高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)對策探析

羅瓊

（黔南民族師范學(xué)院，貴州 都勻）

高等數(shù)學(xué)是高校數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)課程，高等數(shù)學(xué)的學(xué)科難度要比高中數(shù)學(xué)在深度和難度上有著質(zhì)的區(qū)別，必須有一定的思維能力。就高等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作而言，現(xiàn)階段大部分高校采用的教學(xué)方法非常單一，整體教學(xué)創(chuàng)新思維運(yùn)用不足，學(xué)生的積極性不夠，整體課程內(nèi)容和文化教育有待進(jìn)一步完善。

一 高等教學(xué)中的數(shù)學(xué)思維概述

（一）抽象思維

抽象思維在高等數(shù)學(xué)整體教育思想中的發(fā)散是重點(diǎn)發(fā)展規(guī)劃。在高校數(shù)學(xué)教育中，抽象思維的關(guān)鍵是邏輯思維與數(shù)學(xué)思維的延伸，表達(dá)數(shù)學(xué)思維本質(zhì)的過程和客觀性的發(fā)展。在高等數(shù)學(xué)課程中，理論內(nèi)容是根據(jù)不斷總結(jié)的數(shù)學(xué)思維案例的呈現(xiàn)推導(dǎo)出來的，并通過總結(jié)發(fā)現(xiàn)與規(guī)則相同的特征。例如，在高等數(shù)學(xué)的定積分理論中，可以表示為平面坐標(biāo)的某個(gè)區(qū)域內(nèi)的函數(shù)圖像的一個(gè)區(qū)域，其上下限是為A、B兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，所以可以找到定積分的本質(zhì)。它是象限的分割，但就著名的牛頓布蘭尼茨定理的表述而言，可以在其中找到思想理論的應(yīng)用。通過將這個(gè)定理延伸到定積分的表現(xiàn)形式與積分相連，得出一個(gè)精確的概念[1]。

（二）具象思維

具象思維的行為主體貼近形象和表象，重點(diǎn)是人們對客體形象的認(rèn)知。在認(rèn)識(shí)世界的過程中，分析物體的形狀和實(shí)際特征、進(jìn)行分析、總結(jié)、整合。最后產(chǎn)生了一種視覺化的思維方式。在處理問題時(shí)，這種心態(tài)會(huì)迅速而直觀地揭示其本質(zhì)。因此，在高等數(shù)學(xué)教育中，要塑造學(xué)生對數(shù)學(xué)的主觀辨別能力，就必須注重具象思維的正確引導(dǎo)和生成[2]。

例如，在學(xué)習(xí)《一元復(fù)合函數(shù)及多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)》這門課時(shí)，由于函數(shù)中的變量很多，所以在推導(dǎo)過程中有許多復(fù)雜的應(yīng)答程序。這時(shí)候可以應(yīng)用具象思維，先把問題用樹形圖的形式表達(dá)出來，再按照推理的方法一步步進(jìn)行推理，這樣即使是復(fù)雜的函數(shù)公式也可以很容易求解。

（三）辯證思維

辯證思維一般被認(rèn)為是相對于邏輯思維的一種思維方式。它以事物的客觀聯(lián)系為基礎(chǔ)，根據(jù)客觀現(xiàn)實(shí)的辯證思維得出相應(yīng)的結(jié)果。辯證思維在高等數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容中無處不在，比如高等數(shù)學(xué)的直線和曲線。在人們的基本常識(shí)中，直線和曲線的定義不同，但是在高級幾何標(biāo)準(zhǔn)下，直線和曲線的定義是一樣的，把直線變成曲線是學(xué)習(xí)微積分的重要知識(shí)點(diǎn)。因此，在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，辯證思維通?？梢詭椭鷮W(xué)生應(yīng)對很多困難。

（四）創(chuàng)新思維

創(chuàng)新思維是一種具有自身思維特點(diǎn)的思維方式。一般是根據(jù)客觀事實(shí)和現(xiàn)有理論產(chǎn)生的，創(chuàng)新思維是在其他思維的基礎(chǔ)上通過創(chuàng)造性發(fā)散而產(chǎn)生的。在一定程度上，創(chuàng)新思維可以說是實(shí)踐思維、辯證思維和抽象思維的綜合，也是高等數(shù)學(xué)答題思維最重要的部分。高等數(shù)學(xué)教育關(guān)注學(xué)生創(chuàng)新思維的形成，不設(shè)水平要求，無論價(jià)值如何，如果學(xué)生在學(xué)習(xí)中能自發(fā)總結(jié)出新邏輯思維或創(chuàng)新已有的數(shù)學(xué)思維，那就是創(chuàng)新性的突破[3]。

