一種基于損傷等效原理的PSD路譜生成方法

王瑋，周肖飛，陳文斐，翟云飛

(1. 西安交通工程學(xué)院，陜西 西安710300；2. 陜西汽車控股集團(tuán)有限公司，陜西 西安710200)

0 引言

在車輛耐久分析中，往往通過靜力學(xué)分析求解單位載荷作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，疊加道路載荷譜后形成應(yīng)力時(shí)間歷程曲線求解疲勞壽命。這種方法簡(jiǎn)單直接，得到了大量的應(yīng)用[1]。也有將載荷譜直接加載到分析部件上，求解瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，以考察結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性對(duì)疲勞的影響，使疲勞結(jié)果更接近真實(shí)[2]。但采用瞬態(tài)方法往往帶來更多的計(jì)算量，在工程中需要一種能夠保證精度且更快速的分析手段。

在結(jié)構(gòu)安裝位置處布置加速度傳感器獲取載荷激勵(lì)，通過傅里葉變換(FFT)轉(zhuǎn)換為功率譜密度曲線(PSD)，然后通過隨機(jī)響應(yīng)分析估算結(jié)構(gòu)的應(yīng)力范圍，進(jìn)而計(jì)算結(jié)構(gòu)的疲勞壽命[1]。這種方法計(jì)算效率較高，精度滿足需求，故而被廣泛應(yīng)用。但隨著車輛耐久試驗(yàn)的復(fù)雜化，每次試驗(yàn)往往包含多種路面工況，由于不同路面的激勵(lì)頻率和幅值都有所不同，該隨機(jī)過程無法用平穩(wěn)過程描述。因此在進(jìn)行傅里葉變換時(shí)會(huì)對(duì)PSD幅值進(jìn)行平均。

圖1為一個(gè)典型的車輛耐久試驗(yàn)路譜，其中搓板路激勵(lì)的時(shí)間較長(zhǎng)，頻率較低，幅值較小，而比利時(shí)路面激勵(lì)的時(shí)間極短，頻率較高，幅值極大。在這種情況下，直接的傅里葉變換會(huì)導(dǎo)致搓板路激勵(lì)和比利時(shí)路激勵(lì)在相同頻率時(shí)出現(xiàn)幅值平均，從而導(dǎo)致最終的損傷值偏低。

圖1 某路試加速度譜

本文提出了采用損傷等效原則的PSD生成方案，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換前后載荷幅值和頻率的一致，為解決復(fù)雜路面激勵(lì)提供了一種解決方案。

1 基于FDS的PSD生成方案

1.1 處理流程

基于FDS的PSD生成，就是通過原始載荷譜計(jì)算損傷譜，再由損傷譜轉(zhuǎn)換為PSD譜。在轉(zhuǎn)換過程中必須遵守兩個(gè)原則：第一，必須保證轉(zhuǎn)換前后對(duì)結(jié)構(gòu)造成的疲勞損傷是一致的；第二，必須保證在轉(zhuǎn)換前后載荷的幅值是相同的。其轉(zhuǎn)換流程如圖2所示。

圖2 基于FDS的PSD譜生成流程

1.2 沖擊響應(yīng)譜

1932年，美國(guó)工程師Biot通過研究地震對(duì)相關(guān)結(jié)構(gòu)的損傷時(shí)發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)巫杂啥日褡酉到y(tǒng)的響應(yīng)由其自然頻率主導(dǎo)，低于自然頻率的部分表現(xiàn)為準(zhǔn)靜態(tài)效應(yīng)；超出自然頻率的部分隨著激勵(lì)頻率的增加會(huì)逐漸減弱；在自然頻率附近，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)幅值會(huì)大幅度增加。此時(shí)，其幅值大小由系統(tǒng)阻尼決定，動(dòng)態(tài)響應(yīng)與靜態(tài)響應(yīng)的比值稱之為幅值比Q，當(dāng)阻尼為0.05時(shí)，幅值比Q=10[3]，如圖3所示。

圖3 激勵(lì)頻率與加速度響應(yīng)的關(guān)系

將時(shí)域載荷譜與該頻率響應(yīng)函數(shù)相乘，得到在當(dāng)前自然頻率下的時(shí)域響應(yīng)信號(hào)。采集該響應(yīng)信號(hào)的最大值，可描繪出結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)與自然頻率之間的關(guān)系曲線(此時(shí)只為一個(gè)點(diǎn))，即為單自由度振子系統(tǒng)的響應(yīng)譜曲線(response spectrum, RS)

