行星滾柱絲杠運動原理及有限元分析

王家健，張慶

(南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，江蘇 南京210094)

0 引言

標(biāo)準(zhǔn)式行星滾柱絲杠(下面簡稱行星滾柱絲杠)是將螺旋運動和行星運動結(jié)合在一起，將絲杠旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)變?yōu)槁菽钢本€運動的傳動機構(gòu)，具有承載能力強、剛度大、精度高、耐磨損、耐沖擊和壽命長等特點，廣泛應(yīng)用于工業(yè)和國防軍工領(lǐng)域[1]。

國內(nèi)對行星滾柱絲杠的理論研究已經(jīng)有一定的基礎(chǔ)。靳謙忠和馬尚君通過對行星滾柱絲杠的運動原理分析給出了相關(guān)參數(shù)的匹配設(shè)計條件[2-3]。在螺紋接觸分析方面，許多學(xué)者基于赫茲接觸理論和有限元方法進行研究，分析了螺距、牙型角、滾柱個數(shù)、載荷等因素對接觸應(yīng)力的影響，為提高行星滾柱絲杠的承載能力提供了參考[4-6]。但是目前對行星滾柱絲杠的有限元接觸分析，都是將絲杠與滾柱、滾柱與螺母分開分析，而且只是分析一組或者幾組螺紋接觸對，沒有對整體結(jié)構(gòu)進行有限元分析。

1 行星滾柱絲杠運動原理分析

行星滾柱絲杠主要由絲杠、滾柱、螺母、內(nèi)齒圈、保持架和彈性擋圈組成，結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。

圖1 行星滾柱絲杠結(jié)構(gòu)形式

行星滾柱絲杠在工作時，絲杠通常作為動力輸入端，只繞自身軸線轉(zhuǎn)動；螺母通常與負載連接，只沿自身軸線移動；滾柱在螺母和絲杠之間做行星運動，并且與螺母相對軸向位移為零，與螺母一起沿軸向移動。行星滾柱絲杠運動簡圖如圖2所示。

1—絲杠；2—保持架；3—滾柱；4—螺母。

圖2中：dS、dR和dN分別為絲杠、滾柱和螺母的螺紋中徑，由圖1中幾何關(guān)系有dN=dS+2dR；ωS、ωN、ωR和ωP為絲杠、螺母、滾柱和保持架的旋轉(zhuǎn)角速度，ωN通常為0；pS、pR和pN分別為絲杠、滾柱和螺母的螺紋螺距；nS、nR和nN分別為絲杠、滾柱和螺母的螺紋頭數(shù)，nR通常取1。

1.1 角速度分析

參照行星齒輪傳動的分析方式[7]，給整體一個公共角速度，大小等于ωP，方向與保持架旋轉(zhuǎn)方向相反，各構(gòu)件的角速度變化如表1所示。

表1 角速度變化對比

根據(jù)表1，由傳動比關(guān)系可得：

(1)

(2)

由式(1)、式(2)及dN=dS+2dR可得：

(3)

(4)

以上是假設(shè)滾柱與絲杠之間為無滑動的滾動，實際上滾柱與絲杠嚙合可能存在滑動，所以ωR和ωP的實際數(shù)值要比理論值偏小。

1.2 螺紋旋向和頭數(shù)分析

通常螺紋嚙合需要保證螺距相等，即pS=pR=pN=p。螺旋副在旋轉(zhuǎn)嚙合過程中螺旋曲面的變化可以等效為其沿軸線的平移，移動方向可以通過左右手法則判斷[8]。

1)滾柱和螺母螺紋旋向和頭數(shù)分析

(5)

因為滾柱與螺母相對位移必須為0，所以式(5)中應(yīng)取“-”，即滾柱與螺母螺紋旋向相同。由式(3)、式(4)、式(5)及LRN=0可得

nN=dS/dR+2

(6)

