2020年高考中數(shù)學(xué)文化的考查研究

甘肅省秦安縣第二中學(xué) 羅文軍 741600

甘肅省秦安縣郭嘉鎮(zhèn)槐川中學(xué) 劉娟娟 741609

1 引言

顧沛在《數(shù)學(xué)文化》一書中給出的數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵：數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)，以及數(shù)學(xué)的概念和思想方法在形成和發(fā)展中所體現(xiàn)的文化特征和文化價(jià)值.2017 年高考數(shù)學(xué)考試大綱修訂以后，2017 到2019 年的高考數(shù)學(xué)考試大綱對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查做了“增加優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容”的要求，2020 年高考數(shù)學(xué)參考2019 年

高考考試大綱的要求.2020 年高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化試題成為一道亮麗的風(fēng)景線，以考查高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)和基本方法為依托，著力考查了考生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).本文對(duì)2020年高考數(shù)學(xué)文化試題進(jìn)行特征統(tǒng)計(jì)和評(píng)析，并由此談一下高考命題改革的趨勢(shì).

2 2020年高考數(shù)學(xué)文化試題特征統(tǒng)計(jì)

2020年高考數(shù)學(xué)文化試題特征統(tǒng)計(jì)

2020 年全國(guó)各地高考共有13 套數(shù)學(xué)試卷，其中有8 套試卷共出現(xiàn)了6 道數(shù)學(xué)文化試題.從上表中可以看出，2020 年高考數(shù)學(xué)文化試題主要以考查立體幾何、數(shù)列、解三角形等知識(shí)為依托，從呈現(xiàn)方式上來看，都是給出了數(shù)學(xué)文化背景的顯性數(shù)學(xué)文化試題，大部分取材于我國(guó)古文化，部分試題體現(xiàn)了高考注重在知識(shí)交匯處命題的特點(diǎn)，考查了考生的理性思維能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)探究能力，旨在考查考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

3 2020年高考數(shù)學(xué)文化試題評(píng)析

題1 （2020 年全國(guó)Ⅰ卷理科第3 題）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為：

圖1

評(píng)析：本題以優(yōu)秀的世界古建筑古埃及胡夫金字塔為素材，設(shè)計(jì)創(chuàng)新，面向全體考生，重基礎(chǔ)，重教材，重創(chuàng)新，考查了正四棱錐的性質(zhì)——“正四棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影構(gòu)成直角三角形”，考查了考生的閱讀理解能力、空間想象能力和運(yùn)算求解能力，旨在考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，本題真正做到了將立體幾何的基本知識(shí)與世界文化遺產(chǎn)有機(jī)結(jié)合，也體現(xiàn)了古埃及人民的聰明智慧和非凡的創(chuàng)造力.

題2 （2020年全國(guó)Ⅱ卷文科，3）如圖2，將 鋼 琴 上 的 12 個(gè) 鍵 依 次 記 為a1，a2，…，a12. 設(shè) 1 ≤i

圖2

A.5 B.8 C.10 D.15

評(píng)析：三和弦是大小調(diào)和聲體系中最常見的和弦形式，三個(gè)音按三度關(guān)系重疊構(gòu)成三和弦；在12 鍵鋼琴上有7 個(gè)白鍵和5 個(gè)黑鍵.本題以12鍵鋼琴的大小三和弦個(gè)數(shù)和為背景，考查了數(shù)列，列舉法的運(yùn)用，也考查了考生對(duì)新定義問題的理解和應(yīng)用，考查了閱讀理解能力，旨在考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科核心素養(yǎng)，本題做到了將音樂學(xué)滲透進(jìn)高考試題，體現(xiàn)了美育教育.

題3 （2020 年新高考山東卷，4）日晷是中國(guó)古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（）.

