橋梁支座設(shè)計中單元計算模型的開發(fā)與實例驗證

包善發(fā),陳老伍,蔡 岳

(1.中國市政工程西南設(shè)計研究總院有限公司，四川 成都 610000；2.中國公路工程咨詢集團(tuán)有限公司，北京 100089；3.長沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410004)

我國已進(jìn)入第5個地震活躍期[1]，各地地震災(zāi)害頻發(fā)，而橋梁結(jié)構(gòu)隔震裝置通過增加系統(tǒng)水平柔度分離上部結(jié)構(gòu)與水平向地震動有效控制結(jié)構(gòu)振動，減少乃至避免結(jié)構(gòu)損傷，具有良好的防震減災(zāi)功能。目前，應(yīng)用較為廣泛的隔震裝置有天然橡膠支座(LNR)、鉛芯橡膠支座(LRB)等，但其仍存在著自身阻尼較小，耗能能力不足，塑性變形較大，自復(fù)位能力較弱等缺點。隨著近年來形狀記憶合金(SMA)的發(fā)展，與普通橡膠支座相比，應(yīng)用其獨特的超彈性效應(yīng)及形狀記憶效應(yīng)設(shè)計的SMA橡膠支座在智能隔震領(lǐng)域具有突出表現(xiàn)。

國內(nèi)外學(xué)者就SMA隔震橡膠裝置，進(jìn)行了大量的理論分析與試驗研究。李忠獻(xiàn)[2]設(shè)計了一種基于SMA復(fù)合橡膠支座的橋梁智能隔震系統(tǒng)，并與普通橡膠支座進(jìn)行了減隔震效果對比試驗，驗證了SMA復(fù)合橡膠支座隔震的自恢復(fù)能力；莊鵬[3]等設(shè)計了一種SMA隔震橡膠支座并研究了其力學(xué)特性；左曉寶[4]等建立了超彈性SMA復(fù)合阻尼器力學(xué)計算模型，分析了滑條槽深、摩擦系數(shù)、SMA絲預(yù)應(yīng)變等對阻尼器力學(xué)特性的影響規(guī)律；ALAM[5]對使用了SMA疊層橡膠支座的三跨連續(xù)梁進(jìn)行了非線性動力分析，對比了不同類型支座對主梁及橋墩位移的影響差異；DEZFULI[6]等提出了新型SMA-LRB支座，并給出了該支座豎向力及水平剪力下的本構(gòu)模型。隨著橡膠、SMA材料本構(gòu)的明確，SMA橡膠支座的有限元分析愈發(fā)精準(zhǔn)[7]，但現(xiàn)階段商用軟件中尚未提供適合SMA橡膠支座的單元庫，精確分析往往需要建立SMA與橡膠材料復(fù)雜超彈性本構(gòu)關(guān)系，并建立支座精細(xì)化模型進(jìn)行動力學(xué)分析，一方面工程應(yīng)用領(lǐng)域?qū)W習(xí)成本較高；另一方面對于整體結(jié)構(gòu)分析往往涉及多個支座，如需一一建立支座精細(xì)化模型則增加了模型復(fù)雜度，并隨之帶來巨量時間成本與硬件成本。

為此，本文基于ABAQUS-UEL，綜合考慮了SMA疊層橡膠支座水平剪切性能、豎向壓縮剛度、非線性拉伸及臨界承載力性能，開發(fā)了SMA疊層橡膠支座組合單元模型，并對單元有效性與精確性進(jìn)行了驗證，以低成本高效率的方式實現(xiàn)了SMA疊層橡膠支座的精確模擬，可為相關(guān)領(lǐng)域有限元分析提供參考。

1 SMA疊層橡膠支座力學(xué)性能

1.1 水平力學(xué)性能

與普通橡膠支座近似線彈性水平恢復(fù)力不同，SMA疊層橡膠支座(圖1)水平力——位移滯回效應(yīng)具有更為強(qiáng)烈的非線性。BOUC[8]等提出了一種能夠表述結(jié)構(gòu)滯回現(xiàn)象的光滑模型，廣泛應(yīng)用于橡膠隔震支座模擬，Casciati[9]在Bouc基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)正交方向加卸載判別條件的模型，滿足了水平方向各向同性的基本假定。故本文采用Casciati模型表述SMA疊層橡膠支座水平雙向力學(xué)性能，水平方向恢復(fù)力[F]與位移[U]滿足如下關(guān)系：

