基于多目標(biāo)遺傳算法的爬壁小車底板優(yōu)化

王棟，鄒玉靜，孫宇軒，馬本嘯

(青島科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 山東 青島 266061)

0 引言

為實(shí)現(xiàn)爬壁小車的優(yōu)化設(shè)計(jì)，需對(duì)小車的底板進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)。輕量化研究，就是在保證結(jié)構(gòu)模型強(qiáng)度和安全性能的前提下，盡量減小其質(zhì)量，從而提高整體的動(dòng)力性能。陳臻[1]對(duì)實(shí)驗(yàn)過程中的動(dòng)力響應(yīng)特性進(jìn)行了數(shù)值仿真，依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)。王芳[2]在結(jié)構(gòu)上運(yùn)用有限元對(duì)運(yùn)輸車的輕量化設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究。這些傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法大多只是局限于對(duì)模型進(jìn)行靜力學(xué)分析和預(yù)應(yīng)力模態(tài)仿真分析。劉杰等[3]對(duì)電動(dòng)車懸架進(jìn)行了多目標(biāo)的仿真優(yōu)化研究，但采用的是傳統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化方法。傳統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化方法多是把多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為單一目標(biāo)優(yōu)化問題，然后使用數(shù)學(xué)規(guī)劃法來解決問題[4]。開發(fā)多種定量分析法，要求工程師對(duì)結(jié)構(gòu)的性能深刻理解，選擇最適合的加權(quán)值。傳統(tǒng)的優(yōu)化手段僅能取得單一的優(yōu)化解，工程師通常帶有很大主觀性，會(huì)根據(jù)產(chǎn)品不同的性能要求以及自身喜好來進(jìn)行方案選擇。因此對(duì)于解決多目標(biāo)優(yōu)化問題，傳統(tǒng)方法有較大缺陷，所以眾多學(xué)者希望通過不斷開發(fā)各種智能算法來彌補(bǔ)傳統(tǒng)方法的不足，以解決傳統(tǒng)方法無法解決的問題。多目標(biāo)遺傳算法具有良好的全局搜索能力，可以有效克服傳統(tǒng)方法的缺陷，因而被廣泛使用。

遺傳算法(genetic algorithm)[5]是解決優(yōu)化問題的有效方法。該算法由霍蘭教授等人提出，算法靈感來源于生物界中的自然選擇和生物遺傳學(xué)規(guī)律。與傳統(tǒng)搜索方式的區(qū)別在于，遺傳算法是利用人工進(jìn)化原理隨機(jī)搜索設(shè)計(jì)空間，將設(shè)計(jì)空間中每個(gè)個(gè)體假定為問題域中可能解，對(duì)個(gè)體以字符串的形式進(jìn)行編碼，方便模擬遺傳選擇和自然淘汰的進(jìn)化過程，隨后進(jìn)行大量的遺傳、交叉和變異等活動(dòng)。個(gè)體的優(yōu)劣通過目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)來進(jìn)行評(píng)價(jià)，應(yīng)用優(yōu)勝劣汰和適者生存的自然法則，使群體水平得到不斷提高，隨后從中選出最優(yōu)個(gè)體，得到問題的最優(yōu)解。

1 爬壁小車底板優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

通過Solidwork建立爬壁小車底板參數(shù)化三維模型(圖1)，并對(duì)模型中需要優(yōu)化的尺寸參數(shù)進(jìn)行設(shè)置。將建模軟件與有限元分析軟件ANSYS Workbench進(jìn)行關(guān)聯(lián)后，所建模型的尺寸參數(shù)將直接影響有限元分析軟件中模型的形狀，即可實(shí)現(xiàn)只需修改Solidworks模型中的參數(shù)，有限元分析軟件中模型(圖2)參數(shù)也會(huì)隨之修改的目標(biāo)[6]。

圖1 爬壁小車模型

圖2 有限元模型

根據(jù)設(shè)計(jì)要求和實(shí)際環(huán)境，對(duì)原始設(shè)計(jì)參數(shù)值進(jìn)行參數(shù)范圍的確定，然后采用中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)(central composite design)的方法獲取試驗(yàn)點(diǎn)。對(duì)所選取的試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行有限元求解，得到整體模型的最大應(yīng)力、最大變形量、一階固有頻率和質(zhì)量的數(shù)值結(jié)果，并將結(jié)果利用最小二乘法進(jìn)行擬合，建立最大應(yīng)力、最大變形量、一階固有頻率和質(zhì)量與設(shè)計(jì)變量的響應(yīng)面模型。以底板的最大變形量和最大應(yīng)力設(shè)置為上限、一階固有頻率合理區(qū)間和質(zhì)量最小為目標(biāo)函數(shù)，尺寸參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，建立多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，使用多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行求解模型，求解出滿足設(shè)計(jì)要求的最優(yōu)解。優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖3所示。

