基于圓錐微凸體的結(jié)合面法向剛度分形模型研究

蘭國生，孫 萬，譚文兵，張學良，溫淑花，陳永會

(太原科技大學 機械工程學院,太原 030024)

機械結(jié)構(gòu)中存在著大量的結(jié)合面，結(jié)合面剛度是機械結(jié)構(gòu)整體剛度的重要組成部分。結(jié)合面剛度對整機的靜態(tài)特性以及動態(tài)特性有著十分重要影響[1-2]。文獻[3]指出機床結(jié)合面的剛度約占機床總剛度的60%～80%，結(jié)合面引起的變形量約占機內(nèi)靜變形量的85%～90%。為此，許多學者對機械結(jié)合面的剛度做了大量研究。張學良等[4]建立了球面與平面接觸的法向接觸剛度分形模型；蘭國生等[5]基于域擴展因子和改進W-M函數(shù)提出了結(jié)合面接觸分形模型；王潤瓊等[6]考慮了微凸體相互作用建立了結(jié)合面接觸剛度模型；陳永會等[7]提出了粗糙表面彈塑性接觸連續(xù)光滑指數(shù)函數(shù)模型，并在此基礎(chǔ)上研究了法向接觸剛度；劉偉強等[8]構(gòu)建了橢圓拋物體形微凸體曲面彈性接觸模型;Adams等[9]研究了彈性圓錐與彈性半空間的接觸問題；許志倩等[10]建立了基于圓錐與平面接觸的三維粗糙表面接觸力學模型;田洪亮等[11]將圓錐微凸體應用在粗糙表面接觸分析中，建立了結(jié)合面法向剛度統(tǒng)計模型，該模型中的粗糙表面統(tǒng)計參數(shù)受取樣長度和測試儀器的分辨率的影響，不具有客觀唯一確定性。

以上研究工作大多基于球體與平面接觸的模型，研究粗糙表面接觸力學特性。然而結(jié)合面上微凸體理想化的模型與實際差別還是很大的，實際微凸體各自大小和形狀都不一樣，因此結(jié)合面上存在球形、橢球形、拋物體、圓錐體等各種形狀的微凸體，采用圓錐模擬微凸體可以為結(jié)合面進一步的研究提供基礎(chǔ)。因此，本文以圓錐體等效粗糙表面上的微凸體，并結(jié)合分形理論和改進的W-M函數(shù)，建立了結(jié)合面法向接觸剛度分形模型，并通過仿真分析了相關(guān)因素對結(jié)合面法向接觸剛度的影響。最后將本文模型與經(jīng)典模型以及文獻[12]中試驗數(shù)據(jù)進行比較，驗證了本文模型的準確性。

1 粗糙表面的圓錐微凸體模型

1.1 粗糙表面建模

文獻[13]提出了可以更好模擬粗糙表面輪廓的改進W-M函數(shù)，微凸體的變形量δ可由其余弦函數(shù)的波峰和波谷的幅值表示，即

(1)

式中:G為分形粗糙度參數(shù)；D為粗糙表面分形維數(shù)(1

1.2 圓錐微凸體的受力與變形

相互接觸的粗糙表面可以簡化為一粗糙表面和一剛性平面相互接觸，一般粗糙表面上的微凸體可以等效為球形、柱形、錐形，球形模型比較常用，柱形模型與實際接觸情況不符，錐形比較接近實際[14]，因此本文用圓錐模擬粗糙表面上的微凸體。單個圓錐微凸體的變形量為δ，接觸半徑為r，半頂角為β，如圖1所示。

圖1 微凸體等效模型

如圖1所示，球形模型等效微凸體時，以余弦波曲率半徑為球形半徑。根據(jù)文獻[15]可知，由余弦波包裹微凸體，對應的微凸體中有空白致使等效微凸體的體積大于真實體積，為此本文與等效球形方法類似并適當減小余弦波所包裹的體積，以余弦波頂點和余弦波與剛性平面接觸的邊界兩點作等腰三角形(即為等效圓錐體的正視圖)，則圓錐微凸體的半頂角余切值可以表示為

(2)

式中，a為微凸體接觸面積a=πr2。

根據(jù)式(2)并取a=10-15m2,G=10-15～10-8m，D=1.1～1.9進行仿真，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 D和G對cot(β)的影響(a=10-15 m2)