圖1 SMA疊層橡膠支座構(gòu)造示意圖

[F]=Kd,0[U]+Qd[Z]+cb[U]

(1)

式中:[F]=[Fx,Fy]T；[U]=[Ux,Uy]T；滯回位移[Z]=[Zx,Zy]T；Kd,0為SMA疊層橡膠支座初始屈后剛度;Ux、Uy為水平x，y方向的位移;Qd為支座特征強(qiáng)度;cb為粘滯阻尼。

滯回位移[Z]為位移[U]的函數(shù)，滿足非線性微分方程[9]：

(2)

同時，根據(jù)文獻(xiàn)[10]，采用雙彈簧模型修正豎向壓力下支座水平剛度Kd[11]：

(3)

式中:G為橡膠材料的剪切模量;Ab為剪切面積;ta為支座厚度(不計上下聯(lián)結(jié)鋼板);P為豎向壓力;Pcr0為支座初始臨界承載力。

1.2 豎向力學(xué)性能

SMA疊層橡膠支座具有LNR、LRB支座的特性，具有豎向拉壓剛度異性的特點，通常計算中往往忽略豎向拉伸剛度的影響，為實現(xiàn)精細(xì)化模擬，對豎向拉壓剛度分別考慮，采用位移Uz的方向?qū)嚎s(Uz≤0)、拉伸(Uz>0)情況分別考慮，即：

(4)

1.2.1豎向壓縮剛度

采用線彈性模型模擬SMA疊層橡膠支座的豎向壓縮剛度，壓縮力Fz1與豎向位移Uz滿足：

Fz1=KvUz

(5)

SMA疊層橡膠支座初始豎向壓縮剛度Kv1,0主要由橡膠層提供，其計算方法與LRB基本一致[12]：

(6)

(7)

式中：Ecb為橡膠的修正壓縮彈模;Ec為橡膠的表觀彈模;Eb為橡膠體積彈模。

考慮水平位移U對豎向壓縮剛度Kv1的影響，按分段線性公式進(jìn)行修正[13]：

(8)

式中:R為支座截面外徑。

1.2.2豎向拉伸剛度

采用Kumar拉伸模型[14]考慮SMA疊層橡膠支座豎向拉伸性能，拉伸力Fz2按式(9)計算。

(9)

式中:Uz為當(dāng)前拉伸位移;K為拉伸損傷參數(shù)，用以表征支座損傷對承載力降低的影響。根據(jù)文獻(xiàn)[14]，可取K=10，對于特殊支座結(jié)構(gòu)或特殊材料構(gòu)成的支座，應(yīng)根據(jù)試驗結(jié)果重新標(biāo)定K。

2 單元推導(dǎo)與UEL單元開發(fā)

第一節(jié)中給出了SMA疊層橡膠支座水平、豎直方向剛度及修正算法，并給出了基于Bonc-Wen模型改進(jìn)的Casciati模型考慮水平方向恢復(fù)力，但由于Casciati模型滯回位移與位移的關(guān)系以微分形式給出，不能直接迭代計算，且Casciati模型雖然將Bonc-Wen模型推廣到三維應(yīng)力空間，但其在三維空間中是三軸解耦的，為構(gòu)建考慮水平向恢復(fù)力的三維隔震支座單元，本文提出以兩節(jié)點三自由度單元與四節(jié)點平面應(yīng)力單元組合而成的組合單元對SMA疊層橡膠支座進(jìn)行模擬。

2.1 兩節(jié)點三自由度單元

兩節(jié)點三自由度單元如圖2所示，其i、j結(jié)點分別具有x、y、z這3個方向位移分量，將每個單元i、j結(jié)點共計6個位移分量表示為一個向量，即：

圖2 兩節(jié)點三自由度單元

{δ}e={δiδj}T={uiviwiujvjwj}T

(10)

結(jié)點力可表示為：

{F}e={FiFj}T={FxiFyiFziFxjFxjFxj}T

(11)

對于x、y、z這3個方向，由第一節(jié)剛度計算值，結(jié)合廣義胡克定律，有：

(12)

其中，k1、k2、k3分別為x、y、z這3個方向的剛度，寫為矩陣形式有：

{F}e=[k]e{δ}e

(13)

(14)