將其推廣到多自由度系統(tǒng)上，由于多自由度系統(tǒng)具有多個(gè)自然頻率，就需要重復(fù)上述分析過程，分別計(jì)算載荷譜在不同自然頻率下的最大響應(yīng)，將所有的最大響應(yīng)點(diǎn)相連，可獲得多自由度系統(tǒng)最大響應(yīng)與頻率的關(guān)系，即為沖擊響應(yīng)譜(shock response spectrum，SRS)。其計(jì)算流程如圖4所示。

圖4 沖擊響應(yīng)譜獲取流程

1.3 損傷譜的獲取

受沖擊響應(yīng)譜的啟發(fā)，Halfpenny提出了利用時(shí)域信號(hào)計(jì)算損傷譜的方法，將各個(gè)頻率下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)通過雨流計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)，直接加載到S-N曲線上，可獲得載荷在各個(gè)頻率下的損傷值。在獲得某個(gè)自然頻率下的時(shí)域響應(yīng)曲線后，直接用該響應(yīng)曲線進(jìn)行雨流統(tǒng)計(jì)，然后計(jì)算其累計(jì)損傷，即可得出損傷譜(fatigue damage spectrum，F(xiàn)DS)[4]，如圖5所示。

圖5 損傷譜獲取流程

其方法分為4個(gè)步驟：

1)將激勵(lì)信號(hào)加載在單自由度系統(tǒng)上，計(jì)算在某個(gè)自然頻率下的載荷時(shí)間歷程；

2)對(duì)該載荷時(shí)間歷程進(jìn)行雨流計(jì)數(shù)，計(jì)算該頻率下的累計(jì)損傷；

3)多次重復(fù)前兩步操作，計(jì)算多個(gè)頻率下的累計(jì)損傷；

4)將損傷與頻率描繪在平面坐標(biāo)系中，即為損傷譜。

損傷譜可以清晰地表達(dá)出在某個(gè)頻率下載荷對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的損傷值大小，可以更準(zhǔn)確地反映出載荷對(duì)結(jié)構(gòu)的破壞能力。

1.4 極端響應(yīng)譜

對(duì)于時(shí)域載荷而言，沖擊響應(yīng)譜能夠清晰地給出結(jié)構(gòu)最大響應(yīng)與頻率的關(guān)系，但在實(shí)際中，很多載荷都是隨機(jī)性的，使用PSD譜表達(dá)載荷分布更為準(zhǔn)確。如何用類似與SRS的方式簡(jiǎn)單地表達(dá)出結(jié)構(gòu)的最大響應(yīng)，1953年，Miles給出了結(jié)構(gòu)響應(yīng)的均方根值(RMS)與頻率的關(guān)系式[5]，假設(shè)激勵(lì)為高斯分布，則對(duì)于加速度而言

(1)

對(duì)于位移而言

(2)

其中：Q為幅值比；fn為結(jié)構(gòu)的自然頻率。

1978年，Lalanne通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于窄帶的激勵(lì)而言，其激勵(lì)分布更偏向于瑞利分布(rayleigh)，故需要將上式進(jìn)行修正[6]，修正后的方程如式(3)和式(4)所示，對(duì)于加速度而言

(3)

對(duì)于位移而言

(4)

此即為極端響應(yīng)譜(extreme response spectrum, ERS)。

1.5 極端響應(yīng)譜的損傷曲線估計(jì)

2002年，Lalanne基于極端響應(yīng)譜的估計(jì)，提出了基于ERS的損傷曲線方程，使得可以直接從PSD曲線中獲取FDS[7]，其結(jié)構(gòu)如下：

(5)

其中：fn為結(jié)構(gòu)自然頻率；K為結(jié)構(gòu)剛度；C和b為材料疲勞參數(shù)；Γ為伽馬方程，其具體形式為

(6)

1.6 基于FDS的隨機(jī)譜合成

式(3)表示由PSD譜計(jì)算極端響應(yīng)譜的過程，式(5)表示極端響應(yīng)譜和損傷譜的關(guān)系，將兩方程進(jìn)行反推，即可獲得從損傷譜計(jì)算極端響應(yīng)譜的方法。而損傷譜可直接將時(shí)域載荷譜通過雨流計(jì)數(shù)獲取。如此，就打通了從時(shí)域譜如何獲取PSD譜的全過程，但在這個(gè)流程中，需要考慮安全因子的影響。

安全因子可用載荷大小與材料疲勞強(qiáng)度的比值來表達(dá)：

(7)

