基于線性規(guī)劃理論的頂推PC箱梁下部結(jié)構(gòu)臨時墩拉索索力優(yōu)化研究

張 軍,劉國坤

(1.內(nèi)蒙古路橋集團(tuán)有限責(zé)任公司，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010000；2.湖南省交通科學(xué)研究院有限公司，湖南 長沙 410015)

頂推施工法在混凝土連續(xù)梁施工中占有重要地位，它有著節(jié)約場地、適合互通立交橋址區(qū)上跨或下穿橋梁施工、工藝成熟等優(yōu)點[1]。在頂推混凝土箱梁施工過程中，一般均需要設(shè)置臨時輔助墩以控制主梁最大懸臂長度，降低混凝土主梁在頂推過程中的開裂風(fēng)險[2]。臨時輔助墩作為整個頂推體系中的重要組成部分，與橋梁主墩具有同等重要的地位。在箱梁頂推過程中，臨時墩所受豎向力隨著工況不同而不同，水平力大小與主梁縱坡坡度大小、滑道摩擦系數(shù)及主梁壓力大小等諸多因素息息相關(guān)[3]。臨時墩在上部結(jié)構(gòu)箱梁頂推過程中處于一個復(fù)合動態(tài)受力狀態(tài)，因此很有必要開展臨時墩受力分析。

目前在頂推施工時，為保證臨時墩受力合理性，主要通過水平拉索將下部結(jié)構(gòu)臨時墩串聯(lián)形成整體，以改善頂推時各墩受力不均的問題。已有學(xué)者開展了相關(guān)研究，陳雙慶[4]等人提出在下部臨時支撐墩柱之間施加水平拉索以調(diào)整下部結(jié)構(gòu)受力；郝晉新[5]等以某頂推施工系桿拱橋為研究對象，對臨時墩及拉索布置位置進(jìn)行了優(yōu)化；巫建暉[6]等人分析了頂推過程中下部結(jié)構(gòu)在拉索作用下墩柱受力規(guī)律?，F(xiàn)有研究成果主要集中于墩柱間水平拉索的作用效應(yīng)及受力改善措施，沒有提出拉索水平力的確定方法。為研究臨時墩柱拉索水平力優(yōu)化方法，本文以某頂推連續(xù)箱梁為工程背景，基于線性規(guī)劃理論，以墩底截面應(yīng)力最小為目標(biāo)函數(shù)，對拉索最優(yōu)水平力進(jìn)行了求解，相關(guān)研究成果可為連續(xù)梁頂推施工時臨時墩拉索張拉力控制提供一定參考。

1 頂推箱梁下部結(jié)構(gòu)受力特性

在箱梁頂推過程中，所施加的頂推力不僅應(yīng)保證能夠推動梁體，同時應(yīng)使得各墩之間所受不平衡水平力不超過墩柱水平力限值，具體表達(dá)式見式(1)。

|Fi-μN(yùn)i-kN|≤[fcon]

(1)

式中：Fi為頂推啟動力；μ為摩擦系數(shù)；k為坡度系數(shù)；Ni為主梁對墩柱的豎直壓力；fcon為墩柱水平力限值。

記各墩斜率及坡角分別為ki=±xi/R+i、θi=arctan(ki)，則各墩沿滑道斜面阻力可表示為式(2)。

F=Ri(sinθi+cosθif)

(2)

式中：F為墩頂滑道平面阻力；Ri為第i號橋墩支座反力；θ為傾角；f為摩擦系數(shù)。

由于在頂推實施過程中豎曲線曲率變化很小，在實際工程中可認(rèn)為經(jīng)過各橋墩梁體斜率保持不變。則求解的墩頂所需頂推水平力見圖1，計算見式(3)。

圖1 滑道水平力計算示意圖

Ti=Fi/cosθi

(3)

式中：Ti為墩頂水平拉力。

為研究水平力在各墩之間的分配關(guān)系，獲取臨時拉索索力的數(shù)學(xué)表達(dá)式。基于力法原理計算各墩不平衡水平力，以3個墩柱為例：其中A墩、C墩為主墩，B為臨時墩?？紤]到墩柱主要承受豎直荷載和水平荷載，因此可將其等效為柱，下部結(jié)構(gòu)臨時拉索可等效為僅受拉桿件，由于臨時墩結(jié)構(gòu)不能承受彎矩，將其取為鉸接，A、B墩之間拉索張拉力為F1，B、C墩之間拉索張拉力為F2，臨時墩B所受摩擦力為Fp，A、B、C所受水平力分別為FA、FB、FC。計算圖式見圖2。

