遠(yuǎn)地點發(fā)動機推力矢量不確定度評估方法

鄭 科 張 偉

(北京航天試驗技術(shù)研究所，北京 100074)

1 引 言

遠(yuǎn)地點發(fā)動機常被用于星、箭、彈的精確軌道控制和姿態(tài)調(diào)整，其推力矢量直接關(guān)系到衛(wèi)星能否入軌和發(fā)射任務(wù)的成敗，準(zhǔn)確測出推力矢量參數(shù)，能夠為發(fā)動機整星組裝時提供基本依據(jù)。目前，推力矢量測量有多種方案，在我國的遠(yuǎn)地點發(fā)動機高空模擬熱標(biāo)定試驗中，技術(shù)和工藝都比較成熟且經(jīng)多次飛行驗證效果顯著的是北京航天試驗技術(shù)研究所1992年研制的動態(tài)軸矢量推力架和該所2010年研制的基于壓電晶體測力板技術(shù)的多分力動態(tài)矢量推力架。

遠(yuǎn)地點發(fā)動機一般用于衛(wèi)星等航天器的軌道控制和姿態(tài)調(diào)整。推力矢量測量的準(zhǔn)確性對衛(wèi)星能否入軌以及入軌成本有很大的影響，甚至影響衛(wèi)星的工作壽命，所以推力矢量參數(shù)是發(fā)動機整星組裝的重要參考依據(jù)。對于推力矢量的測量，在我國遠(yuǎn)地點發(fā)動機高空模擬熱標(biāo)定試驗中，北京航天試驗技術(shù)研究所1992年研制的動態(tài)軸矢量推力架和該所2010年研制的基于壓電晶體測力板技術(shù)的多分力動態(tài)矢量推力架經(jīng)過多次實際飛行驗證，技術(shù)相對成熟。

2 動態(tài)軸矢量推力架測量模型

測試系統(tǒng)的推力矢量模型如圖1所示，

O

-

XYZ

為轉(zhuǎn)臺坐標(biāo)系，

O

’-

X

’

Y

’

Z

’為發(fā)動機坐標(biāo)系，發(fā)動機熱試車時產(chǎn)生的發(fā)動機推力矢量

F

作用于對接面

Y

’

O

’

Z

’平面的A點上。

圖1 推力矢量模型

推力矢量

F

在推力軸線方向(

X

軸方向)的分量為

F

,其垂直于推力軸線方向的分量為

F

(

Z

’

O

’

Y

’平面內(nèi))，在轉(zhuǎn)臺上產(chǎn)生一個繞

Z

軸的旋轉(zhuǎn)力矩

M

,經(jīng)過簡單力學(xué)推導(dǎo)可得-

M

=

F

(

δ

cos

β

+

R

tan

α

cos

γ

)

(1)

S

=

δ

cos

β

+

R

tan

α

cos

γ

(2)

當(dāng)推力矢量裝置使

Y

’

O

’

Z

’平面(即發(fā)動機對接面)繞

OX

軸旋轉(zhuǎn)(角，公式(2)變?yōu)?p>S

=[

δ

cos(

β

+

θ

)+

R

tan

α

cos(

γ

+

θ

)]

(3)

其中

M

，

F

，

R

，

θ

為可測參數(shù)，

α

，

β

，

γ

，

δ

為待求參數(shù)。分別改變

R

和

θ

的值，令

i

=1,2,3,...,

n

,發(fā)動機點火

n

(

n

=6～8)次，求解方程組即可得到矢量參數(shù)

S

=[

δ

cos(

β

+

θ

)+

R

tan

α

cos(

γ

+

θ

)]=

δ

cos

β

cos

θ

-

δ

sin

β

sin

θ

+

R

tan

α

cos

γ

cos

θ

-

R

tan

α

sin

γ

sin

θ

(4)

令

(5)

