Mie散射中遞推方法的比較

林樂(lè)科，趙振維，張?chǎng)?/p>

（中國(guó)電波傳播研究所，山東 青島 266107）

Mie理論對(duì)于無(wú)損介質(zhì)中均勻球的散射問(wèn)題給 出了一個(gè)精確的解答[1-2]。它廣泛應(yīng)用于氣體分子、氣溶膠、云霧水滴、小雨滴等近球形粒子的X射線、可見(jiàn)光、紅外、微波、毫米波的電磁散射、輻射氣象、醫(yī)學(xué)、遙感、通信、雷達(dá)等多個(gè)領(lǐng)域[3-15]。Mie理論的準(zhǔn)確計(jì)算有著重要的現(xiàn)實(shí)意義，例如球形水滴的散射是云霧和降雨衰減計(jì)算的基礎(chǔ)等，但其系數(shù)中包含復(fù)雜的函數(shù)形式（球貝塞爾函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)），計(jì)算復(fù)雜，難以精確求解。為此提出了幾種遞推的方法[16-18]，便于計(jì)算。文獻(xiàn)[18]對(duì)于趙遞推和正向遞推方法的收斂性進(jìn)行了比較，但是沒(méi)有比較倒遞推方法，也沒(méi)有比較不同遞推方法對(duì)于截?cái)囗?xiàng)數(shù)的收斂特性。為此，文中比較了這幾種遞推方法的收斂性能、截?cái)囗?xiàng)數(shù)的魯棒性等，發(fā)現(xiàn)如正確選擇參數(shù)，趙遞推公式最準(zhǔn)確、適用范圍最廣。

1 Mie理論數(shù)值計(jì)算

假定介質(zhì)球的折射指數(shù)為m，半徑為r，其周圍介質(zhì)為自由空間，自由空間波長(zhǎng)為λ0，則Mie理論系數(shù)的計(jì)算公式為[16-17,19]：

其中：

式中：ψn(ρ)、ξn(ρ)為黎卡提-貝塞爾（Riccati-Bessel）函數(shù)，jn(ρ)與hn(1)(ρ)分別為球貝塞爾函數(shù)與第一類球漢克爾函數(shù)。黎卡提-貝塞爾函數(shù)具有以下性質(zhì)及遞推關(guān)系：

令：

由(6)、(8)、(13)可推得：

則有：

利用Mie系數(shù)計(jì)算歸一化散射截面、消光截面、后向散射截面的公式為：

2 計(jì)算Dn的遞推公式

從以上公式可以看出，影響Mie系數(shù)精度的關(guān)鍵是Dn的計(jì)算，其他參數(shù)都給了恰當(dāng)?shù)某踔蹬c遞推公式。當(dāng)球?yàn)槔硐雽?dǎo)體球時(shí)，Dn=i。對(duì)于介質(zhì)球，目前計(jì)算Dn的主要遞推方法有以下幾種。

1）倒遞推公式，即直接利用式(14)，計(jì)算散射、消光截面時(shí)取其前K項(xiàng)，K值可取為[17]：

式中：INT[]表示取整函數(shù)。倒遞推起始點(diǎn)為：

由此向下一直遞推到D1。

2）正向遞推公式[16,20]。由式(14)可推出：

對(duì)無(wú)耗介質(zhì)球：

對(duì)有耗介質(zhì)球，m=mr－imi：

式中，sh和ch函數(shù)是無(wú)界的。當(dāng)x很大時(shí)，會(huì)導(dǎo)致較大的計(jì)算誤差和計(jì)算機(jī)溢出，趙振維將其重寫(xiě)為[18,21]：