2.2 多軸Bouc-Wen四節(jié)點平面應(yīng)力單元

2.2.1廣義多軸Bonc-Wen模型

文獻(xiàn)[15]基于Casciati模型，采用平面應(yīng)力J2理論，推導(dǎo)出適用于平面應(yīng)力空間隨動強(qiáng)化、等向強(qiáng)化以及混合強(qiáng)化準(zhǔn)則的廣義多軸Bouc-Wen模型本構(gòu)關(guān)系：

(15)

式中:[σ]為應(yīng)力張量;[D]為彈性矩陣，二者滿足[σ]=[D],[εe]，其中[εe]為彈性應(yīng)變張量，且[εe]=[ε]-[εp]，[εp]為塑性應(yīng)變張量；[I]為單位陣；H1、H2為彈性過渡塑性光滑函數(shù)，表達(dá)式為：

(16)

(17)

式中:φ為J2屈服函數(shù)；φ0為J2屈服函數(shù)最大值。

[R]為映射矩陣，表達(dá)式為：

(18)

現(xiàn)利用該本構(gòu)關(guān)系，推導(dǎo)基于廣義多軸Bouc-Wen模型的四節(jié)點平面應(yīng)力單元。

2.2.2四節(jié)點平面應(yīng)力單元推導(dǎo)

對于實際工程結(jié)構(gòu)中不規(guī)則曲面上的單元，常采用不規(guī)則單元逼近真實解，但對于不規(guī)則單元計算較為困難，對此，本文給出形狀規(guī)則矩形母單元推導(dǎo)，對于不規(guī)則單元采用坐標(biāo)變換方法進(jìn)行計算，將母單元通過雅克比矩陣J映射于子單元上，本文不再贅述。母單元如圖3所示，x方向邊長為2a，y方向邊長為2b，坐標(biāo)原點位于矩形形心，其1、2、3、4結(jié)點分別具有x、y方向位移分量，即：

圖3 平面應(yīng)力四節(jié)點單元

{δ}e={δ1δ2δ3δ4}T=

{u1v1u2v2u3v3u4v4}T

(19)

由文獻(xiàn)[16]，設(shè)x、y為單元位移，則四節(jié)點平面應(yīng)力單元位移{r}e與形函數(shù)[N]分別為：

{r}e=[N]{δ}e

(20)

(21)

(22)

單元應(yīng)變{ε}可表示為：

{ε}=[B]{δ}e

(23)

[B]=[B1B2B3B4]

(24)

(i=1,2,3,4)

(25)

由虛功原理：

(26)

其中:dV為母單元體積；{F}e為結(jié)點力向量；節(jié)點虛位移{δ*}T為任意的，故有：

(27)

同時，其微分形式也成立：

(28)

由2.2.1可知平面應(yīng)力空間隨動強(qiáng)化、等向強(qiáng)化以及混合強(qiáng)化準(zhǔn)則的廣義多軸Bouc-Wen模型本構(gòu)關(guān)系，將式(15)代入式(28)，單元彈性剛度矩陣[Ke]與滯回剛度矩陣[Km]：

(29)

整體剛度矩陣為應(yīng)力的函數(shù)，可寫為：

[KP]=α[Ke]+(1-α)[Km]=

(30)

2.3 組合單元

將2.1節(jié)推導(dǎo)兩節(jié)點三自由度單元與2.2節(jié)基于廣義多軸Bouc-Wen模型的四節(jié)點平面應(yīng)力單元組合，組合單元在局部坐標(biāo)系x、y、z下位移可表示為：

{δa}={δa1δa2δa3δa4}T

(31)

{δai}={uaivaiwai}T,(i=1,2,3,4)

(32)

由于位移模式包含12個自由度，基于已推導(dǎo)的單元剛度矩陣[k]e及[Kp]，分別對其擴(kuò)充為12×12矩陣，有：

(33)

(34)

式中:Ki,j與式(30)對應(yīng)下標(biāo)Ki,j相同。

則組合單元剛度矩陣為：

2.4 UEL單元開發(fā)

基于ABAQUS-UEL可自定義上述組合單元，在增量步開始時主程序?qū)卧Y(jié)點的外荷載與位移傳入UEL子程序，UEL子程序根據(jù)傳入?yún)?shù)通過剛度矩陣AMATRX更新變量進(jìn)行相應(yīng)計算，利用SVARS保存臨時狀態(tài)變量，用RHS保存單元內(nèi)部結(jié)點力，利用RHS與外荷載疊加判斷程序收斂性，如收斂則將計算結(jié)果傳回主程序，如不收斂則主程序進(jìn)行下一次迭代直至收斂[17]。對于上述組合單元，計算結(jié)果的值依賴于內(nèi)部狀態(tài)變量(表1)與自由度增量。UEL主要分析流程見圖4。