圖2 力學(xué)計算示意圖

由力法可得：

(4)

2 工程背景及有限元模擬

2.1 項目概況

某(40+50+40)m三跨等截面預(yù)應(yīng)力連續(xù)箱梁，橋址上跨某鐵路干線，故鐵路上方的預(yù)應(yīng)力混凝土主梁部分(70 m)采用頂推法施工，其余主梁采用支架現(xiàn)澆法。主梁截面形式為單箱單室斜腹板截面，梁高3.8 m；箱梁頂懸臂板長分別為5.15、4 m，端部厚30、40 cm，根部厚65 cm；箱梁底板懸臂板長3.97 cm，端部厚18 cm，根部厚40 cm；箱梁頂、底板厚均為30 cm，腹板厚85 cm。橋梁立面布置及主梁截面示意圖見圖3、圖4。

圖3 橋型布置圖(單位：m)

圖4 上部結(jié)構(gòu)箱梁橫截面布置圖(單位：m)

主梁頂推采用單點頂推法，頂推縱坡為0.3%，頂推啟動裝置位于主墩E4墩墩頂位置，E4墩左側(cè)設(shè)置8個臨時墩作為頂推預(yù)制平臺，E5永久墩待頂推施工完成落梁前澆筑，E3與E4墩之間設(shè)置9#臨時墩，E2～E3主墩之間的梁體為支架現(xiàn)澆段，設(shè)置10#～12#臨時墩，主墩采用C40混凝土，臨時墩采用Q345鋼材，相鄰墩柱之間使用臨時拉索形成整體。臨時墩布置示意圖見圖5、圖6。

圖5 臨時墩立面布置示意圖(單位：m)

圖6 臨時墩俯視示意圖(單位：m)

2.2 有限元模型及墩頂反力求解

使用有限元軟件建立頂推全過程仿真計算模型。混凝土主梁使用Solid65實體單元模擬，預(yù)應(yīng)力鋼絞線使用Link8單元，為保證兩者共同受力，建立約束方程耦合3個方向的自由度；考慮到鋼導(dǎo)梁的主梁為薄壁鋼結(jié)構(gòu)，因此主縱梁使用Shell63殼單元建模，縱梁之間橫撐、斜撐等聯(lián)系桿件采用Link8桿單元[見圖7(b)]，桿單元與殼單元之間共節(jié)點連接，鋼導(dǎo)梁殼單元與混凝土實體單元由于自由度數(shù)不一樣，無法進(jìn)行節(jié)點耦合，本文通過建立MPC單元使其形成綁定接觸，由于在頂推過程中結(jié)構(gòu)均處于小變形狀態(tài)，故可不考慮其非線性迭代行為。預(yù)應(yīng)力張拉力使用初應(yīng)變法施加，使用單元生死法模擬頂推過程，以1 m為一個計算步長，根據(jù)設(shè)計資料施加約束條件。有限元模型示意圖見圖7。

(a)頂推整體有限元模型

圖8和表1給出了各臨時墩在頂推過程中豎向支撐反力時程結(jié)果，臨時墩最大反力為17 851.43 kN，出現(xiàn)位置為臨時墩4，工況為主梁頂推前進(jìn)25 m；部分臨時墩在頂推過程中出現(xiàn)過脫空現(xiàn)象。獲取墩頂支撐反力時程圖后，取其峰值，再根據(jù)設(shè)計資料提供的摩擦系數(shù)及坡度等信息，即可求得墩頂位置的最大水平摩阻力。

(a)臨時墩1

表1 1#～9#臨時墩頂推過程反力峰值Table1 1#～9#Temporarypierpushingprocesspeakreactionforce臨時墩編號反力峰值/kN1#4283.652#4876.333#9642.184#17851.435#11482.636#16884.277#11543.978#5143.169#15746.42

3 基于線性規(guī)劃理論的優(yōu)化方法

線性規(guī)劃法是目前單/多目標(biāo)優(yōu)化處理的一種基本方法，一般適用于求解問題的極大或極小值，該類問題通過構(gòu)造合適的目標(biāo)函數(shù)及約束條件線性方程組再對其求解。線性規(guī)劃法一般存在多個目標(biāo)方程，且目標(biāo)函數(shù)與約束條件均為線性函數(shù)或方程。一般表達(dá)式如下[7]。

(5)

約束條件可表述為：

(6)