圖3 優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖

2 輸入輸出參數(shù)的設(shè)定

將底板的主要尺寸設(shè)定為設(shè)計(jì)變量。底板厚度FD1、邊長(zhǎng)H1分別定義為P14和P17，并對(duì)輸入變量設(shè)定取值范圍，參數(shù)變化范圍如表1所示。

表1 設(shè)計(jì)變量及取值范圍 單位：mm

目標(biāo)輸出變量為：底板的質(zhì)量、最大等效應(yīng)力、最大總應(yīng)變、一階固有頻率，分別對(duì)其進(jìn)行參數(shù)化定義為P16、P17、P19、P20，設(shè)置如圖4所示。

圖4 輸入輸出參數(shù)設(shè)置

3 實(shí)驗(yàn)樣點(diǎn)計(jì)算

試驗(yàn)點(diǎn)的選擇在構(gòu)建響應(yīng)面過程中非常重要，響應(yīng)面模型構(gòu)造精度也取決于合理試驗(yàn)點(diǎn)的選取。BOX等提到中心復(fù)合設(shè)計(jì)(central composite design)思想是將一階部分不斷返回應(yīng)用于二階設(shè)計(jì)中[7]，不同設(shè)計(jì)變量的取值范圍，形成了決策空間，該空間包含了優(yōu)化所需的若干設(shè)計(jì)點(diǎn)。因此，本試驗(yàn)利用中心復(fù)合設(shè)計(jì)法來得到試驗(yàn)點(diǎn)。試驗(yàn)點(diǎn)設(shè)置完畢后，接著對(duì)試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，生成的設(shè)計(jì)點(diǎn)如圖5所示。

圖5 中心復(fù)合法設(shè)計(jì)點(diǎn)

4 更新響應(yīng)面

響應(yīng)面能夠直觀反映出輸入?yún)?shù)與輸出參數(shù)的關(guān)系[8]。計(jì)算出所抽取的每個(gè)樣點(diǎn)的響應(yīng)結(jié)果，并通過完全二階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型擬合出響應(yīng)面。響應(yīng)面結(jié)果只具有參考作用。為了直觀反映輸入與輸出關(guān)系，采用3D輸出，選擇兩個(gè)設(shè)計(jì)變量作為圖形的x軸和y軸，并選擇一個(gè)輸出目標(biāo)作為z軸。設(shè)計(jì)輸入變量P14和P17與底板的質(zhì)量、最大等效應(yīng)力、最大總應(yīng)變以及一階模態(tài)頻率的3D響應(yīng)關(guān)系如圖6-圖9所示。

圖6 P14-P17與質(zhì)量的響應(yīng)

圖7 P14-P17與最大等效應(yīng)力響應(yīng)

圖8 P14-P17與最大總應(yīng)變的響應(yīng)

圖9 P14-P17與一階模態(tài)頻率的響應(yīng)

5 敏感度分析

結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)需要對(duì)影響較大的變量進(jìn)行分析，本爬壁小車底板結(jié)構(gòu)尺寸中底板厚度FD1和邊長(zhǎng)H1即設(shè)計(jì)變量P14和P17對(duì)結(jié)構(gòu)的性能影響程度不同。敏感度分析法是比較有效的分析法[9-10]，敏感度可用來快速直觀評(píng)價(jià)模型的參數(shù)對(duì)模型結(jié)果的影響。設(shè)計(jì)目標(biāo)與設(shè)計(jì)變量為函數(shù)關(guān)系，假設(shè)設(shè)計(jì)目標(biāo)用函數(shù)f表示，設(shè)計(jì)變量用x表示，即f=G(xi)。設(shè)計(jì)變量xi變化、設(shè)計(jì)目標(biāo)f變化以及靈敏度之間數(shù)學(xué)關(guān)系為

(1)

對(duì)本模型小車底板的靈敏度進(jìn)行分析時(shí)，底板的剛度對(duì)底板厚度的靈敏度為

[K]m×m{D}m×1={F}m×1

(2)

式中：m為自由度；[K]m×m為總剛度矩陣；{D}m×1為結(jié)構(gòu)位移向量；{F}m×1為載荷向量。

對(duì)式(2)關(guān)于設(shè)計(jì)變量x求導(dǎo)，得:

(3)

(4)

整理后得結(jié)構(gòu)位移向量{D}m×1對(duì)底板厚度設(shè)計(jì)變量x的靈敏度計(jì)算公式：

(5)

靈敏度圖不僅可揭示各設(shè)計(jì)變量與輸出目標(biāo)之間的敏感度關(guān)系，而且對(duì)于確定其合理的參數(shù)變化范圍以及從這些參數(shù)的變化范圍中尋求最佳設(shè)計(jì)值有重要的參考作用。底板的質(zhì)量、最大等效應(yīng)力、最大總應(yīng)變以及一階模態(tài)頻率4個(gè)目標(biāo)函數(shù)與底板厚度FD1和邊長(zhǎng)H1即輸入變量P14和P17敏感程度，如圖10所示(本刊為黑白印刷，如有疑問請(qǐng)咨詢作者)。