二 高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)存在的問題

數(shù)學(xué)思維在教育心理學(xué)中理解為：“一種提供新穎而有價(jià)值的思維結(jié)果的心理過程。和其他邏輯思維一樣，它不僅僅是分析、整合、比較、抽象和概括，又是協(xié)調(diào)各種思維形式的綜合?！睌?shù)學(xué)思維與其他思維的區(qū)別在于強(qiáng)調(diào)用新的認(rèn)知方法，從不同的角度對客觀事物進(jìn)行概括和把握。有研究人員指出，目前我國高校高等數(shù)學(xué)教育以應(yīng)試教育為主，教育強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)解釋、理論推導(dǎo)和計(jì)算方法，但創(chuàng)新教育存在明顯缺陷。作者根據(jù)多年高等數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和與同行業(yè)交流，高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中塑造數(shù)學(xué)思維的難點(diǎn)問題總結(jié)如下：

（一）教育模式落后，缺乏新觀念

高校高等數(shù)學(xué)教育模式單一，大部分教學(xué)課堂仍是傳統(tǒng)的“概念-實(shí)例-實(shí)踐-總結(jié)”為了更好地確保教師完成日常工作，教師往往會(huì)忽視學(xué)生的感受，教師在課堂上提出的問題較少，教師提出的問題多是基于記憶的問題，要求學(xué)生回答的問題也多為要素、定義、公式計(jì)算等等，教師只注重專業(yè)知識(shí)的傳授。采用以教師為中心的教學(xué)方法，缺乏師生互動(dòng)。教師不能根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，給予詳細(xì)的、有目的的具體指導(dǎo)。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生主要是被動(dòng)的接受者。學(xué)生的主體位置沒有得到充分發(fā)揮。教師很少關(guān)注學(xué)生在課堂教學(xué)中的參與，學(xué)生也很少有機(jī)會(huì)發(fā)表不同的意見和建議。換言之，數(shù)學(xué)思維涉及創(chuàng)新思維，而差異性是創(chuàng)新思維能力最本質(zhì)的特征。因此，其邏輯思維的培養(yǎng)與其他思維培養(yǎng)有著顯著的不同。教師可以改變思維培養(yǎng)方式，而無需遵循舊的方式。在當(dāng)今高等數(shù)學(xué)的教學(xué)方法中，學(xué)生很少有機(jī)會(huì)表達(dá)與老師不同的想法和觀點(diǎn)，更不可能培養(yǎng)創(chuàng)新思維[4]。

（二）教育內(nèi)容陳舊，缺乏新內(nèi)容

現(xiàn)階段大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容和課程不能滿足其他課程對數(shù)學(xué)思維的要求。目前高等數(shù)學(xué)教材廣泛關(guān)注基礎(chǔ)理論的準(zhǔn)確性和數(shù)理系統(tǒng)的相關(guān)性。在高等數(shù)學(xué)中，許多概念、公式、定理的產(chǎn)生都有實(shí)踐背景，但按照完整的知識(shí)體系編入教科書時(shí)，是高度抽象和歸納的，省略了概念生成的思維過程。這樣一來，數(shù)學(xué)思維創(chuàng)新的特點(diǎn)就不可能實(shí)現(xiàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是一個(gè)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和處理問題的過程，教材應(yīng)該在教育過程中起到正確的引導(dǎo)作用。高等數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容忽略了概念和推論的最初選題背景。教師通常在教育中明確提出關(guān)鍵概念，重視公式計(jì)算推理的過程和應(yīng)用價(jià)值。高等數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容重基礎(chǔ)理論，輕應(yīng)用。高等數(shù)學(xué)陳舊過時(shí)的教學(xué)內(nèi)容與科技進(jìn)步的迅猛發(fā)展不太吻合。