式中：記A=(ai j)m×n，c=(cij)r×n，b=(b1,b2,…,bm)T，x=(x1,x2,…,xn)T，z=(z1,z2,…zr)T，則可將線性多目標(biāo)表達(dá)式改寫為矩陣形式。

(7)

(8)

調(diào)用Matlab優(yōu)化工具箱中l(wèi)inprog函數(shù)，在該函數(shù)中，其一般調(diào)用格式與目標(biāo)函數(shù)和約束條件之間存在對應(yīng)關(guān)系。將數(shù)學(xué)模型中各參數(shù)輸入至工具箱中，即可快速獲取該類問題最優(yōu)解[9]，使用Matlab的linprog函數(shù)求解優(yōu)化問題的具體步驟如下：

a.構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)及約束條件，確定設(shè)計變量。

b.將目標(biāo)函數(shù)、設(shè)計變量及約束條件等參數(shù)輸入至Matlab的linprog工具箱中，按照其調(diào)用格式依次輸入?yún)?shù)信息。

c.構(gòu)造評價函數(shù)，以目標(biāo)函數(shù)中各單目標(biāo)最優(yōu)解集合作為理想值中心點，在Matlab中建立以如式(8)的評價函數(shù)，調(diào)用fminimax工具箱對設(shè)計變量進(jìn)行求解，每求解一次調(diào)用評價函數(shù)進(jìn)行檢驗，當(dāng)評價函數(shù)結(jié)果最小時(即非劣解與值域中心點之間的距離最短)，即可認(rèn)為結(jié)果終止于最優(yōu)解。

d.將設(shè)計變量最優(yōu)解輸入至有限元軟件中并查看結(jié)果。

根據(jù)以上原理及優(yōu)化步驟，以圖2中的三墩柱力學(xué)模型為研究對象，可確定臨時拉索索力優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

a.目標(biāo)函數(shù)：以臨時墩所受水平推力最小為目標(biāo)函數(shù)，記為minF(X)=min[FA，F(xiàn)C]；其中FA、FC分別表示墩A、墩C的不平衡水平推力，具體表達(dá)式見式(4)。

b.設(shè)計變量：以水平拉索張拉力為自變量，記為X=[F1、F2]T。

c.約束條件：①臨時拉索僅能承受拉力，故F1、F2均應(yīng)大于0；②在索力調(diào)整過程中，墩A、C所受水平力應(yīng)小于其對應(yīng)限值Fm、Fn。

4 優(yōu)化結(jié)果

將以上3墩柱臨時拉索索力優(yōu)化數(shù)學(xué)模型類推至本文工程背景中9墩柱力學(xué)模型中。取該橋70 m頂推段為分析對象，設(shè)計變量取1#臨時墩～9#臨時墩之間的水平拉索索力張拉值，以1#～9#臨時墩所受水平推力最小為目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)上述章節(jié)確定的優(yōu)化方法，在Matlab中使用線性規(guī)劃方法求解最優(yōu)水平拉索張拉力，具體結(jié)果見表2。

表2 各墩水平拉索索力優(yōu)化計算結(jié)果Table2 OptimizedcalculationresultsofhorizontalcableforceofeachpierkN 索力編號臨時拉索張拉力x1783.5x2502.7x3435.8x4488.6x5380.5x6310.4x7265.7x8202.3x9198.4

為驗證該線性規(guī)劃優(yōu)化方法的有效性，將臨時拉索索力優(yōu)化結(jié)果輸入至有限元模型中。由于墩頂水平力的變化對墩底截面位置應(yīng)力影響明顯，因此將各臨時墩墩底截面應(yīng)力作為考察指標(biāo)。

表3給出了下部結(jié)構(gòu)臨時墩拉索索力優(yōu)化前后各墩墩底左右側(cè)截面最大應(yīng)力對比結(jié)果。對比計算結(jié)果表明：通過對臨時拉索索力值進(jìn)行調(diào)整，串聯(lián)成整體的下部結(jié)構(gòu)之間發(fā)生了應(yīng)力重分布，調(diào)整前各墩墩底截面應(yīng)力受力不均，各墩底所受應(yīng)力值差距較大，其中最大應(yīng)力出現(xiàn)在4#臨時墩位置，其拉壓應(yīng)力值分別達(dá)-27.74、21.58 MPa，同時4#永久墩出現(xiàn)了2.15 MPa拉應(yīng)力，已經(jīng)超出C40混凝土抗拉強(qiáng)度設(shè)計值；經(jīng)線性優(yōu)化理論調(diào)索后，各墩墩底截面應(yīng)力不均勻的情況得到緩解，應(yīng)力差幅度有明顯減小，其中4#臨時墩最大拉壓應(yīng)力降至-10.25、11.36 MPa，并且4#永久墩左側(cè)受拉區(qū)域最大應(yīng)力也有大幅下降，相比于調(diào)整前的2.15 MPa，調(diào)整后降幅達(dá)46.04%，小于材料抗拉強(qiáng)度設(shè)計值并且有一定富余。