圖10 敏感度柱狀圖

由圖10中可以看出，底板厚度FD1和邊長(zhǎng)H1即輸入變量P14和P17對(duì)質(zhì)量和一階頻率是正相關(guān)，對(duì)最大等效應(yīng)力和最大總應(yīng)變是負(fù)相關(guān)，設(shè)計(jì)變量P14底板厚度對(duì)4個(gè)目標(biāo)的影響都較大，且影響要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于設(shè)計(jì)變量P17底板邊長(zhǎng)。

6 生成最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)

在多目標(biāo)優(yōu)化的優(yōu)化過程中，各個(gè)優(yōu)化目標(biāo)難以同時(shí)滿足，還會(huì)產(chǎn)生許多解，即Pareto解。對(duì)于這些Pareto解，不同解的優(yōu)劣性還需要考慮設(shè)計(jì)者實(shí)際設(shè)計(jì)需求，最終選擇正確且可靠的優(yōu)化解。MOGA算法原理是通過“Pareto最優(yōu)個(gè)體”對(duì)種群里所有的個(gè)體依次進(jìn)行排序，并根據(jù)排列的次序從上一代群體中挑選出具有優(yōu)良特性的個(gè)體使其遺傳到下一代群體中。這樣排在前面的Pareto最優(yōu)個(gè)體就有更大的可能性把自己的特征遺傳到下一代的群體。通過一定周期的遺傳選擇和淘汰過程，最終可以快速地找到多目標(biāo)優(yōu)化問題的Pareto最優(yōu)的參數(shù)，可以避免周期較長(zhǎng)的試驗(yàn)過程，優(yōu)化效率也得到了提升。

先對(duì)輸入和輸出變量進(jìn)行邊界約束，如圖11所示。將零部件的最大變形量和最大應(yīng)力設(shè)置為上限、一階固有頻率合理區(qū)間和質(zhì)量最小設(shè)置為目標(biāo)函數(shù)。

圖11 變量邊界約束設(shè)置

再進(jìn)行Optiomization選項(xiàng)操作，選擇多目標(biāo)遺傳算法(MOGA)進(jìn)行尋優(yōu)求解，如圖12所示。

圖12 多目標(biāo)遺傳算法設(shè)計(jì)

從眾多樣本點(diǎn)選出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，最后得到3組最佳候選點(diǎn)，如圖13所示。

圖13 候選設(shè)計(jì)點(diǎn)

將第一組候選點(diǎn)認(rèn)定為最佳設(shè)計(jì)點(diǎn)，將最佳設(shè)計(jì)點(diǎn)輸入?yún)?shù)重新帶入有限元模型求解出優(yōu)化后各項(xiàng)輸出參數(shù)值。對(duì)獲得的設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化值，需要進(jìn)行適當(dāng)圓整，模型優(yōu)化前后輸入?yún)?shù)數(shù)值對(duì)比，如表2所示。

表2 修正參數(shù) 單位：mm

7 優(yōu)化結(jié)果目標(biāo)值對(duì)比

輸出變量質(zhì)量、最大等效應(yīng)力、最大總應(yīng)變、一階模態(tài)頻率優(yōu)化前后對(duì)比結(jié)果如表3所示。從表3中可以看出：優(yōu)化后，最大等效應(yīng)力增加到70.979MPa，但仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于材料的屈服強(qiáng)度276MPa；而最大總應(yīng)變僅增加了0.493 9mm；一階模態(tài)頻率減少了13.6%，仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于激振頻率；但質(zhì)量減少了29.5%，從輕量化的設(shè)計(jì)角度看，達(dá)到了優(yōu)化目的。

表3 目標(biāo)值對(duì)比

8 結(jié)語

由于爬壁小車底板質(zhì)量具有較大的優(yōu)化空間，為實(shí)現(xiàn)爬壁小車底板輕量化設(shè)計(jì)，利用ANSYS Workbench有限元分析軟件求解出模型最大應(yīng)力、最大變形、一階固有頻率和底板質(zhì)量4個(gè)輸出變量的結(jié)果，并將數(shù)值結(jié)果通過最小二乘法進(jìn)行擬合并建立了響應(yīng)面模型。以底板的最大變形量和最大應(yīng)力為設(shè)置上限、一階固有頻率合理區(qū)間和質(zhì)量最小為目標(biāo)函數(shù)，并將尺寸設(shè)計(jì)變量設(shè)置為優(yōu)化變量，建立了多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，并基于多目標(biāo)遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行計(jì)算，求解出最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了模型輕量化目標(biāo)。