A.20° B.40° C.50° D.90°

圖3

評(píng)注：日晷也叫日晷儀，是我國(guó)古代普遍使用的觀察日影計(jì)時(shí)的儀器，它是根據(jù)日影的位置指定當(dāng)時(shí)的時(shí)辰或時(shí)刻.本題將蘊(yùn)含豐富天文學(xué)的中國(guó)古代傳統(tǒng)文化元素“日晷”融入高考真題，這道題具有了的強(qiáng)烈的人文氣息、考查了球體的有關(guān)計(jì)算、平面與平面平行的性質(zhì)、直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了考生的閱讀理解能力、分析問題和解決問題的能力、空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、探究意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，旨在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).試題的設(shè)計(jì)讓考生感受到我國(guó)古代發(fā)明的測(cè)時(shí)儀器“日晷”之偉大，對(duì)中華優(yōu)秀文化的傳承在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力上將起到積極的作用.試題的設(shè)計(jì)還可以引導(dǎo)考生通過了解中華古天文學(xué)“日晷”文化，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)方法在認(rèn)識(shí)改造現(xiàn)實(shí)世界中的重要作用，也認(rèn)識(shí)到古代中國(guó)人民的聰明才智，可以增強(qiáng)考生的民族自豪感，充分體現(xiàn)了文化內(nèi)涵的育人功能，也體現(xiàn)了新一輪高中課程改革的要求.試題強(qiáng)化了文化傳承和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，有利于考生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的價(jià)值，有利于考生理解數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.本題同時(shí)滲透了勞育和美育教育.

題4 （2020 年北京卷，10）2020 年3 月14 日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日(π Day).歷史上，求圓周率π 的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾.卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)n充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長(zhǎng)和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的正6n邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2π 的近似值.按照阿爾.卡西的方法，π 的近似值的表達(dá)方式是：

評(píng)注：我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”是我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的通過不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法，包含了極限的思想.阿爾.卡西是波斯著名數(shù)學(xué)家，他在代表作《論圓周》中給出了求圓周率近似值的方法.本題以2020 年3月14 日全球首個(gè)國(guó)際圓周率日為依托，結(jié)合中國(guó)古色古香的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中的“割圓術(shù)”及近代數(shù)學(xué)史上的阿爾卡西法，考查了正六邊形的性質(zhì)、解三角形和近似計(jì)算，考查了考生的閱讀理解能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，旨在考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，本題的解決過程中，要借助圓和正六邊形的對(duì)稱性，不僅使考生感受到數(shù)學(xué)圖形之美和數(shù)學(xué)對(duì)稱美，更感受到這種美對(duì)于解決問題的真實(shí)力量，將美育教育融入了數(shù)學(xué)教育，使高考試題有了靈氣.

題5 (2020 年全國(guó)Ⅱ卷，理4).北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9 塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9 塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9 塊，向外每環(huán)依次也增加9 塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729 塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（ ）.

A.3699塊

B.3474塊

C.3402塊

D.3339塊

評(píng)注：北京天壇圜丘壇是始建于明朝嘉靖九年的皇帝舉行冬至祭天大典的場(chǎng)所.本題以計(jì)算北京天壇圜丘壇鋪設(shè)的石板數(shù)量為背景，考查了等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，考查了考生的閱讀理解能力、分析問題和解決問題的能力，考查了考生的探究能力和創(chuàng)新意識(shí)，旨在考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng)，試題背景公平，貼近實(shí)際生活，反映了我國(guó)古代的文明成就，讓考生認(rèn)識(shí)到了我國(guó)古建筑文化之美和我國(guó)古代工匠們高超的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算才能，有利于培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力，也讓考生認(rèn)識(shí)到了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的勤勞和聰明，將美育和勞育滲透進(jìn)了試題.

圖4

評(píng)注：楊輝是我國(guó)南宋著名的數(shù)學(xué)家和杰出的教育家，楊輝在其著作《詳解九章算法》和《算法通變本末》中記錄了若干等差級(jí)數(shù)的求和公式，其著作對(duì)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教育和普及具有重要意義.朱世杰是我國(guó)元代著名的數(shù)學(xué)家和教育家，他在其著作《四元玉鑒》中介紹了“垛積法”（高階等差數(shù)列求和）.本題以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝和朱世杰研究過高階等差數(shù)列問題為背景，考查了數(shù)列求和，考查了運(yùn)算求解能力和推理論證能力，考查了考生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，旨在考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng)，本題將中國(guó)古代傳統(tǒng)文化引入高考試題，本題強(qiáng)化了文化傳承，體現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，也體現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家勇攀數(shù)學(xué)高峰的人文精神，本題可以增強(qiáng)中華文化自信，增強(qiáng)考生的民族自豪感，對(duì)考生進(jìn)行了愛國(guó)主義教育,落實(shí)了立德樹人的根本任務(wù).