（三）單一的教師評價(jià)方法，缺乏新的措施

科學(xué)合理的測試是檢測學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效途徑，是數(shù)學(xué)思維形成成果的重要指標(biāo)，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的重要指南。目前，大多數(shù)高校的高等數(shù)學(xué)教育缺乏數(shù)學(xué)思維的評價(jià)機(jī)制。高校高等數(shù)學(xué)評價(jià)仍多以筆試形式進(jìn)行，學(xué)生成績僅通過期中和期末考試進(jìn)行評價(jià)，注重總結(jié)評價(jià)性和學(xué)習(xí)成果，缺乏診斷性評價(jià)和績效評價(jià)，忽視了同學(xué)們的學(xué)習(xí)過程。評估教師在學(xué)校的平時(shí)表現(xiàn)，包括課堂效果和常規(guī)作業(yè)布置，同時(shí)，評估學(xué)生的主要日常表現(xiàn)，如課堂教學(xué)合作學(xué)習(xí)、課堂教學(xué)參與、課堂練習(xí)、閱讀報(bào)告、小組討論、課外活動(dòng)等。教師評價(jià)的內(nèi)容側(cè)重于學(xué)生評價(jià)的數(shù)學(xué)思維方法和計(jì)算水平。學(xué)生解決困難的關(guān)鍵主要是模仿，通常受限于一個(gè)方向或公式，邏輯思維僵化。數(shù)學(xué)思維在一定程度上是突破，而發(fā)散性是邏輯思維的本質(zhì)特征之一。當(dāng)前的評估方法側(cè)重于培養(yǎng)應(yīng)試技能。這使學(xué)生具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)思維基礎(chǔ)知識(shí)，并保持良好的解決問題的工作能力，但缺乏對已知信息進(jìn)行多方面、多方位、多維度的分析和思考能力[5]。

三 培養(yǎng)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思維的措施

正如徐立志所指出的：“培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)新思維是一個(gè)長遠(yuǎn)的目標(biāo)。因此，改革教學(xué)方法，轉(zhuǎn)變教師的教學(xué)觀念，把學(xué)生擺在教學(xué)的主要位置上，是未來教育的主要挑戰(zhàn)?！贬槍δ壳拔覈叩葦?shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)存在的問題，結(jié)合多年高等數(shù)學(xué)教育經(jīng)驗(yàn)，提出以下對策。

（一）改進(jìn)教學(xué)方法，加強(qiáng)師生交流討論

在傳統(tǒng)的以教師為中心的高等數(shù)學(xué)教育模式中，學(xué)生被動(dòng)接受教師傳授的專業(yè)知識(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中難免缺乏創(chuàng)造性和自覺性，不利于塑造學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。正如顧沛指出的：“如果我們總是談?wù)搫?chuàng)新，但卻運(yùn)用不利于塑造數(shù)學(xué)思維的課堂教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，那么塑造數(shù)學(xué)思維在課堂教學(xué)文化教育中就成了宣傳口號(hào)。高校應(yīng)鼓勵(lì)教師在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中選擇多種教學(xué)策略?！苯處熯€可以選擇具有適當(dāng)難度的具有代表性的數(shù)學(xué)問題，并用它們來鼓勵(lì)師生交流和討論[3]。

例如：建設(shè)性證明是數(shù)學(xué)中創(chuàng)造性證明的一種形式，對塑造學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有很大幫助。老師們在教授拉格朗日中值定理證明的時(shí)候，很多同學(xué)不明白這個(gè)數(shù)學(xué)定理是如何明確提出的，輔助函數(shù)公式是如何構(gòu)成的，教師在訓(xùn)練時(shí)要注意拉格朗日中值定理的證明。課堂教學(xué)是如何根據(jù)羅爾定理結(jié)構(gòu)輔助函數(shù)公式證明拉格朗日中值定理，教師可以依靠幾何圖形結(jié)構(gòu)輔助函數(shù)公式，用積分計(jì)算結(jié)構(gòu)輔助函數(shù)公式，或從結(jié)果入手拉格朗日中值定理；根據(jù)是一個(gè)常數(shù)，可以將其設(shè)為等于k，將結(jié)論變形為f(b)-kb=f(a)-ka的形式，根據(jù)這個(gè)公式計(jì)算出的函數(shù)公式構(gòu)造了一個(gè)輔助函數(shù)公式。教師還可以利用信息技術(shù)正確引導(dǎo)學(xué)生完成知識(shí)創(chuàng)新和發(fā)現(xiàn)的過程。學(xué)生觀察并考慮是否存在與連接曲線的兩個(gè)端點(diǎn)的弦平行的切線。教師鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表意見，鼓勵(lì)學(xué)生多方向獨(dú)立思考。根據(jù)互動(dòng)交流，教師致力于鼓勵(lì)學(xué)生參與教學(xué)課堂，塑造數(shù)學(xué)思維[6]。

（二）重視更新教育內(nèi)容，滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)軟件

第一，高度重視數(shù)學(xué)思維和基本概念的教育，適度淘汰刻板的教學(xué)方法。在高等數(shù)學(xué)的思想體系中，很多數(shù)學(xué)概念、公式計(jì)算和規(guī)律都與具體的應(yīng)用有關(guān)。高等數(shù)學(xué)教育應(yīng)將數(shù)學(xué)思維融入數(shù)學(xué)概念和推理的訓(xùn)練，結(jié)合現(xiàn)實(shí)世界環(huán)境展現(xiàn)概念生成的過程，探索數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