公式(4)可寫為矩陣形式

在這里我們主要對帽殼進(jìn)行研究分析后，決定采用如圖2亞光表面處理，作為共享產(chǎn)品，使用時間長，接觸人多，頭盔表面難免留有很多劃痕，而亞光表面的日常的劃痕磨損會相對沒有拋光表面易發(fā)現(xiàn)，所以，從造型美觀來看，我們更傾向于使用亞光處理表面。同時亞光表面的處理，將會使頭盔的造型感更加沉穩(wěn)有質(zhì)感。

AX

=

S

(6)

X

=[

x

x

x

x

]，

若

A

A

的逆矩陣(

A

A

)存在，則得到

X

的最小二乘解為

X

=(

A

A

)

A

S

(7)

推力矢量參數(shù)為

(8)

3 GUM不確定度評估

3.1 GUM法簡介

GUM法通過測量模型直接傳遞不確定度，基于方和根法計算合成不確定度。方法源自《測量不確定度表示指南》，假設(shè)輸出量近似為正態(tài)分布或者縮放位移t分布，通過設(shè)定包含概率、計算自由度以及查表求出對稱的包含區(qū)間，也叫做不確定度傳播率，尤其適合于測量模型為線性模型，是目前常用的測量不確定度評估方法。

3.2 GUM法評估過程

計算參數(shù)合成不確定度一般表達(dá)式為

(9)

式中：

u

(

y

)——合成不確定度；

f

——被測量

y

與直接測得量

x

的函數(shù)關(guān)系；

u

(

x

)——分量

x

的不確定度。

根據(jù)公式(8)可以得到

(10)

根據(jù)公式(9)計算得到各參數(shù)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表達(dá)式為

(11)

B

=(

A

A

)

A

(12)

公式(7)可以寫為

X

=

BS

(13)

可得

(14)

(15)

從表1中計算結(jié)果可以得出，

α

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度在0.005°以內(nèi)；

β

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度基本在10°以內(nèi)，

γ

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度在10°以內(nèi)，

δ

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度在0.04mm以內(nèi)。

3.3 GUM法在該模型評估中的局限性

計算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的公式(9)忽略了泰勒級數(shù)的高價項以及相關(guān)性，當(dāng)模型為復(fù)雜非線性模型時，近似為線性模型存在一定的誤差。輸出量的概率密度函數(shù)(Probability Density Function, PDF)偏離正態(tài)分布或縮放位移

t

分布時，概率分布偏離對稱分布，采用GUM法得出的包含區(qū)間存在誤差。由于

R

和

θ

的測量存在誤差，導(dǎo)致

A

自身存在誤差，由最小二乘法解出的矩陣

B

存在誤差，最后通過GUM法得出的不確定度存在一定誤差。

4 MCM不確定度評估方法

4.1 MCM原理

蒙特卡洛法為測量不確定度評估提供了一個通用的計算方式，適合多個輸入量以及單個輸出量的測量模型，輸入量可以為任意的概率分布，相比GUM法，其對測量模型沒有限制，省去了復(fù)雜靈敏度的計算。蒙特卡洛法的核心是對輸入量的PDF重復(fù)采樣，即利用對輸入量概率分布的隨機抽樣代入測量模型進(jìn)行分布傳遞，區(qū)別于GUM法的傳遞不確定度，其傳遞的是數(shù)值特性。計算出輸出量Y的PDF離散采樣值，由于離散采樣值包含輸出量Y的數(shù)值特性，因此可以從離散采樣值中得到輸出量的Y的最佳估計值和Y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，隨著對概率密度函數(shù)的隨機采樣數(shù)M的增加，可提高不確定度、包含區(qū)間等數(shù)值特性的可靠性。蒙特卡洛法的概率分布傳遞原理圖如圖2所示。