圖4 UEL主要分析流程

表1 內(nèi)部狀態(tài)變量Table1 Internalstatevariables變量名稱變量含義SVARS(1)-SVARS(3)結(jié)點1三個自由度方向的殘余力SVARS(4)-SVARS(6)結(jié)點2三個自由度方向的殘余力SVARS(7)-SVARS(9)結(jié)點3三個自由度方向的殘余力SVARS(10)-SVARS(12)三個剪切方向的變形

3 單元驗證

為驗證上述單元的有效性與準(zhǔn)確性，現(xiàn)根據(jù)SMA疊層橡膠支座相關(guān)研究成果，對單元水平性能、豎向性能加以驗證。

3.1 水平力學(xué)性能驗證

文獻(xiàn)[18]對SMA疊層橡膠支座水平向恢復(fù)力進(jìn)行了試驗及理論計算，其中支座主要性能及材料參數(shù):SMA相變溫度Mf為-64 ℃，Mx為-40 ℃，Ax為-29 ℃，Af為-5 ℃，SMA彈性模量為4.27×104 MPa;SMA屈服應(yīng)力為480 MPa;橡膠外徑為150 mm;橡膠層厚為5 mm;橡膠層數(shù)為7;保護(hù)橡膠厚度為5 mm;中間鋼板厚度為2.5 mm，橡膠邵氏硬度為45?；诘?節(jié)水平恢復(fù)力模型，取δ=0.1,β=0.9，對如下兩類工況加以驗證：

a.工況一：豎向壓力荷載P=40 kN，加載頻率f=0.02 Hz，支座特征參數(shù)屈服力為2.972 9 kN，屈服位移為2.693 3 mm，剛度比為0.488 2。

b.工況二：豎向壓力荷載P=60 kN，加載頻率f=0.5 Hz，支座特征參數(shù)屈服力為3.790 1 kN，屈服位移為2.385 0 mm，剛度比為0.425 3。

文獻(xiàn)[18]試驗值、模擬值與本文開發(fā)單元模擬值在兩類工況下的滯回曲線對比見圖5。由滯回曲線可計算SMA疊層橡膠支座的等效剛度、單位循環(huán)耗能及等效阻尼比，文獻(xiàn)[18]試驗值、模擬值與本文模擬值見表3。

由圖5可知，本文開發(fā)單元能良好模擬SMA疊層橡膠支座恢復(fù)力-位移的滯回特性，與文獻(xiàn)模擬值基本一致，與試驗值較為接近，體現(xiàn)了本文開發(fā)單元對水平向恢復(fù)力的模擬的精確性；由表3可知，分別取不同位移幅值D=5、7、10 mm，本文單元模擬SMA疊層橡膠支座的等效剛度、單位循環(huán)耗能、等效阻尼比與文獻(xiàn)模擬值、試驗值基本一致，等效剛度、單位循環(huán)耗能、等效阻尼比與試驗值最大誤差僅為7%、10%、6%，體現(xiàn)了本文單元對支座水平力學(xué)性能模擬的精確性。

(a)工況一對比

表3 等效剛度、單位循環(huán)耗能、等效阻尼比對比Table3 Comparisonofequivalentstiffness,unitcycleenergyconsumptionandequivalentdampingratio不同位移幅度值(mm)的等效剛度/(kN·mm-1)D=5D=7D=10文獻(xiàn)試驗文獻(xiàn)模擬本文模擬本文/試驗文獻(xiàn)試驗文獻(xiàn)模擬本文模擬本文/試驗文獻(xiàn)試驗文獻(xiàn)模擬本文模擬本文/試驗工況一0.880.910.901.030.790.860.841.070.710.720.721.02工況二0.971.031.001.030.870.930.911.040.810.770.811.00不同位移幅度值(mm)的單位循環(huán)耗能/(kN·mm)D=5D=7D=10文獻(xiàn)試驗文獻(xiàn)模擬本文模擬本文/試驗文獻(xiàn)試驗文獻(xiàn)模擬本文模擬本文/試驗文獻(xiàn)試驗文獻(xiàn)模擬本文模擬本文/試驗工況一13.2613.5913.991.0623.2826.6024.551.0539.0443.1143.011.10工況二17.4719.0418.881.0829.6032.4831.411.0650.1954.6253.641.07不同位移幅度值(mm)的等效阻尼比/%D=5D=7D=10文獻(xiàn)試驗文獻(xiàn)模擬本文模擬本文/試驗文獻(xiàn)試驗文獻(xiàn)模擬本文模擬本文/試驗文獻(xiàn)試驗文獻(xiàn)模擬本文模擬本文/試驗工況一9.609.489.230.969.6310.0410.251.069.919.479.871.00工況二11.4511.7411.661.0211.0411.3911.231.0211.0211.3411.091.01