5 從2020 年高考數(shù)學(xué)文化試題看高考試題的改革趨勢(shì)

教育部考試中心發(fā)布的《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》由“一核”“四層”“四翼”組成，其中“一核”指高考的核心功能為“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”，“四層”指高考的考查內(nèi)容為“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)”，“四翼”指高考的考查要求為“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”.從2020 年高考數(shù)學(xué)文化試題可以看出，教育部考試中心已經(jīng)把在高考試題中滲透數(shù)學(xué)文化作為高考試題改革的主要方面之一，這類高考數(shù)學(xué)文化試題題干普遍較長(zhǎng)，閱讀量較大，突出學(xué)科素養(yǎng)的導(dǎo)向，以現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際情境為載體，試題在以考查高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)為依托的同時(shí)，著力考查了考生的理解能力、探究能力、綜合思維能力、實(shí)踐能力、創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，旨在考查考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，科學(xué)、有效地把德育、美育、勞育等方面的價(jià)值觀融匯到了考試內(nèi)容中，使考生切實(shí)感受到了數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值，落實(shí)了貫穿高考評(píng)價(jià)體系全過程的立德樹人的根本任務(wù)，有利于高校選拔優(yōu)秀人才，對(duì)高中教育教學(xué)中落實(shí)素質(zhì)教育具有積極的導(dǎo)向作用.

教育部印發(fā)的《大中小學(xué)勞動(dòng)教育指導(dǎo)綱要（試行）》文件中指出“引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)勞動(dòng)人民的艱辛和智慧，傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”.2020 年高考數(shù)學(xué)文化試題中，不乏有體現(xiàn)我國(guó)勞動(dòng)人民和世界勞動(dòng)人民勤勞的題目，這類題目可以達(dá)到對(duì)考生進(jìn)行熱愛勞動(dòng)和熱愛勞動(dòng)人民的教育，讓考生認(rèn)識(shí)到勞動(dòng)創(chuàng)造世界，有利于引導(dǎo)考生在認(rèn)識(shí)世界的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)建設(shè)世界，塑造自己，實(shí)現(xiàn)樹德、增智、強(qiáng)體、育美的目的.

教育部印發(fā)的《完善中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育指導(dǎo)綱要》中指出，“高中階段，以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的理性認(rèn)識(shí)為重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生感悟中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的精神內(nèi)涵，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的自信心.”將數(shù)學(xué)文化融入2020年高考試題，有利于引導(dǎo)考生全面準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)中華民族的歷史傳統(tǒng)、文化積淀、基本國(guó)情，使考生體會(huì)到中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深，可以弘揚(yáng)勤勞勇敢和自強(qiáng)不息的民族精神，可以培養(yǎng)考生的民族自信心和愛國(guó)主義精神.

試題的導(dǎo)向，與2017 年版新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念之一“學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)”相一致.個(gè)別試題在知識(shí)交匯處命題和跨學(xué)科命題，體現(xiàn)出了新課標(biāo)理念中強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系.近兩年高考數(shù)學(xué)文化試題普遍體現(xiàn)出了題型新和考點(diǎn)新的特點(diǎn)，體現(xiàn)了高考試題命制的基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、綜合性和創(chuàng)造性，體現(xiàn)了思維的靈活性和深刻性，方法的綜合性、探究性和創(chuàng)造性，注重考查考生的獨(dú)立思考能力和分析問題與解決問題的能力，注重?cái)?shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的考查，如果考生想通過平時(shí)大量刷題形成死套公式的套路來解決這類題目，那么只能“望題興嘆”.近兩年高考數(shù)學(xué)文化試題發(fā)揮了高考數(shù)學(xué)的選拔功能和良好的導(dǎo)向作用，體現(xiàn)出了高考以高校人才選拔要求為依據(jù)，以后高考試題將更加注重考生綜合思維能力和創(chuàng)新意識(shí)的考查.