表1 8臺次熱標(biāo)矢量參數(shù)不確定度Tab.1 Uncertaintyofthrustvectorparametersineighttimes試車代號uc(α)/°uc(β)/°uc(γ)/°uc(δ)/mm10.00202.01.70.01820.00201.75.20.01930.00302.13.40.02540.00303.71.20.01850.00200.851.30.01660.00507.51.60.03370.00303.73.90.02980.00100.681.10.0060

圖2 由多輸入量PDF得到單一輸出量PDF的示意圖

4.2 MCM評估過程

(1)定義輸出量

Y

，即推力矢量參數(shù)(

δ

,

α

,

β

,

γ

)。(2)確定與

Y

相關(guān)的輸入量

X

(

F

)、

X

(

M

)、

X

(

R

)、

X

(

θ

)。(3)建立

Y

和

X

之間的模型

Y

=f(

X

,

X

,

X

,

X

)。(4)利用可獲信息，為

X

設(shè)定PDF，如正態(tài)分布、均勻分布等。對于

X

和

X

可以采用反復(fù)動作調(diào)整推力架50次，再直接測量長度(

X

)和角度(

X

)各50次的方法，分別確定

X

和

X

的PDF。對于

X

(

F

)和

X

(

M

)，在確定

X

和

X

的某一特定狀態(tài)下，采用現(xiàn)場反復(fù)施加靜態(tài)力的方法，獲取

X

和

X

的分布樣本各50次，再根據(jù)樣本的概率統(tǒng)計評估其PDF。(5)根據(jù)蒙特卡洛法的相關(guān)國家標(biāo)準(zhǔn)，試驗樣本量的大小

M

，本次初步選取經(jīng)驗值10個。(6)從輸入量

X

的PDF中隨機抽取

M

個樣本(

X

,

X

,

X

,

X

)，

r

=1,2,...,

M

。(7)對每個樣本向量(

X

,

X

,

X

,

X

)，計算相應(yīng)

Y

的模型值y=f[(

x

,

x

,

x

,

x

)]。

(8)將計算得到的M個模型值按照遞增順序排序，得出輸出量Y的離散表示G。

(9)由輸出量的離散表示G計算Y的期望值以及標(biāo)準(zhǔn)差，求出估計值y和不確定度μ(y)。

(10)通過輸出量的離散表示G求出設(shè)定包含概率下的包含區(qū)間。

4.3 MCM的MATLAB實現(xiàn)及結(jié)果比較

極限情況下，

α

=0時，

γ

計算結(jié)果失真；

δ

=0時，

β

計算結(jié)果失真。按照機械加工的計量精測和往次試驗結(jié)果統(tǒng)計，實際

α

值大多分布在(0.02～0.2)°以內(nèi)，合格驗收標(biāo)準(zhǔn)為

α

≤0.2°；

δ

值大多分布在(0.06～0.95)mm以內(nèi)，合格驗收標(biāo)準(zhǔn)為

δ

≤0.9mm；

β

和

γ

作為

δ

和

α

的定位角，存在批次性在類似象限的散布問題。根據(jù)推力矢量計算的數(shù)學(xué)模型，給定一組真值：

F

=489；(

δ

,

α

,

β

,

γ

)=(0.08,0.05,16,200)；對應(yīng)

R

=[418

.

9 418

.

9 418

.

9 418

.

9 496

.

72 496

.

72 496

.

72 496

.

72]，

θ

=[0 30 60 90 90 60 30 0]。計算得到

M

=[130

.

37 87

.

73 21

.

58-50

.

36-61

.

71 27

.

34 109

.

07 161

.