例如，在教授極限概念時(shí)，可以根據(jù)指示數(shù)軸上各點(diǎn)的變換，結(jié)合中國古代數(shù)學(xué)家劉徽的圓切割技術(shù)，向?qū)W生展示建立極限概念的過程，并試著用數(shù)學(xué)語言來總結(jié)一下極限定義。同時(shí)，注重對當(dāng)代數(shù)學(xué)思維和前端專業(yè)知識(shí)的滲透，對日常生活中諸多行業(yè)的典型案例進(jìn)行改進(jìn)，如工程項(xiàng)目、社會(huì)經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物統(tǒng)計(jì)學(xué)等。依然采取課堂教學(xué)極限為例，詳細(xì)介紹科赫雪花圖和分形幾何的應(yīng)用、復(fù)利問題、動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)發(fā)展系統(tǒng)軟件的蛛網(wǎng)實(shí)體模型、斐波那契等各行業(yè)極值點(diǎn)經(jīng)典應(yīng)用問題。

第二，將數(shù)學(xué)軟件融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。數(shù)學(xué)軟件優(yōu)化算法的開發(fā)與設(shè)計(jì)、大數(shù)據(jù)可視化、數(shù)值計(jì)算方法、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析等是塑造數(shù)學(xué)思維的主要手段，對塑造學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有關(guān)鍵作用。同時(shí)，數(shù)學(xué)軟件能以幾何直觀和數(shù)值計(jì)算方法的形式呈現(xiàn)抽象的數(shù)學(xué)概念、規(guī)律和驗(yàn)證的過程，極大地影響了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。許多數(shù)學(xué)家和專家已經(jīng)注意到應(yīng)用電子計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件對人才培養(yǎng)的重要性。依托電子計(jì)算機(jī)容易處理的教學(xué)內(nèi)容，適度簡化推理或確認(rèn)全過程，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)和訓(xùn)練如何使用MATLAB軟件進(jìn)行探索性實(shí)驗(yàn)，使用MATLAB的計(jì)算功能發(fā)現(xiàn)和猜測可能的規(guī)律。在整個(gè)過程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行猜測，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。還可利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)值積分和積分計(jì)算，基于有限元分析或圖形闡明函數(shù)公式與泰勒代數(shù)公式的關(guān)系[7]。

（三）完善評價(jià)機(jī)制，注重過程評價(jià)，適當(dāng)引入開放式問題

教學(xué)評價(jià)是教學(xué)的重要組成部分，是激發(fā)和強(qiáng)化的有效手段。通過評價(jià)，教師可以檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的實(shí)際效果，也可以起到鼓勵(lì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的作用。理想的評價(jià)機(jī)制可以檢驗(yàn)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握情況，也可以檢驗(yàn)學(xué)生在課程作業(yè)中的能力和素養(yǎng)水平。目前先進(jìn)的數(shù)學(xué)評價(jià)機(jī)制極不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。因此，應(yīng)從以下幾個(gè)方面改變現(xiàn)行的評價(jià)機(jī)制。

一是改革高等數(shù)學(xué)學(xué)科評價(jià)方式。學(xué)生的學(xué)習(xí)成果不僅取決于期末考試成績，還取決于課程評價(jià)。整個(gè)學(xué)期不定期增加幾次課程考核，課程考核形式靈活多樣，可以包括書本報(bào)告、短報(bào)告、單元試卷，口試等。或在每章中進(jìn)行多次評估和測試。評論應(yīng)包括學(xué)生通常的學(xué)習(xí)成果和使用數(shù)學(xué)軟件的能力。應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在課堂上進(jìn)行猜測、思考、探索和探索，尤其要重視鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)各種想法[8]。

二是充分發(fā)揮考試的導(dǎo)向作用。考試要減少死記硬背的公式和基礎(chǔ)題的數(shù)量和比例，適當(dāng)增加開放式題的考核和設(shè)置，教會(huì)學(xué)生多維度思考，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。

四 結(jié)語

在“高等數(shù)學(xué)”教育中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維是一門長期的課程，也是深層次的教育目的。數(shù)學(xué)教育工作者必須不斷探索和實(shí)踐，共同探討高校數(shù)學(xué)教育的問題。更新教學(xué)方案，交流教學(xué)形式和教學(xué)方法，推動(dòng)實(shí)施以創(chuàng)新教育為核心的素質(zhì)教育，發(fā)展創(chuàng)新人才培養(yǎng)，為我國創(chuàng)造更多的創(chuàng)新人才。