實(shí)際工程中，施加在結(jié)構(gòu)上載荷往往表現(xiàn)出明顯的隨機(jī)性，由于材料的疲勞性能同樣存在隨機(jī)性，因此安全因子不僅要考慮載荷大小和疲勞強(qiáng)度，同時(shí)還需要考慮存活率的影響。

圖6中，x軸表示應(yīng)力大小，y軸表示出現(xiàn)概率。假設(shè)隨機(jī)載荷和材料疲勞強(qiáng)度均呈現(xiàn)高斯分布，那么兩條概率分布曲線的重合區(qū)域即為結(jié)構(gòu)在該隨機(jī)載荷作用下的失效率，非重合區(qū)域則為存活率。顯然兩者存在以下關(guān)系：失效率+存活率=1。

圖6 材料的失效率

對(duì)于高斯分布，安全因子與存活率可用下式表達(dá)：

(8)

其中：a′表示存活率；VR表示強(qiáng)度變化率；VE表示載荷變化率，其可用下式表達(dá)：

(9)

(10)

其中σR和σE分別是材料疲勞強(qiáng)度和載荷的標(biāo)準(zhǔn)差。

將式(5)反推并考慮安全因子的影響，可獲得從FDS求解PSD的方程

(11)

2 基于FDS的PSD隨機(jī)疲勞分析

某商用車電瓶箱結(jié)構(gòu)如圖7所示。

圖7 某商用車電瓶箱示意圖

在約束位置加載幅值為1g的正弦波，計(jì)算頻率從1Hz～200Hz的掃頻響應(yīng)。圖8為521號(hào)單元在3個(gè)方向的頻率響應(yīng)曲線。

圖8 單元應(yīng)力頻響曲線

在電池包根部粘貼加速度傳感器，采集到根部的加速度載荷如圖9所示。

圖9 電瓶箱根部的加速度譜

由于路譜具有很強(qiáng)的隨機(jī)性，因此常采用隨機(jī)振動(dòng)的方式計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)。對(duì)x方向的譜分別采用直接轉(zhuǎn)換的方式和FDS轉(zhuǎn)換的方式轉(zhuǎn)成PSD譜，如圖10所示。

圖10 兩種方式生成的PSD譜

可以看出，由于存在幅值的平均，采用傅里葉變換直接生成PSD譜的最大值明顯被削弱了，采用FDS轉(zhuǎn)換的方式計(jì)算出來的PSD譜在低頻段(3Hz以內(nèi))偏小，而在高頻段(10Hz以上)偏大，這是由于路譜在低頻段能量偏低但時(shí)間較長(zhǎng)，在高頻段能量較大但時(shí)間偏短造成的。

在疲勞分析軟件中，分別加載直接轉(zhuǎn)換的PSD譜和采用本文方法轉(zhuǎn)換的PSD譜計(jì)算結(jié)構(gòu)的疲勞壽命，結(jié)果如圖11所示。

圖11 兩種載荷下電池包的壽命云圖

由圖11可知，采用兩種PSD譜計(jì)算的壽命分布趨勢(shì)基本一致，但量級(jí)上存在較大差異，采用直接轉(zhuǎn)換PSD譜計(jì)算的最小壽命為5.2×106次循環(huán)，采用本文方法計(jì)算的電池包壽命為2003次循環(huán)。鑒于該最小壽命往往出現(xiàn)在約束周邊的應(yīng)力集中位置，真實(shí)結(jié)果應(yīng)大于最小壽命，對(duì)結(jié)構(gòu)重點(diǎn)部位壽命進(jìn)行采集，與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如表1所示。

表1 計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比 單位：次

由表1可知，采用本文方法轉(zhuǎn)換的PSD譜在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的損傷要遠(yuǎn)大于直接轉(zhuǎn)換PSD譜的損傷，與實(shí)際試驗(yàn)結(jié)果也比較吻合。

3 結(jié)語

在工程實(shí)際中，大多數(shù)路試路譜都很復(fù)雜，而且呈現(xiàn)出明顯的隨機(jī)性，采用傳統(tǒng)方法計(jì)算疲勞壽命需要對(duì)路譜進(jìn)行分割，單獨(dú)計(jì)算各路段的三向損傷，然后將損傷進(jìn)行線性疊加，這帶來了巨大的工作量。通過FDS進(jìn)行PSD譜的轉(zhuǎn)換，可以大幅度縮減重復(fù)工作，并且保證轉(zhuǎn)換前后損傷的統(tǒng)一，對(duì)工程應(yīng)用有很大的幫助。