高考微專題“繩物模型”的延伸

蔡育惠

[摘? ?要]繩物模型是高考中非常重要的一個(gè)物理模型，這個(gè)物理模型的知識(shí)點(diǎn)覆蓋面非常廣，可以涵蓋曲線運(yùn)動(dòng)、機(jī)械能守恒等知識(shí)，可以涉及碰撞問題、臨界值問題，可以和諸多知識(shí)點(diǎn)組合命題。因此，分析研究繩物模型并適當(dāng)延伸是培養(yǎng)學(xué)生物理思維能力的好方法。

[關(guān)鍵詞]繩物模型;向心力;機(jī)械能守恒

[中圖分類號(hào)]? ? G633.7? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? ?A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）20-0056-02

如圖1所示，輕繩一端固定于O點(diǎn)，另一端系著一個(gè)小球，在豎直面運(yùn)動(dòng)，此過程中小球只受重力和繩子的拉力，滿足機(jī)械能守恒。繩物模型覆蓋面很廣，從很簡單的題目一直到很難的題目都有，掌握好繩物模型，對功能關(guān)系、曲線運(yùn)動(dòng)的理解和應(yīng)用有很大的幫助。本文對高三一輪復(fù)習(xí)中可能出現(xiàn)的各種繩物模型進(jìn)行歸納、總結(jié)。

【題1】如圖1所示，小球由θ角位置靜止釋放，求小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度大小及繩子拉力。

分析：由功能原理可知：

[mgl（1-cosθ）=12mv2→v=2gl（1-cosθ）]

[mv2l=T-mg→T=（3-2cosθ）mg]

【題2】如圖2所示，小球運(yùn)動(dòng)至θ角位置時(shí)，速度大小為[v]，求此時(shí)的繩子拉力大小及加速度大小。

分析：按照力的作用效果可知，沿半徑方向的外力不做功提供了向心力，用來改變速度的方向;而沿切線方向的外力會(huì)做功，改變的是速度的大小，所以加速度分為向心加速度和切向加速度，然后再合成出結(jié)果。（如圖3所示）

圖2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖3

[T-mgcosθ=mv2l ，T=mv2l+mgcosθ]

向心加速度：[an=v2l]

切向加速度：[aτ=mgsinθm=gsinθ]

所以加速度：[a=a2n+a2τ=v2l2+gsinθ2]

【題3】如圖4所示，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)至夾角[θ=30°]的時(shí)候，加速度恰好水平，求小球的最大擺角[θmax]。

圖4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖5

分析：此時(shí)由繩子的拉力和重力的合力產(chǎn)生加速度，根據(jù)受力分析（如圖5所示），依據(jù)曲線運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解最大擺角，只要能求出[θ=30]°時(shí)的速度大小，就可以運(yùn)用動(dòng)能定理求解。而速度的求解又可以由向心力的大小來求解。故有：

[12mv2=mgl（cosθ-cosθmax）]

[T-mgcosθ=mv2l]

[T=mgcosθ]

所以[θmax=43.95°]

【題4】輕繩吊著小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)（如圖6），試分析相關(guān)臨界值問題及關(guān)系。

分析：這個(gè)問題是教材中的內(nèi)容，關(guān)鍵在于掌握繩物模型中，物在最高點(diǎn)時(shí)，繩子只能提供拉力，當(dāng)小球位于最高點(diǎn)且繩子的拉力為零時(shí)，即為臨界值。

最高點(diǎn)：[T2+mg=mv22l]，當(dāng)[T2=0]時(shí)，[v2=gl]

所以過最高點(diǎn)的速度應(yīng)滿足：[v2≥gl]

最低點(diǎn)：[T1-mg=mv21l]且[12mv21-12mv22=mg·2l]

所以有：[v1≥5gl]且[T1-T2=6 mg]

【題5】如圖7所示，輕繩吊著小球，在最低點(diǎn)時(shí)，給小球一個(gè)速度[v1=4gl]，求小球脫離圓周軌道時(shí)與豎直方向的夾角θ是多少？

分析：有了題4的基礎(chǔ)，球在最低點(diǎn)時(shí)必須滿足[v1≥5gl]才能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，所以本題小球無法過最高點(diǎn)。同時(shí)應(yīng)注意另一個(gè)臨界值[v0=2gl]，當(dāng)[12mv20=mgl]，即速度為[v0]時(shí)，剛好由最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與圓心等高的點(diǎn)。本題中[2gl<4gl<5gl]，所以小球應(yīng)該是運(yùn)動(dòng)至圓心以上部分脫離軌道。并且剛脫離軌道瞬間繩子拉力為0。此時(shí)受力分析如圖8所示。

