頻譜泄漏校正的多頻實(shí)信號(hào)頻率估計(jì)算法

陳 鵬，趙少美，陳 欽，解志軍，陳曉輝，涂亞慶

(1.中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 空氣動(dòng)力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 綿陽 621000；2.中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 設(shè)備設(shè)計(jì)及測(cè)試技術(shù)研究所，四川 綿陽 621000；3.陸軍勤務(wù)學(xué)院 軍事物流系，重慶 401311)

多頻信號(hào)的頻率估計(jì)是數(shù)字信號(hào)處理中一個(gè)非常基礎(chǔ)但很重要的問題，廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)、儀器儀表裝置、測(cè)量以及無損檢測(cè)等領(lǐng)域[1-2]。例如，線性調(diào)頻連續(xù)波(linear frequency modulation continuous wave, LFMCW)雷達(dá)就是通過估計(jì)采樣信號(hào)頻率來測(cè)量目標(biāo)距離，頻率估計(jì)精度直接關(guān)系著雷達(dá)的測(cè)距精度[3]。

根據(jù)對(duì)信號(hào)的不同處理方式，頻率估計(jì)算法一般可分為時(shí)域法和頻域法[4-5]。頻域法利用DFT(discrete fourier transform)法對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，其抗噪性能好、計(jì)算速度快，因此得到了學(xué)者們更多的關(guān)注與研究[6-7]。

多頻實(shí)信號(hào)可理解為含有多個(gè)正頻率分量和多個(gè)對(duì)應(yīng)負(fù)頻率分量的復(fù)信號(hào)，在對(duì)其進(jìn)行頻譜分析時(shí)，頻率估計(jì)精度同時(shí)受所有負(fù)頻率頻譜泄漏和多個(gè)待估計(jì)正頻率頻譜間相互泄漏的影響[8]。為抑制頻譜泄漏的影響，文獻(xiàn)[9-10]利用各類窗函數(shù)提高了部分條件下的頻率估計(jì)精度，但加窗損失了信號(hào)能量，且為了追求窗函數(shù)性能，設(shè)計(jì)的窗函數(shù)越來越復(fù)雜，導(dǎo)致計(jì)算量偏大，對(duì)算法性能提升不明顯，整體效果不佳。針對(duì)多頻復(fù)信號(hào)，文獻(xiàn)[11]通過頻率調(diào)制和濾除非待估計(jì)頻率的方式實(shí)現(xiàn)了多頻復(fù)信號(hào)頻率估計(jì)，后續(xù)稱為DFE法；文獻(xiàn)[12-13]通過頻譜泄漏校正提高了頻率估計(jì)精度，后續(xù)稱為YA法；文獻(xiàn)[14]通過相減策略抑制了頻譜泄漏的影響，后續(xù)稱為CFH法。這三種算法通過不同的方式抑制了多頻信號(hào)中頻譜泄漏的影響，是現(xiàn)有的優(yōu)秀算法。但在處理多頻實(shí)信號(hào)時(shí)，都將多頻實(shí)信號(hào)中的負(fù)頻率分量看作是獨(dú)立的頻率分量，摒棄了多頻實(shí)信號(hào)中正頻率分量和負(fù)頻率分量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，導(dǎo)致濾除信號(hào)中的負(fù)頻率成分不徹底，減弱了頻譜泄漏抑制能力，特別是在信號(hào)頻率低、頻率間隔近和中高信噪比條件下的頻率估計(jì)精度較低，有待進(jìn)一步提高。

為抑制多頻實(shí)信號(hào)中負(fù)頻率頻譜泄漏和正頻率頻譜間相互泄漏的影響，提高頻率估計(jì)精度，在分析頻譜泄漏影響頻率估計(jì)原因的基礎(chǔ)上，提出了頻譜泄漏校正的頻率估計(jì)算法，并通過仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了所提算法的有效性和實(shí)際應(yīng)用效果。

1 問題描述

本文以平穩(wěn)多頻實(shí)信號(hào)為模型進(jìn)行分析，采樣信號(hào)如式(1)所示。

n=0,1,…,N-1

(1)

