由一堂正態(tài)分布課展現(xiàn)的課程思政

吳宏鍔，梁 瑛， 郭學(xué)軍

(南陽理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院 河南 南陽 473000)

概率統(tǒng)計(jì)是高等院校經(jīng)管類、理工類專業(yè)一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，應(yīng)用非常廣泛，幾乎遍及自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。在該課程的教學(xué)過程中如何以知識(shí)教學(xué)為載體，實(shí)現(xiàn)課程思政教學(xué),是值得思考和探討的。

為了打破思政教育與專業(yè)教育相互隔絕的“孤島效應(yīng)”，各高校應(yīng)以知識(shí)為載體，把知識(shí)傳授與價(jià)值引領(lǐng)相結(jié)合，把價(jià)值觀的培育融入課程教學(xué)之中，將各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)，構(gòu)建全員、全程、全課程育人的格局形式，落實(shí)“立德樹人” 的教育根本任務(wù)。有鑒于此，概率統(tǒng)計(jì)作為一門重要的基礎(chǔ)課程，也應(yīng)在提出專業(yè)教學(xué)目標(biāo)的同時(shí)，明確提出德育教學(xué)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)到的知識(shí)和技能轉(zhuǎn)化為內(nèi)在德性和素養(yǎng)，潛移默化地為培養(yǎng)學(xué)生具有良好品行、良好素養(yǎng)而服務(wù)。

傳統(tǒng)的概率統(tǒng)計(jì)課程以知識(shí)的掌握、方法的應(yīng)用為主要教學(xué)目標(biāo)，對(duì)這門課中無價(jià)的文化內(nèi)涵與價(jià)值層面的育人功能挖掘不夠。如何挖掘這些育人功能，做到思政教育與專業(yè)課程融為一體，使兩者協(xié)同前行、相得益彰，是當(dāng)下概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)研究的熱點(diǎn)課題之一。由于正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，是概率統(tǒng)計(jì)中最重要、最常見的分布，也是其理論基石，因此本文就以一堂正態(tài)分布課程教學(xué)為例，來探討如何進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)課程思政教學(xué)。

一 欣賞正態(tài)分布之美

首先，從美學(xué)視角來看正態(tài)分布的概率密度。若隨機(jī)變量X的概率密度為

同時(shí)，我們知道密度函數(shù)f(x)具有下述性質(zhì)。

(1)f(x)關(guān)于直線x=μ對(duì)稱；

(3)曲線f(x)以x軸為漸近線；

(4)在橫坐標(biāo)x=μ±σ處，曲線f(x)有拐點(diǎn)；

(5)參數(shù)μ是均值和曲線的中心，管理著曲線的位置；參數(shù)σ是方差，管理著曲線的胖瘦和高矮。

根據(jù)以上性質(zhì)，描繪出正態(tài)分布的概率密度f(x)的圖像，如圖1所示?？梢钥闯?，概率密度f(x)的曲線具有“中間大、兩頭小、且對(duì)稱”的特點(diǎn)，圖像呈現(xiàn)柔和、莊重的對(duì)稱之美；感覺為一形狀優(yōu)雅的鐘型，精巧流暢、凹凸有致；無限地逼近x軸，卻又矜持地保持著不相交。這種理性中透出的美感，既方便我們記憶又使我們賞心悅目。

正如英國著名數(shù)學(xué)家羅素說：“數(shù)學(xué)不但擁有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的，只有最偉大的藝術(shù)才能顯示那完美的境地。”概率統(tǒng)計(jì)作為大學(xué)數(shù)學(xué)的分支之一，同樣擁有這種至高的美。我們作為教育者應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生以一種欣賞“美”的姿態(tài)深入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，鑒賞數(shù)學(xué)的理性美、形象美、對(duì)稱美，讓枯燥無味的數(shù)學(xué)變得“有趣味、有溫度”，而后使我們“有收獲、有創(chuàng)造”[2]。

二 邂逅正態(tài)分布的發(fā)現(xiàn)歷程

下面，從正態(tài)分布的發(fā)現(xiàn)之路來看數(shù)學(xué)的育人功能。正態(tài)分布概率密度f(x)的表達(dá)式奇特、美妙，數(shù)學(xué)家當(dāng)年又是如何在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)其分布的，又是如何推導(dǎo)其表達(dá)式的，今天讓我們沿著數(shù)學(xué)家的足跡重走正態(tài)分布的發(fā)現(xiàn)之路，來揭開她的神秘面紗，體味科學(xué)探索的樂趣。