剛剛脫離軌道時(shí)：[mgcosθ=mv22l]

[12mv22-12mv21=-mgl（1+cosθ）]

所以有：[cos θ=23]

【題6】如圖9所示，長為[l]的輕繩拉直時(shí)與水平夾角[α=30°]，此時(shí)繩子剛好沒有拉力，由靜止釋放，求小球擺到最低點(diǎn)時(shí)繩子的拉力T是多少？

分析：第一階段繩子沒有拉力，小球自由下落;第二階段，繩子繃直瞬間，沿著繩子方向速度突變?yōu)榱?，只保留沿切線速度，之后是圓周運(yùn)動(dòng)。

小球剛釋放的第一階段，做自由落體運(yùn)動(dòng)，故有：

[v21=2gl]

當(dāng)繩子被拉直的瞬間，沿著繩子方向的速度突變?yōu)榱?，只有切線方向速度保留，接著做曲線運(yùn)動(dòng)，故有：

[v1x=v1cos30°]

[12mv22-12mv21=mgl（1-cosα）， ∴v2=104gl]

【題7】如圖10所示，長為l不可伸長的輕繩，一端固定于O點(diǎn)，另一端系著一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），將小球提至O點(diǎn)正上方的P點(diǎn)，此時(shí)繩剛好伸直且無張力，在P點(diǎn)將小球以[v1=gl5]水平拋出，小球經(jīng)過最低時(shí)的動(dòng)能是多少？

分析：因?yàn)閇v1=gl5

平拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖11。

水平方向：[x=vxt]，[vx=v1]

豎直方向：[y=12gt2]，[vy=gt]

由幾何關(guān)系得：[l2=y-l2+x2]，[tan θ=xy-l]

解得：[vy=455gl] ，[tan θ=43]

繩子繃直瞬間， 小球速度只保留沿切線方向分速度，其大小為：[v2=vysin θ-vxcos θ=13255gl]

之后小球機(jī)械能守恒， 設(shè)經(jīng)最低點(diǎn)時(shí)動(dòng)能為[Ek]，則有：[mg2l-y=Ek-12mv22]

解得： [Ek=269250mgl]

【題8】如圖12所示，一個(gè)質(zhì)量為m的小球拴在長為[l=1.0] m的細(xì)線上做成一個(gè)單擺，當(dāng)細(xì)線與豎直方向成[θ=37°]角時(shí)小球輕輕釋放，不計(jì)一切阻力，懸點(diǎn)[O′]的正下方有一顆釘子[P]，釘子位置離懸點(diǎn)[O′]點(diǎn)的距離為[h]，求 [h]滿足什么條件可使小球繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)？

分析：小球下落，第一階段是圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，當(dāng)小球碰到釘子后，立刻繞著釘子做圓周運(yùn)動(dòng)，整個(gè)過程都只有重力做功，全程滿足機(jī)械能守恒。

先求臨界值，小球剛好過最高點(diǎn)：[mg=mv22R]

[mgl（1-cosθ）=12mv22+mg·2R]

解得：[R=25l（1-cosθ）=0.08 m]

P離懸點(diǎn)[O′]的距離[h=l-R=0.92（m）]

所以，[h]應(yīng)滿足條件是：[0.92 m≤h<1.0（m）]

以上八個(gè)題型，主要集中在力學(xué)方面，繩球模型一旦結(jié)合電場，可以考查重力與電場力等效為一個(gè)力來處理，俗稱“等效重力法”;結(jié)合磁場考查，主要體現(xiàn)洛倫茲力的方向性，使得向心力的大小在往復(fù)過程中發(fā)生變化。綜上所述，掌握好繩物模型，對高考解題能力的提升是非常有用的。本文主要做了一些歸納總結(jié)，題型分析主要結(jié)合歷年高考模擬題或高考真題進(jìn)行。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 趙云.淺談高中物理一輪復(fù)習(xí)中“繩模型”的教學(xué)盲區(qū)[J].宿州教育學(xué)院學(xué)報(bào).2017， 20（4）：164-165.

[2]? 王漢權(quán)， 常琳.仿真環(huán)境下豎直平面內(nèi)小球（繩桿模型）圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律探究[J].中學(xué)物理（高中版），2020（9）：47-51.

（責(zé)任編輯 易志毅）