不失一般性，對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析時(shí)，各頻率可表示為：

(2)

式中：km=[ωmN/2π]為第m分量頻譜最大值索引，[t]表示取最接近于t的整數(shù)；-0.5≤δm≤0.5表示第m分量的頻譜偏移量。

根據(jù)歐拉公式、結(jié)合式(2)，采樣信號(hào)可改寫為：

(3)

可以看出，多頻實(shí)信號(hào)含有多個(gè)正頻率分量、多個(gè)對(duì)應(yīng)負(fù)頻率分量和噪聲成分。在對(duì)第m分量進(jìn)行頻譜分析時(shí)，所有負(fù)頻率頻譜、其他非m分量的正頻率頻譜以及噪聲頻譜均會(huì)產(chǎn)生泄漏，疊加在第m分量正頻率頻譜上，影響頻率估計(jì)精度。為直觀理解這三者間的相互影響，對(duì)單頻實(shí)信號(hào)、多頻復(fù)信號(hào)和多頻實(shí)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，如圖1所示。

圖1 單頻實(shí)信號(hào)、多頻復(fù)信號(hào)和多頻實(shí)信號(hào)頻譜

與單頻實(shí)信號(hào)相比，多頻實(shí)信號(hào)不僅受負(fù)頻率頻譜泄漏和噪聲的影響，同時(shí)還受其他非待估計(jì)正頻率及其對(duì)應(yīng)負(fù)頻率頻譜泄漏的影響；與多頻復(fù)信號(hào)相比，多頻實(shí)信號(hào)受所有負(fù)頻率頻譜泄漏的影響。因此，對(duì)多頻實(shí)信號(hào)進(jìn)行頻率估計(jì)時(shí)，既要考慮正頻率頻譜間泄漏的影響，還要考慮所有負(fù)頻率頻譜泄漏的影響，增加了頻率估計(jì)算法的設(shè)計(jì)難度。

2 算法流程

為抑制頻譜泄漏對(duì)多頻實(shí)信號(hào)頻率估計(jì)精度的影響，提出一種頻譜泄漏校正的頻率估計(jì)算法，旨在提高頻率估計(jì)精度，特別是在信號(hào)頻率低、頻率間隔近和中高信噪比條件下的估計(jì)精度。以下分別從算法思想、算法流程、與YA法對(duì)比三方面對(duì)所提算法進(jìn)行介紹。

2.1 算法思想

算法的核心思想是：將多頻實(shí)信號(hào)頻譜轉(zhuǎn)換成待估計(jì)單頻正頻率頻譜，抑制所有負(fù)頻率頻譜和非待估計(jì)正頻率頻譜泄漏的影響，再對(duì)待估計(jì)單頻正頻率頻譜進(jìn)行分析，同時(shí)經(jīng)由迭代計(jì)算進(jìn)一步提高頻率估計(jì)精度，從而得到各分量精確的頻率、幅值和初相位估計(jì)值。

算法思想如圖2所示，具體流程如下。

圖2 算法思想

(1)利用FFT(fast fourier transform)法對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，得到各分量準(zhǔn)確的頻譜索引，并構(gòu)造所有負(fù)頻率頻譜和非待估計(jì)正頻率頻譜。

(2)采用相減策略，對(duì)頻譜泄漏進(jìn)行校正，將采樣信號(hào)頻譜和構(gòu)造的頻譜相減，得到待估計(jì)單頻正頻率頻譜。

(3)對(duì)待估計(jì)單頻正頻率頻譜進(jìn)行分析，得到較精確的頻譜偏移量和復(fù)幅值，重新構(gòu)造所有負(fù)頻率頻譜和非待估計(jì)正頻率頻譜，再進(jìn)行頻譜泄漏校正，通過迭代計(jì)算得到各分量精確的參數(shù)估計(jì)值。

