M估計(jì)在單指數(shù)投資組合模型中的應(yīng)用

陳亞男,劉月娟,朱 睿

1.巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽合肥,238000;2.中山大學(xué)附屬第七醫(yī)院，廣東深圳,518000

Markowiz均值-方差投資組合模型(以下簡(jiǎn)稱M-V模型)雖然解決了投資組合的選擇問(wèn)題，但在實(shí)際應(yīng)用中，M-V模型需要計(jì)算的信息量非常大，使得工作任務(wù)變得十分復(fù)雜困難[1]。為解決這一難題，Sharpe[2]提出了單指數(shù)模型，很大程度上簡(jiǎn)化了投資組合模型的計(jì)算過(guò)程。單指數(shù)投資組合模型具有數(shù)據(jù)采集便利性、計(jì)算簡(jiǎn)便性、實(shí)用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，研究者將此模型視為一種優(yōu)化模型[3]。Ross提出套利定價(jià)模型，這一理論的提出使得現(xiàn)代投資組合理論更完善了。但不足的是傳統(tǒng)的單指數(shù)模型使用的是最小二乘估計(jì)法(OLS)，由于離群值(異常值)的存在，使用OLS估計(jì)結(jié)果誤差較大[4]。Manskiel[5]研究了一般單指數(shù)模型中未知參數(shù)β的可識(shí)別條件。對(duì)單指數(shù)模型中未知參數(shù)β的估計(jì)，Gallant提出了半?yún)?shù)加權(quán)非線性最小二乘(WNLS)法，Stone[6]也研究了利用極大似然估計(jì)法對(duì)參數(shù)β進(jìn)行估計(jì)。實(shí)際上，上述所提及方法的目標(biāo)函數(shù)存在是非凸的可能性，需要求解線性數(shù)值優(yōu)化問(wèn)題，這樣的話，計(jì)算起來(lái)非常困難。Manskiel研究了一種特殊的單指數(shù)模型：兩值響應(yīng)模型，提出了極大似化計(jì)分函數(shù)方法來(lái)估計(jì)β，且證明了估計(jì)是相合的。Powell等[7]提出了用密度加權(quán)平均導(dǎo)數(shù)估計(jì)(ADE)法。Hsieh等[8]所提出的極大似化計(jì)分函數(shù)方法在一定條件下依分布收斂某個(gè)正態(tài)分布的極大值點(diǎn)，但是收斂速度很慢。為了改進(jìn)收斂速度，Horiwitz提出了β的基于光滑計(jì)分函數(shù)的極大計(jì)分估計(jì)，并建立了他的漸進(jìn)正態(tài)性[9]。楊曉輝等[10]利用單指數(shù)模型進(jìn)行了投資組合有效邊界的繪制，但忽略了市場(chǎng)收益率的非正態(tài)性。李敏[11]提出用L-median估計(jì)量來(lái)估計(jì)股票收益率，在一定程度上克服異常值對(duì)參數(shù)的影響，但整體效果不佳。謝振中[12]將Bisquare估計(jì)量來(lái)估計(jì)回歸參數(shù)，對(duì)傳統(tǒng)的OLS估計(jì)進(jìn)行改進(jìn)。

上述這些對(duì)單指數(shù)模型中回歸系數(shù)β的估計(jì)并非都考慮到數(shù)據(jù)中異常點(diǎn)對(duì)回歸系數(shù)估計(jì)的影響。針對(duì)上述存在的問(wèn)題，本文的思想是在單指數(shù)模型中引入魯棒估計(jì)法，建立基于M-估計(jì)的單指數(shù)投資組合模型，可以求出的回歸系數(shù)是對(duì)異常值不敏感的，這一處理使得數(shù)據(jù)中異常點(diǎn)對(duì)回歸系數(shù)估計(jì)的影響有很大程度的減小。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 單指數(shù)模型

Sharpe[2]覺得無(wú)論何種股票，其收益率與其所在股票或證券市場(chǎng)的代表性指數(shù)收益率應(yīng)該以某種線性關(guān)系呈現(xiàn)出來(lái)，即基本方程