表3 臨時拉索優(yōu)化前后墩底截面最大應(yīng)力對比結(jié)果Table3 Comparisonresultsofthemaximumstressofthepierbottomsectionbeforeandafterthetemporarycableoptimization橋墩編號調(diào)整前應(yīng)力/MPa調(diào)整后應(yīng)力/MPa右側(cè)左側(cè)右側(cè)左側(cè)1#-0.281.36-1.833.122#-0.630.81-0.963.333#-0.181.74-1.024.584#-27.7421.58-10.2511.365#-1.211.79-3.172.886#-11.583.65-7.243.757#-13.625.04-8.685.078#-10.244.28-7.184.929#1.82-2.351.33-3.57E4-2.332.15-3.471.16

在箱梁頂推過程中，臨時墩偏位控制尤為重要，偏位過大會造成墩頂滑道高程偏差，相關(guān)研究成果表明：滑道毫米級的高程差都將導(dǎo)致箱梁出現(xiàn)較大拉應(yīng)力，嚴(yán)重時會引起箱梁開裂[10]。因此必須對臨時墩在頂推過程中的偏位進(jìn)行嚴(yán)格控制。臨時拉索索力調(diào)整后，各墩墩頂最大偏位見表4。臨時拉索索力調(diào)整后，除9#臨時墩外，各墩偏位均有不同程度降低，降幅范圍在15%～35%之間，水平偏位較大的4#～7#臨時墩降幅均在25%以上，考慮到9#臨時墩本身偏位較小，其變化量也僅僅為0.03 mm，增幅可忽略不計。可認(rèn)為臨時拉索索力調(diào)整對下部結(jié)構(gòu)整體剛度起到了加強(qiáng)的效果。

表4 臨時拉索索力優(yōu)化前后各墩最大偏位對比結(jié)果Table4 Comparisonresultsofthemaximumdeflectionofeachpierbeforeandaftertheoptimizationofthetemporarycableforce臨時墩編號調(diào)整前偏位/mm調(diào)整后偏位/mm差值幅度/%1#-2.06-1.73-16.022#-2.32-1.95-15.953#-3.55-2.74-22.824#-4.48-3.29-26.565#-3.79-2.66-29.826#-4.05-2.75-32.107#-3.24-2.25-30.568#-2.45-1.84-24.909#0.380.417.89

5 結(jié)論

以某三跨頂推連續(xù)箱梁下部結(jié)構(gòu)臨時墩拉索為研究對象，基于線性規(guī)劃理論，構(gòu)建了臨時拉索索力的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，并通過Matlab對臨時拉索索力進(jìn)行了優(yōu)化，最后對優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了驗證，可得到以下結(jié)論：

a.基于力法原理，可推導(dǎo)出各墩頂水平力的數(shù)學(xué)表達(dá)式，對于該線性方程組，以臨時墩所受水平力最小為優(yōu)化目標(biāo)，取臨時拉索索力為設(shè)計變量，通過調(diào)用Matlab的線性規(guī)劃優(yōu)化工具箱可快速求得其索力最優(yōu)解。

b.臨時拉索索力優(yōu)化后，各墩之間受力不均的現(xiàn)象得到了改善，墩底左右兩側(cè)截面最大應(yīng)力差有了明顯減小。以該橋為例：各墩墩底截面最大拉壓應(yīng)力從優(yōu)化前的-27.74、21.58 MPa降至優(yōu)化后的-10.25、11.36 MPa，其余各墩受力也更為均勻，可認(rèn)為對臨時拉索索力的調(diào)整可有效改善下部結(jié)構(gòu)臨時墩柱的受力。

c.臨時拉索索力優(yōu)化后，各臨時墩在頂推過程中最大偏位也有不同程度降低，該橋9個臨時墩中有8個臨時墩偏位降幅在15%～35%之間，索力調(diào)整對臨時墩整體剛度有一定貢獻(xiàn)。