由圖2可得，圓錐微凸體的半頂角余切值隨著分形維數(shù)的增大而減小，隨著分形粗糙度參數(shù)的增大而增大。進而可知，對于相同接觸面積的不同微凸體，分形維數(shù)越小，分形粗糙度參數(shù)越大，微凸體越“扁平”；分形維數(shù)越大，分形粗糙度參數(shù)越小，微凸體越“尖銳”。

由圖1可得，圓錐微凸體變形量和接觸面積之間的關(guān)系為

(3)

由文獻[16]可得，圓錐微凸體在彈性階段所受載荷和接觸面積的關(guān)系為

(4)

式中:E為兩接觸材料的綜合彈性模量；E1和E2分別為兩接觸材料的彈性模量；υ1和υ2分別為兩接觸材料的泊松比。

由式(4)可得，圓錐微凸體在彈性階段所受的平均壓強為

pea=0.2Ecot(β)

(5)

將式(2)代入式(4)可結(jié)合分形參數(shù)D,G，即

(6)

根據(jù)剛度的定義，單個圓錐微凸體的法向剛度可以表示為

(7)

將式(3)和式(4)求導后代入式(7)可得

(8)

當圓錐微凸體發(fā)生塑性變形時所受總載荷為

pp=Ha

(9)

式中，H為兩接觸材料中較軟材料的硬度。

由式(9)可得，圓錐微凸體在塑性階段所受的平均壓強為

(10)

圓錐微凸體由彈性狀態(tài)進入彈塑性狀態(tài)時，可設(shè)施加在圓錐微凸體上的壓強在臨界變形量處連續(xù)，即

pea=ppa

(11)

將式(5)、式(2)和式(10)代入式(11)可得，結(jié)合面微凸體臨界接觸面積為

(12)

式中:k=H/σy;φ=σy/E;σy為相互接觸材料中較軟材料的屈服強度;φ為塑性指數(shù);k一般為2.8。

根據(jù)式(12)并選取結(jié)合面參數(shù)取值φ=0.7～2.5，G=10-15～10-8m，D=1.1～1.9，k=2.8進行仿真，仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 D和G對ac的影響(φ=1.5,k=2.8)

圖4 φ對ac的影響(D=1.6,G=10-12 m,k=2.8)

由圖3和圖4可得，結(jié)合面微凸體臨界接觸面積隨著分形維數(shù)和分形粗糙度參數(shù)的增大而增大，隨著塑性指數(shù)的增大而減小。

由文獻[17]可知接觸面積分布密度函數(shù)表達式為

0

(13)

式中，al為所有微凸體中最大接觸面積。

根據(jù)式(13)并取al=10-10m2,a=10-15m2，D=1.1～1.9進行仿真，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 D對n(a)的影響(al=10-10 m2,a=10-15 m2)

由圖5可得，結(jié)合面接觸面積分布密度隨著分形維數(shù)的增大而增大。進而可知，對于結(jié)合面相同實際接觸面積區(qū)域內(nèi)，分形維數(shù)越大，發(fā)生接觸變形的微凸體個數(shù)越多。

2 結(jié)合面的接觸模型

結(jié)合面上的實際接觸面積為

(14)

結(jié)合面的法向總載荷為

(15)

將式(6)、式(9)和式(13)代入式(15)可得

(16)

結(jié)合面的法向總剛度為

(17)

將式(8)和式(13)代入式(17)可得

(18)

將式(16)和式(18)無量綱化，

3 本文模型的數(shù)字仿真以及試驗對比

3.1 仿真計算

(a)D=1.1

(a)D=1.1

3.2 仿真結(jié)果分析

(a)D=1.1

圖和D對的影響(G*=10-10,φ=1.5)

(a)D=1.1

(a)D=1.1

綜上所有仿真結(jié)果進一步分析：

(1)當結(jié)合面實際接觸面積一定，分形維數(shù)小于1.5時，隨著分形維數(shù)的增大，相同接觸面積的圓錐微凸體的半頂角余切值明顯減小，致使所受彈性力減?。慌R界接觸面積增大，致使處于塑性狀態(tài)微凸體(具有較小接觸面積)的數(shù)量占比略微增加，同時處于彈性狀態(tài)微凸體(具有較大接觸面積)的數(shù)量占比略微減少；此外，結(jié)合面相同實際接觸面積區(qū)域內(nèi)發(fā)生接觸變形的微凸體個數(shù)略微增多。前兩者因素(致使結(jié)合面法向載荷相對減小)起主要作用，后一因素(致使結(jié)合面法向載荷相對增加)起次要作用，最終致使結(jié)合面法向載荷相對減小。同理，隨著分形維數(shù)的減小，結(jié)合面法向載荷相對增大。