2.2 算法流程

根據(jù)算法思想，設(shè)計(jì)的具體算法流程如下。

首先利用FFT法對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，求取信號(hào)頻譜索引。

(4)

ki=f(Y(k)),i=1,2,…,M

(5)

式中：符號(hào)f(t)表示求函數(shù)t極大值中最大M個(gè)極值的索引，ki表示第i分量的索引。

頻譜法具有很強(qiáng)的抗噪性，受噪聲影響相對(duì)較小，因此設(shè)計(jì)算法時(shí)，為方便公式推導(dǎo)，忽略噪聲成分。針對(duì)無噪采樣信號(hào)，對(duì)第i分量分析。首先在索引ki兩邊插值，間隔為0.5，可得到插值點(diǎn)頻譜。

(6)

其次通過相減策略，實(shí)現(xiàn)頻譜泄漏校正。

(7)

然后采用針對(duì)單頻復(fù)信號(hào)設(shè)計(jì)的AM算法[15]，對(duì)經(jīng)頻譜泄漏校正后的待估計(jì)單頻正頻率頻譜進(jìn)行分析。

(8)

得到頻譜偏移量后，利用式(9)求解抑制了頻譜泄漏影響的復(fù)幅值。

(9)

最后通過迭代計(jì)算式(6)～(9)，得到每個(gè)分量的頻譜偏移量和復(fù)幅值，從而利用式(2)和式(10)得到各分量精確的頻率、幅值和初相位估計(jì)值。

(10)

綜上分析，算法的具體流程如表1所示。

表1 算法流程

2.3 與YA法對(duì)比

為抑制多頻復(fù)信號(hào)中頻譜泄漏的影響，文獻(xiàn)[12-13]提出了對(duì)頻譜泄漏進(jìn)行校正的YA法。所提算法和YA法運(yùn)用了相似的頻譜泄漏校正思路，但兩個(gè)算法針對(duì)的信號(hào)模型不同，具體算法步驟有所不同。與YA法相比，所提算法具有兩個(gè)優(yōu)勢(shì)：

(1)多頻實(shí)信號(hào)中正頻率分量和負(fù)頻率分量是對(duì)應(yīng)的，所提算法可確保對(duì)應(yīng)正負(fù)頻率的絕對(duì)值相等，從而保證了頻率估計(jì)精度。而YA法在處理多頻實(shí)信號(hào)時(shí)，將含有M個(gè)正頻率分量和對(duì)應(yīng)M個(gè)負(fù)頻率分量的多頻實(shí)信號(hào)直接看作是含有2M個(gè)獨(dú)立頻率分量的多頻復(fù)信號(hào)，分別估計(jì)信號(hào)正頻率和負(fù)頻率，摒除了二者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得正頻率和負(fù)頻率絕對(duì)值之間存在偏差，降低了頻率估計(jì)精度。

(2)為盡可能地抑制頻譜泄漏影響，得到精確的參數(shù)估計(jì)值，需要在頻率估計(jì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行幅值和初相位估計(jì)，并進(jìn)行迭代計(jì)算。由式(3)可知，對(duì)應(yīng)正負(fù)頻率分量的幅值相等、初相位大小相等方向相反，所提算法遵循了多頻實(shí)信號(hào)中正頻率分量和負(fù)頻率分量相對(duì)應(yīng)的關(guān)系，保證了計(jì)算的幅值和初相位是準(zhǔn)確的。而YA法摒棄了正負(fù)頻率間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不僅正負(fù)頻率間存在偏差，在此基礎(chǔ)上計(jì)算的幅值和初相位也存在偏差，進(jìn)一步降低了多頻實(shí)信號(hào)的參數(shù)估計(jì)精度。

所提算法、YA法以及其他現(xiàn)有優(yōu)秀算法的參數(shù)估計(jì)性能，將在下一節(jié)進(jìn)行對(duì)比分析。

3 性能分析

所提算法屬于迭代類算法，算法的計(jì)算量是評(píng)價(jià)算法性能的一個(gè)指標(biāo)。下面，分別從迭代次數(shù)和算法復(fù)雜度兩方面進(jìn)行分析。