Ri=αi+βiRm+ei,i=1,2,…,n

(1)

式(1)中，αi是獨(dú)立于市場(chǎng)表現(xiàn)的隨機(jī)變量，是股票i收益的組成部分；Rm表示市場(chǎng)指數(shù)收益率，也是一個(gè)隨機(jī)變量；βi衡量Rm變化時(shí)Ri的期望變化，是一個(gè)常數(shù)；ei是誤差項(xiàng)，其期望為0。

通過(guò)構(gòu)建均值ei=E(ei)=0,i=1,2,…,n, 假設(shè)

(1)指數(shù)與特有收益(市場(chǎng)指數(shù)收益率)不相關(guān)，即

(2)

(2)股票僅通過(guò)對(duì)市場(chǎng)的共同反應(yīng)而相互關(guān)聯(lián)，即

E(eiej)=0orcov(ei,ej)=0，(i,j=1,2,…,n且i≠j)

(3)

=WT∑W

(4)

其中，W為單指數(shù)投資組合權(quán)重向量，∑為投資組合的協(xié)方差。

(5)

類似于M-V模型，本文定義單指數(shù)投資組合模型，即

=WT∑W

s.t.WTμ>r

(6)

基于OLS的單指數(shù)投資組合模型(以下簡(jiǎn)稱模型Ⅰ)的實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義為當(dāng)市場(chǎng)不允許賣空時(shí)，使投資者所構(gòu)建的投資組合模型能夠在損失風(fēng)險(xiǎn)不變的情況下獲得最大的利益或者在保證利益不變的情況下所承擔(dān)的損失風(fēng)險(xiǎn)最小。

1.2 基于M估計(jì)的單指數(shù)投資組合模型的建立

1.2.1 魯棒性

魯棒估計(jì)是一種能有效處理不確定因素問(wèn)題的手段，目標(biāo)是找到具有不確定參數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題的解，使得這個(gè)解對(duì)于滿足不確定集的所有或者大多數(shù)參數(shù)來(lái)說(shuō)都能達(dá)到很好的目標(biāo)值，它不要求得知參數(shù)的分布。因此，本文利用魯棒估計(jì)處理投資組合中收益率的不確定性。

1.2.2 M-估計(jì)量

(7)

如將M估計(jì)用于投資組合模型中，與風(fēng)險(xiǎn)、收益結(jié)合起來(lái)，便可構(gòu)造投資組合風(fēng)險(xiǎn)的M-估計(jì)量

(8)

因此，損失函數(shù)ρ(·)也可以作為一種風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，來(lái)衡量投資組合的有效性。除了Huber提出的Huber損失函數(shù)之外，投資組合中還包含了以下常用的幾種損失函數(shù)，即Lp損失函數(shù)、L1-L2損失函數(shù)、Tukey損失函數(shù)等。其中，Tukey損失函數(shù)具有良好的樣本外性質(zhì)，若將其用于魯棒估計(jì)投資組合，必須滿足兩個(gè)條件：(1)Tukey損失函數(shù)必須是對(duì)稱的，且最小值為0；(2)存在一個(gè)常數(shù)c，當(dāng)c∈[0,c]時(shí)，Tukey損失函數(shù)嚴(yán)格增加；當(dāng)c∈[c,+∞)時(shí)，Tukey損失函數(shù)為常數(shù)。

本文選擇Tukey損失函數(shù)，m是最優(yōu)投資組合下的M估計(jì)量，從而(8)式可以轉(zhuǎn)化為以下優(yōu)化問(wèn)題來(lái)計(jì)算M估計(jì)量：

(9)

1.2.3 基于魯棒估計(jì)單指數(shù)投資組合模型的建立

在研究單指數(shù)投資組合模型時(shí)，回歸分析是不可或缺的一個(gè)環(huán)節(jié)，用以估計(jì)模型中的回歸系數(shù)α和β，單指數(shù)投資組合模型中最常用的回歸方法就是普通OLS，OLS估計(jì)最大的缺點(diǎn)就是不能很好地排除離群值(異常值)對(duì)回歸殘差乃至回歸系數(shù)的影響。為減小這種由于離群值(異常值)的存在而導(dǎo)致回歸系數(shù)的估計(jì)誤差，本文把魯棒估計(jì)的思想引入單指數(shù)模型的求解過(guò)程中，建立基于M估計(jì)的單指數(shù)投資組合模型，估計(jì)出不能明顯感應(yīng)到離群值存在的回歸系數(shù)，減小離群值(異常值)對(duì)回歸結(jié)果產(chǎn)生的影響，使得最終的投資組合模型達(dá)到更有效的投資效果。