2)滾柱和絲杠螺紋旋向和頭數(shù)分析

與滾柱和螺母的相對位移分析方法相同，滾柱和絲杠的相對位移LRS可以表示為

(7)

其中“+”號表示絲杠與滾柱旋向相同，“-”號表示絲杠與滾柱旋向相反。由式(3)、式(4)、式(7)可得

(8)

nS=dS/dR+2

(9)

滾柱和螺母相對絲杠的位移可以表示成

(10)

1.3 滾柱齒輪與內(nèi)齒圈傳動分析

1)因為齒輪傳動為非承載部分，所以通常采用直齒圓柱齒輪嚙合。設(shè)滾柱端齒輪和內(nèi)齒圈齒數(shù)分別為zR和zN，模數(shù)為m。齒圈與螺母固連在一起，要滿足滾柱與螺母純滾動，則齒輪傳動比與螺紋傳動比相等，即

zN/zR=dN/dR

(11)

2)因為滾柱端齒與絲杠也要嚙合，為了防止齒頂圓與絲杠螺紋牙底干涉，滾柱端齒齒頂圓直徑不能大于滾柱螺紋大徑dRa[2]，即

(12)

3)齒輪嚙合傳動必須要滿足最小齒數(shù)要求，避免根切，即

(13)

當(dāng)調(diào)整齒數(shù)和模數(shù)無法滿足最小齒數(shù)要求時，可以采用變位齒輪設(shè)計或者改用短齒制，必要時可以采用非標(biāo)準(zhǔn)壓力角齒輪設(shè)計[2]。

2 行星滾柱絲杠有限元建模

根據(jù)技術(shù)指標(biāo)要求，結(jié)合上一節(jié)中運動分析結(jié)果，進行行星滾柱絲杠的結(jié)構(gòu)設(shè)計；然后建立行星滾柱絲杠的三維建模；再把模型導(dǎo)入到ANSYS Workbench軟件中，進行有限元建模[9]。

行星滾柱絲杠主要螺紋零件的主要參數(shù)如表2所示，齒輪零件的主要參數(shù)如表3所示。

表2 螺紋零件參數(shù)

表3 齒輪零件參數(shù)

2.1 三維模型簡化

對模型進行簡化，去除擋圈等零件以及零件的倒角和孔等特征，絲杠只截取嚙合部分；行星滾柱絲杠為對稱結(jié)構(gòu)，滾柱個數(shù)為10且均勻布置，所以取模型的1/10進行研究。螺母上承受的軸向載荷為150kN，所以簡化后的模型承受的軸向載荷為15kN；將簡化后的三維模型導(dǎo)入到ANSYS Workbench中，如圖3所示。

圖3 有限元簡化模型

2.2 材料分配及網(wǎng)格劃分

對導(dǎo)入的模型進行材料分配，材料選用淬硬的軸承鋼GCr15，其耐磨性好、硬度高，適合行星滾柱絲杠高承載、高剛度的要求。彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3，屈服極限σS=1 667～1 814MPa。材料分配后對模型進行網(wǎng)格劃分，如圖4所示。

圖4 有限元網(wǎng)格模型

2.3 接觸設(shè)置

絲杠螺紋與滾柱螺紋、滾柱螺紋與螺母螺紋、滾柱端齒與內(nèi)齒圈，這3處接觸采用Frictional接觸類型，可以法向分離和切向滑動。當(dāng)切向分力大于最大靜摩擦力時發(fā)生切向滑移，這樣更符合行星滾柱絲杠的實際運動情況。

內(nèi)齒圈與螺母之間為Bonded接觸類型，法向和切向均無相對位移。

保持架只對滾柱起導(dǎo)向作用，不是承載及定位的零件，所以滾柱與保持架、保持架與內(nèi)齒圈之間為Frictionless接觸類型，法向和徑向都可以有小位移。

