jù)設(shè)定，在使用同一種概率計(jì)算方法時(shí)，認(rèn)為基于SMBM的概率分析最終結(jié)果是標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果，考察基于LISNM的概率分析結(jié)果與參考結(jié)果的偏差（即誤差）。

選取網(wǎng)絡(luò)有功損耗、平衡節(jié)點(diǎn)發(fā)電機(jī)無功出力作為輸出。分別使用SMBM和LISNM進(jìn)行相關(guān)系數(shù)計(jì)算，使用基于100000個(gè)簡單隨機(jī)樣本的MCSM計(jì)算結(jié)果的概率密度如圖1所示。對于概率密度精確度的衡量，使用文獻(xiàn)[15]中定義的指標(biāo)頻率直方圖相似度(frequency histogram similarity index,FHSI)來描述2個(gè)概率分布的相似程度。當(dāng)其中一個(gè)概率密度作為標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果時(shí)，F(xiàn)HSI的數(shù)值可以作為另一概率密度的精度指標(biāo)。對于FHSI，其數(shù)值范圍分布在區(qū)間[0,1]內(nèi)，數(shù)值越大表明所指結(jié)果越精確。根據(jù)文獻(xiàn)[15]所給判據(jù)，當(dāng)FHSI數(shù)值不小于0.9時(shí)，認(rèn)為所指的概率分布是精確的。

圖1 基于SMBM和LISNM相關(guān)系數(shù)計(jì)算法的MCSM概率潮流結(jié)果Fig.1 PPF results calculated by MCSM based on correlation coefficients obtained by SMBM and LISNM respectively

另外，分別使用MCSM和HPEM計(jì)算得到的輸出的均值與標(biāo)準(zhǔn)差誤差如表4所示。在圖1中，2種方法得到的輸出概率密度的相似度超過0.98。根據(jù)表4中的結(jié)果，當(dāng)使用LISNM計(jì)算相關(guān)系數(shù)，使用MCSM計(jì)算概率潮流，最終結(jié)果的均值與標(biāo)準(zhǔn)差的誤差均不到0.2%。這表明使用LISNM進(jìn)行相關(guān)系數(shù)計(jì)算，且使用MCSM實(shí)現(xiàn)概率潮流分析的結(jié)果精度非常高，無論是輸出變量的概率分布還是其均值和標(biāo)準(zhǔn)差都能夠滿足實(shí)際應(yīng)用需求。

表4 基于改進(jìn)Nataf變換的MCSM和HPEM概率潮流計(jì)算誤差Table 4 PPF calculation errors of improved Nataf transformation based MCSM and HPEMmethods%

根據(jù)前面的分析，HPEM結(jié)果的均值與標(biāo)準(zhǔn)差對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域的相關(guān)系數(shù)矩陣元素的數(shù)值更加敏感。但是表4的結(jié)果表明，LISNM的誤差對HPEM的概率潮流計(jì)算結(jié)果的影響非常小。這一方面說明了LISNM對相關(guān)系數(shù)計(jì)算的精度完全滿足概率潮流計(jì)算的要求。另一方面，這表明LISNM的誤差給概率潮流結(jié)果帶來的偏差，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于基于MCSM的概率潮流計(jì)算結(jié)果本身的不穩(wěn)定性。

3.3 改進(jìn)Nataf變換的必要性和PPF耗時(shí)分析

采用SMBM計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域相關(guān)系數(shù)，且以0.1為收斂精度，記作in-SMBM(inaccurate SMBM)。分別使用100000組簡單隨機(jī)樣本的MCSM和HPEM法進(jìn)行概率潮流計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果的誤差見表5。

表5 相關(guān)系數(shù)計(jì)算不精確時(shí)的概率潮流結(jié)果誤差Table 5 Calculation error of PPF under inaccurately calculated correlation coefficients%

比較表4與表5中的結(jié)果，在相關(guān)系數(shù)計(jì)算不精確的情況下，概率潮流計(jì)算輸出的誤差均有明顯增大。其中均值誤差雖有增加，但是在數(shù)值上可以認(rèn)為是精確的。但是標(biāo)準(zhǔn)差的誤差均超過了9%，相比于表4中的不到0.2%，其誤差增大明顯，精度已經(jīng)不能滿足實(shí)際應(yīng)用的需求。因此，不精確的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域的相關(guān)系數(shù)將增大概率潮流計(jì)算結(jié)果的誤差，其中輸出變量的標(biāo)準(zhǔn)差對相關(guān)系數(shù)的精度更為敏感。這表明了在概率建模中精確地對標(biāo)準(zhǔn)高斯域相關(guān)系數(shù)進(jìn)行計(jì)算的必要性。

概率潮流計(jì)算所消耗的時(shí)間，主要由相關(guān)系數(shù)計(jì)算耗時(shí)和概率潮流計(jì)算耗時(shí)組成。表6給出分別使用LISNM和SMBM法計(jì)算相關(guān)系數(shù)以及分別使用HPEM和MCSM計(jì)算概率潮流的耗時(shí)情況，并給出了該組合方法完成整個(gè)概率潮流分析的總耗時(shí)。

根據(jù)表6中不同方法下相關(guān)系數(shù)計(jì)算耗時(shí)的占比可以發(fā)現(xiàn)，相關(guān)系數(shù)計(jì)算的耗時(shí)在整個(gè)概率潮流分析中是不可忽略的。對于特定的概率方法，計(jì)算相關(guān)系數(shù)的耗時(shí)甚至占到整個(gè)概率分析耗時(shí)的80%以上。

表6 相關(guān)系數(shù)計(jì)算耗時(shí)與概率潮流計(jì)算耗時(shí)的比較Table 6 Comparison of computing time for correlation coefficient calculation and that for PPF calculation

在表6所示的各種PPF方法組合中，相比于SMBM，LISNM對于概率分析效率的提升非常可觀。

4 結(jié)論

1）本文提出的LISNM能夠快速地計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布域的相關(guān)系數(shù)，加快了Nataf變換的實(shí)施速度，極大地提高了概率潮流分析的效率。同時(shí)，LISNM對相關(guān)系數(shù)的計(jì)算精度高，在提升概率潮流分析效率的同時(shí)，保證其結(jié)果的精度。

2）基于LISNM的相關(guān)系數(shù)計(jì)算的誤差，經(jīng)概率潮流傳遞后，對概率潮流計(jì)算結(jié)果的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于蒙特卡洛法自身結(jié)果的不穩(wěn)定性。而通過Hong氏點(diǎn)估計(jì)法的傳遞，LISNM的誤差對概率潮流結(jié)果的影響非常小，這也表明了LISNM的精確性。

3）在電力系統(tǒng)概率潮流分析中，相關(guān)系數(shù)計(jì)算的耗時(shí)占比大。提高相關(guān)系數(shù)計(jì)算的效率，可以極大加快整個(gè)概率潮流分析的過程。