(2)當結(jié)合面實際接觸面積一定，分形維數(shù)大于1.5時，隨著分形維數(shù)的增大，相同接觸面積的圓錐微凸體的半頂角余切值略微減小，致使所受彈性力減小；微凸體臨界接觸面積增大，致使處于塑性狀態(tài)微凸體(具有較小接觸面積)的數(shù)量占比明顯增加，同時處于彈性狀態(tài)微凸體(具有較大接觸面積)的數(shù)量占比明顯減少；此外，結(jié)合面相同實際接觸面積區(qū)域內(nèi)發(fā)生接觸變形的微凸體個數(shù)明顯增多。這與分形維數(shù)小于1.5時的情況相反，前兩者因素(致使結(jié)合面法向載荷相對減小)起次要作用，后一因素(致使結(jié)合面法向載荷相對增加)起主要作用，最終致使結(jié)合面法向載荷相對增大。同理，隨著分形維數(shù)的減小，結(jié)合面法向載荷相對減小。

(3)當結(jié)合面實際接觸面積一定，分形粗糙度參數(shù)的增大時，相同接觸面積的圓錐微凸體的半頂角余切值增大，致使所受彈性力增大；微凸體臨界接觸面積增大，致使處于塑性狀態(tài)微凸體(具有較小接觸面積)的數(shù)量占比增加，同時處于彈性狀態(tài)微凸體(具有較大接觸面積)的數(shù)量占比減??；此外，結(jié)合面相同實際接觸面積區(qū)域內(nèi)發(fā)生接觸變形的微凸體個數(shù)不變。第一因素(致使結(jié)合面法向載荷相對增大)起主要作用，第二因素(致使結(jié)合面法向載荷相對減小)起次要作用，最終致使結(jié)合面法向載荷相對增大。同理，當分形粗糙度參數(shù)的減小時，結(jié)合面法向載荷相對減小。

(4)當結(jié)合面實際接觸面積一定，分形維數(shù)的增大時，臨界接觸面積增大，致使處于彈性狀態(tài)微凸體的數(shù)量占比減少；結(jié)合面相同實際接觸面積區(qū)域內(nèi)發(fā)生接觸變形的微凸體個數(shù)略微增多。前者因素(致使結(jié)合面法向接觸剛度相對減小)起次要作用，后一因素(致使結(jié)合面法向接觸剛度相對增加)起主要作用，最終致使結(jié)合面法向接觸剛度相對增大。同理，隨著分形維數(shù)的減小，結(jié)合面法向剛度相對減小。

(5)當結(jié)合面實際接觸面積一定，分形粗糙度參數(shù)的增大時，臨界接觸面積增大，處于彈性狀態(tài)微凸體的數(shù)量占比減??；結(jié)合面相同實際接觸面積區(qū)域內(nèi)發(fā)生接觸變形的微凸體個數(shù)不變。前者因素致使結(jié)合面法向法向接觸剛度相對減小。同理，隨著分形維數(shù)的減小，結(jié)合面法向剛度相對增大。