3.1 不同迭代次數(shù)

首先在不同迭代次數(shù)下進(jìn)行仿真，分析所提算法的收斂條件。仿真時(shí)，設(shè)迭代次數(shù)為1、2、4和6，SNR=40 dB，結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同迭代次數(shù)的頻率估計(jì)結(jié)果

經(jīng)由1次迭代計(jì)算，算法的估計(jì)效果較差，迭代次數(shù)為2時(shí)，算法的估計(jì)性能得到了提升，但與CRLB仍有很大的偏差。在全頻率變化范圍內(nèi)，4次和6次迭代具有相當(dāng)?shù)墓烙?jì)性能，考慮算法計(jì)算量、即算法實(shí)時(shí)性，后續(xù)實(shí)驗(yàn)均采用4次迭代計(jì)算。

同時(shí)，也可以看出，采用4次迭代時(shí)，所提算法能夠準(zhǔn)確地分辨出相差3個(gè)頻譜間隔(2π/N為一個(gè)頻譜間隔)的頻率分量。當(dāng)信號(hào)的頻率分量超過3個(gè)頻譜間隔后，正頻率頻譜間的相互泄漏對(duì)所提算法的頻率估計(jì)精度影響非常小。

3.2 算法復(fù)雜度

分析算法的計(jì)算復(fù)雜度時(shí)，均省略簡單步驟，只統(tǒng)計(jì)計(jì)算量較大步驟，且將所有復(fù)數(shù)計(jì)算轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)計(jì)算。對(duì)所提算法、DFE法、YA法以及CFH法[14]均取4次迭代計(jì)算，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。

表2 計(jì)算復(fù)雜度分析

4 仿真驗(yàn)證

為檢驗(yàn)所提算法的有效性，利用MATLAB軟件在不同條件下，以2個(gè)分量的多頻實(shí)信號(hào)為例進(jìn)行頻率估計(jì)實(shí)驗(yàn)，并與上述算法，以及克拉美羅下限(cramer-rao lower bound，CRLB)[16]進(jìn)行對(duì)比分析。

克拉美羅下限是統(tǒng)計(jì)信號(hào)的無偏估計(jì)下限，常作為算法參數(shù)估計(jì)精度的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，多頻實(shí)信號(hào)的頻率估計(jì)下限為：

(11)

(12)

式中：L表示每組實(shí)驗(yàn)的計(jì)算次數(shù)。

4.1 無噪聲

經(jīng)前文分析可知，頻域法受頻譜泄漏和噪聲的影響。因此，在無噪聲環(huán)境下，可檢驗(yàn)各算法的頻譜泄漏抑制能力，結(jié)果如圖4所示。

圖4 無噪聲條件下的頻率估計(jì)結(jié)果

DFE法、YA法和CFH法分別通過頻率調(diào)制、頻譜泄漏校正和相減策略抑制了頻譜泄漏的影響，且頻譜泄漏抑制能力逐漸增強(qiáng)。但在處理多頻實(shí)信號(hào)時(shí)，這幾種算法均將信號(hào)中的負(fù)頻率分量視為獨(dú)立的復(fù)信號(hào)，忽略了正負(fù)頻率分量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。所提算法考慮了這之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，提升了頻譜泄漏抑制能力，強(qiáng)于其他幾種算法。

4.2 不同頻率間隔

為檢驗(yàn)所提算法在不同頻率間隔下的頻率估計(jì)性能，設(shè)SNR=30 dB，結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同頻率間隔下的頻率估計(jì)結(jié)果

隨著頻率分量間隔增加，信號(hào)第1分量正頻率和對(duì)應(yīng)負(fù)頻率的影響不變，第2分量正頻率和負(fù)頻率頻譜泄漏減少，各算法的頻率估計(jì)結(jié)果逐漸變好。所提算法的頻率估計(jì)精度優(yōu)于DFE法、YA法和CFH法，具有更好的頻譜泄漏抑制能力，特別是在頻率間隔近時(shí)的優(yōu)勢(shì)更加明顯。