2.4 邊界條件設(shè)置

螺母只沿自身軸向平移，采用Displacement約束，只保留軸向移動自由度；對螺母法蘭面施加15kN的軸向載荷。

滾柱即做行星運動又沿軸線平移，采用Cylindrical Support約束，保留旋轉(zhuǎn)和軸向平移自由度。保持架同樣既有旋轉(zhuǎn)運動又有軸向移動，也采用Cylindrical Support約束，保留旋轉(zhuǎn)和軸向平移自由度。

絲杠一端固定一端支承，所以固定端采用Fixed Support約束，完全限制6個自由度，支撐端采用Displacement約束，只保留軸向移動自由度。

因為模型只有1/10，所以對絲杠、保持架、內(nèi)齒圈和螺母的剖面施加Frictionless Support約束，即法向無變形，其他方向可以自由變形。

3 行星滾柱絲杠有限元求解結(jié)果分析

3.1 有限元求解結(jié)果

圖5和圖6分別給出了螺母和滾柱螺紋接觸點以及絲杠和滾柱接觸點的等效應(yīng)力云圖。從圖5中可以看出，螺母和滾柱螺紋接觸點最大應(yīng)力在滾柱螺紋牙上，為1 499.5MPa；從圖6中可以看出，絲杠和滾柱螺紋接觸點最大應(yīng)力在絲杠螺紋牙上，為1 491.4MPa。

圖5 絲杠與滾柱接觸點等效應(yīng)力云圖

圖6 螺母與滾柱接觸點等效應(yīng)力云圖

絲杠、滾柱和螺母螺紋的接觸應(yīng)力都小于屈服極限，滿足強度要求。但是螺紋牙存在載荷分布不均的情況，如圖7所示，螺母左端第一個螺紋牙的等效應(yīng)力最大，然后往右呈現(xiàn)減小的趨勢。滾柱和絲杠螺紋牙的應(yīng)力情況與螺母類似。

圖7 螺母螺紋等效應(yīng)力云圖

3.2 牙型角對接觸應(yīng)力的影響

為了研究牙型角對螺紋接觸應(yīng)力的影響，不改變螺紋的其他參數(shù)，在螺距為2mm時，分別對牙型角為60°、70°、80°、90°、100°時進行有限元仿真求解，有限元求解結(jié)果如表4所示。

表4 不同牙型角的螺紋最大接觸應(yīng)力對比 單位：MPa

從表4可以看出牙型角在70°時螺紋接觸應(yīng)力最小，其次是90°，而在60°、80°和100°時，最大接觸應(yīng)力都超過了1 500MPa。根據(jù)文獻[10]，牙型角與行星滾柱絲杠的傳動效率有著緊密的聯(lián)系，牙型角越大傳動效率越高，所以綜合考慮傳動效率和螺紋接觸強度，通常選擇牙型角為90°。

3.3 螺距對螺紋接觸應(yīng)力的影響

為了研究螺距對螺紋接觸應(yīng)力的影響，不改變螺紋的其他參數(shù)，在牙型角為90°時，分別對螺距p為1.5mm、2mm、2.5mm、3mm和3.5mm時進行有限元仿真求解，有限元求解結(jié)果如表5所示。

表5 不同螺距的螺紋接觸應(yīng)力對比 單位：MPa

從表5可以看出，隨著螺距的增大，接觸應(yīng)力變化較大，而且接觸應(yīng)力有增大的趨勢。因為螺紋總長度相同，當(dāng)螺距越大時，相應(yīng)的螺紋接觸點越少，從而降低了行星滾柱絲杠的承載能力。

4 結(jié)語

1)通過類比行星齒輪傳動的分析方法，對行星滾柱絲杠的運動原理分析，得出絲杠、滾柱和螺母的螺紋旋向相同，螺紋頭數(shù)滿足nS=nN=dS/dR+2。

2)對行星滾柱絲杠螺紋的接觸應(yīng)力進行有限元仿真分析，并且研究了螺紋的牙型角和螺距對接觸應(yīng)力的影響，牙型角通常選擇90°，螺紋最大接觸應(yīng)力隨螺距的增大而增大。