其具體建模思想為：首先，用M-估計(jì)投資組合模型估計(jì)出回歸系數(shù)；其次，將所估計(jì)出的回歸系數(shù)帶入單指數(shù)模型中，進(jìn)而求解投資組合的最優(yōu)解。按照這個(gè)思想分兩步建立基于M估計(jì)的單指數(shù)投資組合模型(分成兩步法)：

目標(biāo)函數(shù)1：

(10)

目標(biāo)函數(shù)2：

ωTe=1,ωi≥0,i=1,2,…,n

(11)

當(dāng)M估計(jì)選擇Huber損失函數(shù)估計(jì)時(shí)，為基于M-Huber估計(jì)的單指數(shù)投資組合模型(以下簡(jiǎn)稱模型Ⅱ)；當(dāng)M估計(jì)選擇Tukey損失函數(shù)估計(jì)時(shí)，為基于M-Tukey估計(jì)的單指數(shù)投資組合模型(以下簡(jiǎn)稱模型Ⅲ)。本文通過(guò)建立兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)來(lái)解目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，首先第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)其次將可以用魯棒估計(jì)單指數(shù)模型中所需參數(shù)；其次將第一個(gè)目標(biāo)得出的結(jié)果用于第二個(gè)目標(biāo)函數(shù)中求解優(yōu)化問(wèn)題。這種新的投資組合模型不僅減少M(fèi)arkowiz模型所帶來(lái)的大量計(jì)算，又能夠減小傳統(tǒng)單指數(shù)模型中OLS不能減小的由于離群值(異常值)的存在而導(dǎo)致的估計(jì)誤差。

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)的選取與分析

為了能夠更好地研究模型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的有效性，本文主要對(duì)上證50指中10支股票的日收盤價(jià)進(jìn)行研究分析。選擇依據(jù)主要是：為了更好地體現(xiàn)分散投資的理念，股票盡量屬于不同的行業(yè)；上市時(shí)間早，市場(chǎng)規(guī)模大，流通性能高，代表性強(qiáng)，用少量股票便可體現(xiàn)中國(guó)金融市場(chǎng)性質(zhì)；股票歷史數(shù)據(jù)缺失值不多于5個(gè)，以提供大量效果較好的股票數(shù)據(jù)。首先，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，算出每只的日收益率rti，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，相關(guān)統(tǒng)計(jì)結(jié)果具體見表1。

表1 股票收益率統(tǒng)計(jì)描述

2.2 數(shù)據(jù)的正態(tài)性檢驗(yàn)

由于M估計(jì)投資組合模型的建立是在股票收益率為非正態(tài)分布的基礎(chǔ)上成立的，因此需要進(jìn)一步驗(yàn)證數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布，從股票收益率的柱狀統(tǒng)計(jì)圖和QQ圖分析其正態(tài)性。由圖1(左)可知，中國(guó)石化的偏度大于0，峰度大于5，表明中國(guó)石化股票數(shù)據(jù)右拖尾較長(zhǎng)，并有尖峰、厚尾等特點(diǎn)。此外，統(tǒng)計(jì)量Jarque-Bera大于臨界值，并且P值等于0，拒絕該樣本收益率滿足正態(tài)分布的假設(shè)。圖1(右)中，樣本收益率數(shù)據(jù)的Q-Q圖很大程度上偏離直線y=x，這充分說(shuō)明了樣本收益率數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布。綜合上述，對(duì)中國(guó)石化股票數(shù)據(jù)的分析，本文發(fā)現(xiàn)中國(guó)石化股票收益率具有波動(dòng)集聚性和非正態(tài)性，故可用單指數(shù)模型來(lái)擬合收益率殘差序列分布的尾部。同理，用Eviews軟件畫出余下9支股票收益率的柱狀圖和QQ圖，經(jīng)分析圖中各類統(tǒng)計(jì)參數(shù)后得出均不服從正態(tài)分布，具體的統(tǒng)計(jì)參數(shù)分析見表2。

