利用數(shù)形結(jié)合解函數(shù)問題的一般方法

周利平

摘要：函數(shù)是中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中最常見的一類問題，因此函數(shù)問題也是中學(xué)生所必須克服的難關(guān)。函數(shù)問題的題型種類多，而且靈活度高。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合，函數(shù)，最值，零點(diǎn)。

數(shù)形結(jié)合的思想方法是充分運(yùn)用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)，是抽象思維和形象思維相結(jié)合，通過圖形的描述、代數(shù)的論證，來(lái)研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，包括以下兩個(gè)方面：

1、以形助數(shù)

即借助形的直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系。以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸，借助函數(shù)圖象，借助單位圓，借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，借助解析幾何方法。

2、以數(shù)助形

即借助數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性。以數(shù)助形常用的有：借助幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系，借助運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合。

函數(shù)是中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中最常見的一類問題，題型種類多，而且靈活度高，所以懂得如何利用數(shù)形結(jié)合的思想解決函數(shù)問題就成為中學(xué)生所必備的能力。下面從以下幾個(gè)方面來(lái)闡述數(shù)形結(jié)合解函數(shù)問題的一般方法。

一、利用函數(shù)模型求參量取值范圍

函數(shù)參量方程在函數(shù)問題中最為常見，也是比較難的，利用數(shù)形結(jié)合的方式將參量表示出來(lái)，就可很清晰的確定參量的取值范圍，方便了計(jì)算，也明確了做題的思路。

二、利用函數(shù)模型求最值問題

對(duì)于求函數(shù)的最值問題，利用數(shù)形結(jié)合的方法便可以很直觀地表示出函數(shù)的最值。

例2：求解函數(shù)的最大值和最小值。

解析：先把函數(shù)解析式變形，這就可以當(dāng)作是定點(diǎn)M（-6，-4）與單位圓上的N（cosx，sinx）連線的斜率。因此，最值就是直線AN與單位圓相切時(shí)的斜率。

將與圓：X²+Y²=1相切斜率為l切線方程設(shè)為y=lx±由于切線過定點(diǎn)M（-6，-4），則-4=-6l±，，.

三、利用數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)零點(diǎn)問題

求解函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是高中學(xué)習(xí)中常見的題型，而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解答這個(gè)問題是最為直觀的方法。

例3：求f（x）=lgx-sinx，在[0，10]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解析：對(duì)于這道例題來(lái)說(shuō)，畫出函數(shù)圖象，看它和x軸的交點(diǎn)是比較困難的。但是要是畫函數(shù)f（x）=lgx與f（x）=sinx的圖象則是比較容易的，于是我們想到分別畫出兩條函數(shù)的圖象，這樣觀察兩條函數(shù)圖像的交點(diǎn)就可以求解這個(gè)問題。

通過觀察圖象就很容易發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）=lgx與f（x）=sinx在x∈[0，10]交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)，所以函數(shù)f（x）=lgx-sinx在[0，10]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)。

數(shù)形結(jié)合就是將數(shù)與形結(jié)合在一起，使得抽象的思維和形象的思維并存，充分將二者之間的優(yōu)劣勢(shì)互補(bǔ)，至此達(dá)成一種最佳的思考方式。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想可以將繁瑣問題簡(jiǎn)單化，抽象問題直觀化，從而以最明了的方式解決數(shù)學(xué)問題。

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