3.2 豎向力學(xué)性能驗證

SMA疊層橡膠支座與LNR、LRB支座的主要構(gòu)造區(qū)別在于SMA拉索，而SMA拉索對支座豎向剛度的影響較小，本文對SMA疊層橡膠支座單元豎向剛度上的計算方法與LNR支座一致，眾多相關(guān)研究如文獻(xiàn)[10,12,19]已驗證第1節(jié)中支座豎向壓縮剛度計算方法的正確性，故此處不再重復(fù)驗證本文開發(fā)單元在豎向壓縮剛度上的準(zhǔn)確性，僅對其拉伸性能進(jìn)行驗證。

根據(jù)文獻(xiàn)[20]對LRB及RB橡膠支座進(jìn)行了循環(huán)拉伸試驗，其支座主要性能及材料參數(shù)：橡膠外徑為300 mm;橡膠中孔直徑為60 mm;橡膠層總厚為57 mm;第一形狀系數(shù)為25;第二形狀系數(shù)為4.21;支座總高為120 mm；橡膠剪切模量為0.5 MPa，采用不規(guī)則加載方式，加載方案見圖6，試驗與本文開發(fā)單元計算結(jié)果對比見圖7。

圖6 文獻(xiàn)[20]拉伸循環(huán)加載方案

圖7 不規(guī)則加載力-位移曲線對比

由圖7可知，支座經(jīng)歷反復(fù)拉伸時，拉伸位移隨著拉伸次數(shù)增大而增大，支座拉伸剛度不斷降低，這與試驗值保持一致，但在卸載段與壓縮段銜接部分與試驗值存在一定偏差，考慮到試驗條件的限制，上述偏差可能是由于無法有效控制加卸載頻率導(dǎo)致，總體而言，本文開發(fā)單元對于支座豎向拉伸剛度的模擬與試驗結(jié)果保持一致，具有一定精度。

綜上，本文開發(fā)組合單元能夠良好模擬SMA疊層橡膠支座水平向恢復(fù)力以及各向剛度，具有良好性能，相應(yīng)計算結(jié)果與試驗值較為接近，在實際有限元計算中可利用本文開發(fā)單元對相應(yīng)支座進(jìn)行簡化，減少不必要的工作量。

4 結(jié)語

采用有限元直接建模的方式對SMA疊層橡膠支座進(jìn)行數(shù)值計算較為復(fù)雜，而通用有限元軟件單元庫往往不包含適用于SMA疊層橡膠支座的單元，為滿足實際工作的需要，本文開發(fā)了SMA疊層橡膠支座單元并進(jìn)行了驗證，得出以下結(jié)論：

a.基于SMA疊層橡膠支座水平恢復(fù)力以及各向剛度計算方法，推導(dǎo)了兩節(jié)點三自由度單元與四節(jié)點平面應(yīng)力單元以及二者組合單元剛度矩陣。

b.基于ABAQUS-UEL編制了組合單元子程序，并對該組合單元水平、豎向力學(xué)性能計算結(jié)果進(jìn)行了驗證，給出了適用于SMA疊層橡膠支座組合單元。對于水平向力學(xué)性能，兩類工況下滯回曲線模擬值與試驗值基本吻合，等效剛度、單位循環(huán)耗能、等效阻尼比與試驗值最大誤差僅為7%、10%、6%；對于豎向力學(xué)性能，其反復(fù)拉伸力——位移曲線也與試驗值基本一致。相應(yīng)算例表明，使用該單元對SMA疊層橡膠支座進(jìn)行簡化，可以減少建模的難度，降低相應(yīng)計算成本，且計算結(jié)果與相關(guān)試驗基本一致，可為相關(guān)結(jié)構(gòu)計算提供幫助。