圖1 中國(guó)石化指數(shù)收益率柱狀統(tǒng)計(jì)圖和QQ圖

表2 10只股票收益率的統(tǒng)計(jì)量

2.3 模型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的有效性分析

通過(guò)上面10只股票收益率分布以及相應(yīng)統(tǒng)計(jì)量的分析，可以發(fā)現(xiàn)：由于離群值(異常值)的存在，股票收益率不服從正態(tài)分布。因此，本文將M估計(jì)投資組合模型運(yùn)用到傳統(tǒng)的單指數(shù)模型中，用于估計(jì)單指數(shù)模型中的參數(shù)，并將與最小二乘法(OLS)估計(jì)的參數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析，進(jìn)而求解相應(yīng)的投資組合問(wèn)題，得到不同模型下的有效邊界，對(duì)比分析模型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的有效性。

2.3.1 模型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的參數(shù)估計(jì)

表3 不同估計(jì)方法下的參數(shù)估計(jì)值

2.3.2 模型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的有效前沿對(duì)比

將獲得的數(shù)據(jù)代入模型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中，求解第二個(gè)目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)規(guī)劃求解得到模型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的有效邊界，見圖2。

圖2 在不同估計(jì)情況下的投資組合模型的有效邊界

從圖2可以看出，用三種不同的方法得到的有效邊界在投資組合期望收益率比較小的時(shí)候，三種方法得到的投資組合的風(fēng)險(xiǎn)相差無(wú)幾。但是隨著投資組合期望收益率的增大，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)變化的幅度有所不同。用OLS方法得到的投資組合的有效邊界在最下方，用M-Tukey方法得到的投資組合的有效邊界位于圖中上方第一條線，而M-Huber法得到的有效邊界始終介于OLS法與M-Tukey法得到的有效邊界之間。這說(shuō)明模型Ⅲ的投資效果最好，模型Ⅰ的投資效果最差，而模型Ⅱ的投資效果始終介于二者之間，即在投資組合風(fēng)險(xiǎn)不變的條件下，OLS方法下的單指數(shù)投資組合期望收益率最?。籑-Huber方法下的單指數(shù)投資組合期望收益率有所提高，但是幅度不大；M-Tukey方法下的單指數(shù)投資組合期望收益率明顯提高。

2.3.3 模型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的穩(wěn)健性分析

本文使用“滾動(dòng)視野法”得到模型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的權(quán)重箱線圖。通過(guò)箱線圖的分布情況來(lái)分析不同估計(jì)情況下的投資組合模型權(quán)重的穩(wěn)健性，進(jìn)而分析投資組合的穩(wěn)健性。

