分式方程中待定字母取值問題

劉元平

與分式方程有關(guān)的待定字母求值問題是中考常見考點(diǎn). 求解待定字母，需結(jié)合分式方程的增根、方程無解、不等式整數(shù)解等相關(guān)知識. 現(xiàn)舉例說明.

一、已知分式方程的解，求待定字母的值

例1（2020·四川·成都）[x=2]是分式方程[kx+x-3x-1=1]的解，則實(shí)數(shù)[k]為（ ）.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

解題策略：將分式方程的解直接代入分式方程，求解待定系數(shù).

解析：把[x=2]代入分式方程得[k2-1=1]，解得[k=4].

故選[B].

二、已知分式方程有增根，求待定字母的值

例2（2020·四川·遂寧·改編）關(guān)于x的分式方程[mx-2-32-x=1]有增根，求m.

解題策略：先將已知分式方程化為整式方程，然后由已知分式方程確定增根（使分母為零的未知數(shù)的值），最后將增根代入變形后的整式方程，求出待定字母的值.

解析：去分母得m + 3 = x - 2，

由分式方程有增根可知x - 2 = 0，即x=2，

把x=2代入整式方程m + 3 = x - 2，得m + 3 =0，解得m = -3.

三、已知分式方程無解，求待定字母的值

例3（2020·黑龍江·龍東·改編）關(guān)于x的分式方程[kxx-2-4=12-x]無解，求k.

解題策略：認(rèn)清分式方程的增根與無解并非同一個(gè)概念. 分式方程無解是指無論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等. 分式方程無解包含兩種情況：（1）原分式方程去分母后得到的整式方程無解;（2）原分式方程去分母后得到的整式方程有解，但該解使原分式方程的分母為0，是增根，從而原分式方程無解.

解析：去分母得[kx-4（x-2）=-1]，則[（k-4）x=-9].

分兩種情況：（1）當(dāng)[k-4=0]，即[k=4]時(shí)，方程無解;

（2）[x=2]是增根，即[-9k-4] = 2，解得k = [-12].

綜上可知：[k=4][或][-12].

四、已知分式方程的解為正數(shù)，求待定字母的取值范圍

例4（2020·黑龍江·齊齊哈爾）若關(guān)于x的分式方程[3xx-2=m2-x+5]的解為正數(shù)，則m的取值范圍為（ ）.

A. m<-10 B. m ≤ -1 C. m ≥ -10且m ≠ -6 D. m>-10且m ≠ -6

解題策略：分式方程去分母時(shí)，應(yīng)注意分母有意義的條件.

解析：去分母得3x=-m + 5（x - 2），解得x[ =m+102]，

由方程的解為正數(shù)，得m + 10>0，且[m+102≠2]，

則m>-10且m ≠ -6. 故選D.

五、已知分式方程的解為負(fù)整數(shù)，求待定字母的取值范圍

例5（2020·黑龍江·牡丹江·改編）[mxx-2+2x-2=2]的解為負(fù)整數(shù)，求m.

解題策略：先將分式方程化為整式方程，然后根據(jù)方程有負(fù)整數(shù)解，利用整除性求解，并討論未知數(shù)的系數(shù)是否為0.

解析：去分母得[mx+2=2（x-2）]，

則[（m-2）x=-6]，

由分式方程有解可得[m≠2]，[x=-6m-2].

因?yàn)榉质椒匠痰慕鉃樨?fù)整數(shù)，

所以[m-2]的值為1，2，3，6，即m的值為3，4，5，8.

總之，求解含有待定字母的分式方程時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意如下兩點(diǎn)：

1. 待定字母正常參與未知數(shù)的求解過程，應(yīng)考慮未知數(shù)的系數(shù)是否能作為分母;

2. 分式方程中分母有意義的限制條件往往會對待定字母的取值產(chǎn)生影響，這一點(diǎn)要時(shí)刻牢記.

1. 已知x = 4是方程[x-1m-1] = 1的一個(gè)根，則m = .

2. 關(guān)于x的方程[x-2x-3=mx-3]產(chǎn)生增根，則m的值是 .

3. 已知關(guān)于[x]的分式方程[a+2x+1=1]的解是非正數(shù)，則[a]的取值范圍是 .

答案：1. 4 2. 1 3. [a] ≤ -1且[a] ≠ -2