此時(shí)無(wú)論x如何增大，也不會(huì)出現(xiàn)計(jì)算機(jī)溢出。

3）x很大時(shí)（通常指x＞30）的正向遞推公式為[18,21]：

以下將其稱之為趙遞推公式。對(duì)于趙遞推公式，當(dāng)x≤30時(shí)，文中采用正向遞推。

3 遞推公式的比較與分析

利用Mie系數(shù)計(jì)算介質(zhì)球的歸一化消光截面、散射截面、后向散射截面對(duì)遞推公式進(jìn)行比較。由于正向遞推公式中并未給出截?cái)囗?xiàng)，計(jì)算中采用與后向遞推公式相同的截?cái)囗?xiàng)K。對(duì)于趙遞推公式，當(dāng)x＞30時(shí)，采用式(27)進(jìn)行遞推，否則采用正向遞推公式。為全面比較，選取與文獻(xiàn)[5]相同的折射率，分別為n=1.29?j1.47、n=1.29?j0.47、n=1.29?j0.047的強(qiáng)、中、弱吸收球，利用3種遞推公式進(jìn)行計(jì)算。其對(duì)n=1.29?j1.47的計(jì)算結(jié)果如圖1—3所示，對(duì)其他2種介質(zhì)球也有類似結(jié)果。可以看出，當(dāng)x較小時(shí)，正向遞推公式與倒遞推公式結(jié)果一致。當(dāng)x增大到一定值（本例中約為80）時(shí)，正向遞推公式變得不穩(wěn)定，計(jì)算后向散射截面時(shí)尤為顯著。此時(shí)趙遞推公式與倒遞推公式都是連續(xù)穩(wěn)定的，并趨于一致，趙遞推從邏輯上是正向的，相對(duì)容易理解。

圖1 歸一化消光截面隨x的變化Fig.1 Variation of normalized extinction cross section with x

圖2 歸一化散射截面隨x的變化Fig.2 Variation of normalized scattering cross section with x

圖3 歸一化后向散射截面隨x的變化Fig.3 Variation of normalized backscatter cross section with x

另外，由于前面的計(jì)算都采用了相同的截?cái)囗?xiàng)，下面分析截?cái)囗?xiàng)增大的情況。假設(shè)截?cái)囗?xiàng)數(shù)比式(22)增加200，則計(jì)算得到的倒遞推公式和趙遞推公式的后項(xiàng)散射截面如圖4所示?？梢钥吹剑@時(shí)倒遞推僅在x＞6時(shí)有值，而趙遞推公式此時(shí)計(jì)算結(jié)果仍然是正常的。當(dāng)然，隨著截?cái)囗?xiàng)數(shù)的持續(xù)增加，趙遞推公式也會(huì)出現(xiàn)不收斂的情況，但是顯然其對(duì)截?cái)囗?xiàng)數(shù)的魯棒性更強(qiáng)。綜合上述分析，可以認(rèn)為趙遞推公式最準(zhǔn)確、適用范圍最廣。

圖4 歸一化后向散射截面隨x的變化（截?cái)囗?xiàng)加200）Fig.4 Normalized backscatter cross-section changes with x(truncation plus 200): a) backward inverse recursion; b) Zhao recursion

4 結(jié)語(yǔ)

文中對(duì)Mie系數(shù)計(jì)算中幾種主要的遞推公式作了分析比較，結(jié)果顯示，趙遞推公式是目前計(jì)算Mie系數(shù)比較理想的公式，倒遞推計(jì)算結(jié)果與趙遞推相似，但是在截?cái)囗?xiàng)數(shù)上趙遞推有更好的魯棒性。正向遞推公式有一定的適用范圍，超過(guò)適用范圍，計(jì)算結(jié)果會(huì)發(fā)散。因此，通常情況下，建議采用趙遞推公式。當(dāng)然，盡管是準(zhǔn)確的解析解，也需要實(shí)驗(yàn)測(cè)試來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，因?yàn)楣街卸疾捎昧私啤ie理論的實(shí)驗(yàn)測(cè)試存在較多困難，這是未來(lái)需要進(jìn)一步研究的內(nèi)容。