58]。通過MATLAB編寫軟件，固化GUM法流程，導(dǎo)入數(shù)據(jù)，不確定計算結(jié)果為：

u

(

δ

)=0.0115mm，

u

(

α

)=0.0014°，

u

(

β

)=4.9699°，

u

(

γ

)=1.0514°，如圖3所示。依據(jù)概率統(tǒng)計相關(guān)理論，擴展因子

k

=2時，

p

=0.95；

k

=3時，

p

=0.99。故可將當(dāng)前的不確定評估結(jié)果根據(jù)需要，加權(quán)擴展因子

k

。

圖3 GUM法計算程序

依據(jù)

F

、

M

、

R

、

θ

各自的PDF(

F

±0.5%隨機發(fā)散、

M

±1%隨機發(fā)散、

R

±0.05%隨機發(fā)散、

θ

±0.05%隨機發(fā)散)，進(jìn)行MCM不確定度評估。通過MATLAB實現(xiàn)MCM的軟件實現(xiàn)，采用4.2節(jié)的評估過程，如圖4所示，針對該真值的不確定度評估結(jié)果為：

u

(

δ

)=0.0103mm，

u

(

α

)=0.0013°，

u

(

β

)=2.7089°，

u

(

γ

)=0.5135°，10個樣本散布如圖5所示(橫坐標(biāo)為數(shù)值，縱坐標(biāo)為出現(xiàn)次數(shù))。相比GUM法不確定度評估，MCM可以計算任何概率下的包含區(qū)間。MCM與GUM法結(jié)果對比如表2。

圖4 MCM計算程序

圖5 結(jié)果散布圖

表2 MCM與GUM不確定度評估對比Tab.2 ComparisonofMCMandGUMuncertaintyevaluation(δ,α,β,γ)評估方法u(δ)/mmu(α)/°u(β)/°u(γ)/°(0.08,0.05,16,200)GUM0.0120.00145.01.1MCM0.0100.00132.70.51

4.3.1 其他數(shù)據(jù)的對比驗證

不改變

F

，

R

，

θ

，改變(

δ

,

α

,

β

,

γ

)進(jìn)行驗證，初始值

F

=489，

R

=[418

.

9 418

.

9 418

.

9 418

.

9 496

.

72 496

.

72 496

.

72 496

.

72]，

θ

=[0 30 60 90 90 60 30 0]，計算

M

，結(jié)果如表3，不確定度的評估對比如表4。

通過數(shù)據(jù)對比得出，MCM評估的不確定度數(shù)值基本小于GUM法計算的不確定度數(shù)值，GUM法相對保守。

5 GUM法與MCM的區(qū)別和聯(lián)系

從該遠(yuǎn)地點發(fā)動機推力矢量不確定度評估計算過程來看，GUM法是對多個輸入變量的某一種特定組合進(jìn)行計算，得到一個輸出結(jié)果；而MCM在各個輸入變量PDF的約束下，隨機進(jìn)行多個輸入變量的

M

次采樣組合，計算得出

M

個輸出結(jié)果，再將

M

個輸出結(jié)果作為統(tǒng)計樣本，計算樣本的期望和方差，

表3 Mz計算結(jié)果Tab.3 CalculationresultofMZ(δ,α,β,γ)Mz/(N·m)(0.06,0.02,16,200)[-38.99-25.58-5.3216.3720.91-7.63-34.12-51.47](0.9,0.02,16,200)[355.86259.7694.05-96.85-92.3191.75251.22343.38](0.06,0.2,16,200)[-643.71-439.24-117.07236.47281.90-140.13-524.62-768.53](0.9,0.2,16,200)[-248.86-153.90-17.70123.25168.68-40.76-239.28-373.69]

表4 MCM與GUM不確定度評估對比Tab.4 ComparisonofMCMandGUMuncertaintyevaluation(δ,α,β,γ)評估方法u(δ)/mmu(α)/°u(β)/°u(γ)/°(0.06,0.02,16,200)GUM0.00360.000402.10.83MCM0.00320.000401.10.40(0.9,0.02,16,200)GUM0.0280.00341.05.9MCM0.0250.00320.522.9(0.06,0.2,16,200)GUM0.0560.0069321.3MCM0.0410.0064530.61(0.9,0.2,16,200)GUM0.0250.00311.00.60MCM0.0220.00290.550.30