圖3中，圖3(a)表示的是OLS估計(jì)下的單指數(shù)投資組合模型(模型Ⅰ)的權(quán)重分布，雖然每個(gè)資產(chǎn)的權(quán)重的分布相對(duì)較為均勻，但是由于股票收益率不是嚴(yán)格服從正態(tài)分布，有一部分的異常值的存在，使得求解投資組合模型的最優(yōu)解時(shí)，仍然有較多的權(quán)重偏離中心位置。圖3(b)表示的是在M-Huber估計(jì)下的單指數(shù)投資組合模型(模型Ⅱ)的權(quán)重分布，在這種估計(jì)方法下的投資組合的權(quán)重分布較為均勻，雖然相對(duì)于OLS估計(jì)方法下的投資組合模型的權(quán)重分布而言，偏離中心位置的權(quán)重減少了很多，但是仍然存在較多的權(quán)重偏離中心位置。圖3(c)表示的是在M-Tukey估計(jì)方法下的單指數(shù)投資組合模型(模型Ⅲ)的權(quán)重分布，從圖中可以看出，相對(duì)于前兩種估計(jì)方法的投資組合模型的權(quán)重分布，M-Tukey估計(jì)方法下的單指數(shù)投資組合模型的最優(yōu)解中，偏離中心位置的投資組合權(quán)重有著明顯減少，但是資產(chǎn)1、資產(chǎn)4、資產(chǎn)7、資產(chǎn)8的權(quán)重分布的范圍明顯變大，并且資產(chǎn)8的權(quán)重出現(xiàn)右偏的情況。這說(shuō)明M-估計(jì)可以很有效地降低投資組合收益率中離群值(異常值)的存在對(duì)投資組合模型最優(yōu)解的影響，但是它在降低離群值(異常值)產(chǎn)生影響的同時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致其他問(wèn)題出現(xiàn)，如某個(gè)資產(chǎn)的權(quán)重分布的范圍可能變大，使得投資者的選擇范圍變大，不利于投資者做出投資決策?？偠灾?，M-Huber估計(jì)下的單指數(shù)投資組合與M-Tukey估計(jì)下的單指數(shù)投資組合的穩(wěn)健性對(duì)回歸估計(jì)偏離正態(tài)性的偏差相對(duì)不敏感。而傳統(tǒng)的單指數(shù)投資組合(OLS)的穩(wěn)健性對(duì)回歸估計(jì)偏離正態(tài)性的偏差較為敏感。

圖3 三種估計(jì)方法下的投資組合權(quán)重箱線圖

2.3.4 模型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的績(jī)效指標(biāo)比較

通過(guò)對(duì)三種不同估計(jì)方法下的單指數(shù)投資組合權(quán)重箱線圖的研究分析，發(fā)現(xiàn)基于不同損失函數(shù)的M-估計(jì)的單指數(shù)投資組合模型相對(duì)于傳統(tǒng)的單指數(shù)投資組合模型的穩(wěn)健性都有著不同程度的改善，但是仍然是一種顧此及彼的改善。投資組合模型的有效性的衡量標(biāo)準(zhǔn)不唯一，主要有夏普測(cè)度、特雷諾測(cè)度、詹森測(cè)度、信息比率和 M2 測(cè)度等。如果投資者注重系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，則以考慮詹森測(cè)度、特雷諾測(cè)度的排名為主，若注重總風(fēng)險(xiǎn)，則以考慮夏普測(cè)度為主。本文兼顧系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)和總風(fēng)險(xiǎn)，選擇夏普測(cè)度和特雷諾測(cè)度作為主要的基金業(yè)投資組合模型評(píng)價(jià)指標(biāo)。

表4 模型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)

考慮到給定一個(gè)收益率水平以及不允許賣空的條件，從表4中結(jié)果可得結(jié)論，模型I、II、III的夏普測(cè)度和特雷諾測(cè)度的比較如下：SPI=0.019 378 6

3 結(jié) 論

股票市場(chǎng)里資產(chǎn)收益率往往是偏離正態(tài)分布的，M-V模型的估計(jì)誤差較大，所要計(jì)算的信息量也非常大。這時(shí)尋找合適的投資組合替代模型就顯得尤為重要了。本文用魯棒性較強(qiáng)的M-Huber估計(jì)和M-Tukey估計(jì)代替OLS，并引入到單指數(shù)模型中，構(gòu)建基于M估計(jì)的單指數(shù)投資組合模型，不僅解決了Markowiz均值-方差投資組合模型的計(jì)算信息量大的問(wèn)題，同時(shí)在很大程度上可以減少離群值對(duì)單指數(shù)模型中回歸參數(shù)估計(jì)的影響,從而給投資者提供一種更為科學(xué)的投資決策，以達(dá)到在風(fēng)險(xiǎn)相同的情況下獲得最大收益或在收益相同情況下風(fēng)險(xiǎn)最小的目的，這對(duì)投資者們進(jìn)行投資組合選擇具有現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。但投資者在使用本文模型進(jìn)行投資時(shí)應(yīng)使用最新數(shù)據(jù)，并結(jié)合實(shí)際市場(chǎng)動(dòng)向，避開不可控因素后再進(jìn)行投資。