4.3 不同頻率

圖6 不同頻率下的頻率估計(jì)結(jié)果

固定頻率分量間隔后，改變信號(hào)頻率就是改變負(fù)頻率頻譜泄漏的影響。隨著信號(hào)頻率增加，負(fù)頻率頻譜泄漏的影響降低，各算法的頻率估計(jì)精度有所提高。所提算法具有更好的頻率估計(jì)精度，最靠近CRLB，特別是信號(hào)頻率較低、負(fù)頻率頻譜泄漏更嚴(yán)重時(shí)，優(yōu)勢(shì)更加明顯。

4.4 不同信噪比

圖7 不同信噪比下的頻率估計(jì)結(jié)果

在低信噪比條件下，所選算法具有相當(dāng)?shù)念l率估計(jì)精度。隨著信噪比逐漸增加，頻譜泄漏的影響逐漸加強(qiáng)，DFE法、YA法和CFH法分別逐漸趨于飽和，而所提算法頻率估計(jì)結(jié)果的均方誤差一直靠近CRLB，優(yōu)于其他幾種算法，提高了中高信噪比條件下的頻率估計(jì)精度。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為檢驗(yàn)所提算法的應(yīng)用效果，利用LFMCW雷達(dá)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行了測(cè)距實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖8所示。

圖8 測(cè)距實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)

據(jù)LFMCW雷達(dá)測(cè)距原理，測(cè)量距離可由下式計(jì)算。

(13)

式中：R、fs、C、T、B分別表示測(cè)量距離、采樣頻率、電磁波傳播速度、調(diào)頻周期和調(diào)頻帶寬。

實(shí)驗(yàn)時(shí)，設(shè)鋸齒波為調(diào)制波，信號(hào)中心頻率24 GHz，采樣頻率350 kHz，調(diào)頻帶寬465 MHz，調(diào)頻周期2 ms，測(cè)距范圍以1 m的步長從5 m增加到10 m，利用DEVONL80手持激光測(cè)距儀和田島L-50U玻璃纖維標(biāo)尺來測(cè)量實(shí)際距離。同時(shí)，選用所提算法、YA法和CFH法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表3所示。

表3 測(cè)距結(jié)果

所提算法的平均絕對(duì)誤差為0.038 m，YA法和CFH法的平均絕對(duì)誤差分別為0.052 m和0.053 m。所提算法的測(cè)量結(jié)果比YA法和CFH法的測(cè)量結(jié)果更接近實(shí)際距離，算法估計(jì)精度與仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。相比于YA法和CFH法，采用所提算法可改善LFMCW雷達(dá)的測(cè)距效果。

6 結(jié) 論

為抑制多頻實(shí)信號(hào)中負(fù)頻率頻譜泄漏和正頻率頻譜間相互泄漏的影響，提高信號(hào)頻率估計(jì)精度，提出一種頻譜泄漏校正的頻率估計(jì)算法。該算法通過對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，構(gòu)造所有負(fù)頻率和正頻率插值點(diǎn)頻譜，同時(shí)通過相減策略抑制了頻譜泄漏的影響，校正了待估計(jì)正頻率頻譜，并經(jīng)迭代計(jì)算得到了各分量精確的頻率、幅值和初相位估計(jì)值。

在不同條件下仿真結(jié)果表明，針對(duì)多頻實(shí)信號(hào)，特別是在低頻或中高信噪比條件下，即負(fù)頻率頻譜泄漏嚴(yán)重時(shí)，或者是信號(hào)頻率間隔較近，即正頻率頻譜間相互泄漏嚴(yán)重時(shí)，所提算法均有效地抑制了頻譜泄漏的影響，具有很高的頻率估計(jì)精度，其頻率估計(jì)值的均方誤差更靠近克拉美羅下限，優(yōu)于現(xiàn)有的優(yōu)秀算法。并在LFMCW雷達(dá)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行了測(cè)距實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所提算法的實(shí)際應(yīng)用效果，優(yōu)于YA法和CFH法。