3.3 試驗驗證

參考文獻[12]和文獻[19]中粗糙表面接觸力學試驗的基礎(chǔ)特性參數(shù)均是通過施加一定的外載荷、動態(tài)激勵等外部作用，經(jīng)過傳感器轉(zhuǎn)化成數(shù)字信號，最后通過模擬測試確定結(jié)合面的動力學特性，同時固定結(jié)合面間的最大靜壓強小于3 MPa且盡量保證壓力在兩試件接觸的結(jié)合面上均勻分布，以便保障試驗數(shù)據(jù)的有效性。粗糙表面分形參數(shù)均是采用結(jié)構(gòu)函數(shù)法計算獲得的。參文獻[12]中的試驗樣本材料均為鑄鐵，試樣材料的硬度、彈性模量和泊松比分別為H=220 MPa,E1=E2=100 GPa,υ1=υ2=0.25；文獻[19]中的試驗樣本材料均為灰鑄鐵，試樣材料特性參數(shù)為H=231 MPa,E1=E2=130 GPa,υ1=υ2=0.25。試樣表面輪廓分形參數(shù)見表1，各個試樣采用不同加工方法組成不同結(jié)合面，文獻[12]中結(jié)合面的名義接觸面積均為Aa=10 000 mm2，文獻[19]中結(jié)合面的名義接觸面積均為Aa=11 200 mm2，結(jié)合面間無潤滑，其等效接觸表面分形參數(shù)見表2。文獻[12]試驗簡圖如圖14，詳細試驗方法為：通過四個螺栓對結(jié)合面施加靜態(tài)預緊力(可以使用扭矩扳手將負載調(diào)整到指定值)，并通過沖擊錘在上部件的表面上激發(fā)激振力。三軸加速度傳感器固定在下部件上，用橡膠繩將試樣懸掛，以防止底座的激振響應影響測試。應用了多點激勵方法，并從固定的三軸加速度傳感器收集了響應信號，通過模擬測試確定加工的結(jié)合面的動力學特性，其中通過將模擬結(jié)果擬合到第一和第二共振頻率的試驗值中來識別結(jié)合面的接觸剛度。文獻[19]試驗簡圖如圖15，詳細試驗方法為：首先將滑塊安裝在導軌的測試臺上，并通過扭矩扳手將負載螺栓調(diào)整到一定的法向負載，將彈性橡膠墊圈安裝在螺栓下方，以避免螺栓剛度對結(jié)合面剛度的影響。安裝加速度傳感器后，通過沖擊錘將激振力施加到組裝好的滑塊上，同時數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)將收集到的響應信號發(fā)送到CutPro軟件，然后可以從軟件的頻率響應分析中獲取FRF數(shù)據(jù)。最后可以通過一組彈簧阻尼器來模擬結(jié)合面的動態(tài)特性來確定結(jié)合面的剛度參數(shù)。根據(jù)表2順序分別將三組試驗數(shù)據(jù)記為試驗數(shù)據(jù)1、試驗數(shù)據(jù)2、試驗數(shù)據(jù)3。本文模型是以圓錐等效粗糙表面上的微凸體，文獻[12]中的模型是以球等效粗糙表面上的微凸體，記為JZZ模型。將上述參數(shù)代入本文模型和JZZ理論模型與試驗數(shù)據(jù)1、2、3對比，對比結(jié)果如圖15～18所示。

圖14 文獻[12]試驗示意圖

圖15 文獻[19]試驗示意圖

表1 不同試樣的分形參數(shù)值

表2 接觸表面的等效分形參數(shù)值

圖16 不同模型與試驗數(shù)據(jù)1比較

圖17 不同模型與試驗數(shù)據(jù)2比較

由圖15～18可見，本文模型與試驗數(shù)據(jù)基本吻合，證明了本文模型的正確性，相比與JZZ模型，本文模型的精確性得到了一定的提高。粗糙表面接觸剛度與表面粗糙度有關(guān)，然而表面粗糙度是由加工方法產(chǎn)生的，因此加工方法對粗糙表面接觸特性有著直接的影響。特征分形參數(shù)D和G是表面多尺度相似測量與絕對測量的統(tǒng)一，因而它既具有分形測量多尺度性的特點，也保留了常規(guī)粗糙度參數(shù)直觀和簡明的優(yōu)點。本文理論模型計算值偏離試驗值的主要原因在于:本文模型忽略微凸體之間的相互作用以及形變時材料強化作用；微凸體的變形方式可以分為塑性、彈塑性和彈性這三個狀態(tài)，在本文中為簡化問題只考慮塑性與彈性這兩個狀態(tài)。

圖18 不同模型與試驗數(shù)據(jù)3比較

4 結(jié) 論

(1)將粗糙表面上的微凸體等效為圓錐體，結(jié)合分形理論和改進的W-M函數(shù)，建立了結(jié)合面法向接觸剛度分形模型。

(2)結(jié)合面無量綱法向接觸載荷隨著無量綱接觸面積、無量綱分形粗糙度參數(shù)和材料塑性指數(shù)的增大而增大；隨著粗糙面分形維數(shù)的增大先減小后增大，且在分形維數(shù)等于1.5附近時達到最小值。

(3)結(jié)合面無量綱法向接觸剛度隨著無量綱法向接觸載荷和材料塑性指數(shù)的增大而增大；隨著粗糙面分形維數(shù)的增大先增大后減小，且在分形維數(shù)等于1.6附近時達到最大值;隨著無量綱分形粗糙度參數(shù)的增大而減小。

(4)本文模型理論預測值與試驗數(shù)據(jù)趨勢相同，驗證了本文理論模型的準確性，可用于相關(guān)的理論分析與預測。