棣莫弗、拉普拉斯、高斯都在不同的數(shù)學(xué)文化背景下,從不同的角度入手,采用不同的方法,得到相同的結(jié)論,可謂殊途同歸。正態(tài)分布作為一種統(tǒng)計(jì)模型在19世紀(jì)鶴立雞群，傲視其他一切概率分布；甚至一些學(xué)者把19世紀(jì)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)稱為正態(tài)分布的統(tǒng)治時(shí)代。縱觀概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的今日發(fā)展 ,這三位數(shù)學(xué)家功不可沒。

通過了解和比較正態(tài)分布發(fā)現(xiàn)過程中的不同數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生以更深厚的感情去體味每一定義、定理背后的故事，近距離地接觸“數(shù)學(xué)大家”的思想、智慧，以更廣闊的視野去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的博大精深，在共同探索的氛圍下激發(fā)探究、創(chuàng)新的勇氣，潛移默化地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[3-4]。

三 昭示正態(tài)分布背后蘊(yùn)含的科學(xué)敬仰

正態(tài)分布又稱高斯分布。由于棣莫弗的工作被人遺忘 ,而高斯的研究成果對(duì)后世影響極大 ,從而使正態(tài)分布有了“高斯分布”之稱。我們知道錢幣是一個(gè)國家的名片，許多國家的紙幣上都印著政治家的頭像, 而1993年德國發(fā)行的10馬克紙幣上印的卻是德國大數(shù)學(xué)家高斯的頭像及正態(tài)分布概率密度的圖像(見圖2)。德國人把對(duì)科學(xué)的敬仰寫在他們的貨幣上。這從一個(gè)小小的側(cè)面反映了這個(gè)民族對(duì)知識(shí)、科學(xué)的尊重。因此, 二戰(zhàn)失敗后西德能迅速崛起, 絕不是偶然的。德國之所以能向世界貢獻(xiàn)那么多的偉大哲學(xué)家、思想家、科學(xué)家, 也與全民尊重知識(shí)有關(guān)[5]。

圖2 德國10馬克紙幣

當(dāng)下的中國也正是如此。2020年習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)，要以科技創(chuàng)新催生新發(fā)展動(dòng)能?！?020全球創(chuàng)新指數(shù)報(bào)告》顯示，中國的創(chuàng)新步伐走在世界前列。即使在疫情肆虐的大背景下，中國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科技創(chuàng)新“風(fēng)景依舊獨(dú)好”。這些成就與我國長期崇尚科學(xué)、尊重創(chuàng)新是分不開的。在2020年1月10日的國家科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)勵(lì)大會(huì)上，習(xí)近平為最高獎(jiǎng)獲得者頒獎(jiǎng)。重獎(jiǎng)之舉贏得社會(huì)一片好評(píng)，足見國家和社會(huì)對(duì)科學(xué)、科技的重視，崇尚科學(xué)、尊重創(chuàng)新已成為中國社會(huì)的廣泛共識(shí)。在我國經(jīng)濟(jì)、科技發(fā)展日新月異的時(shí)代，大學(xué)生就更應(yīng)崇尚科學(xué)，把握大勢(shì)、迎難而上，勇做新時(shí)代科技創(chuàng)新的排頭兵，為把我國建設(shè)成為世界科技強(qiáng)國作出積極的貢獻(xiàn)。

四 揭示正態(tài)分布的哲學(xué)本質(zhì)

下面，從正態(tài)分布的應(yīng)用中，來揭示正態(tài)分布所蘊(yùn)含的哲學(xué)思想。我們知道，企業(yè)在進(jìn)行質(zhì)量檢查和控制時(shí)，經(jīng)常使用正態(tài)分布的“3σ-規(guī)則”。

設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則

①P(|X-μ|<σ)=2Φ(1)-1=0.6826；

②P(|X-μ|<2σ)=2Φ(2)-1=0.9544；

③P(|X-μ|<3σ)=2Φ(3)-1=0.9974。

盡管服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的取值范圍是(-∞,+∞)，但X取值于區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)內(nèi)的概率為0.9974，而X的取值落在該區(qū)間外的可能性是0.0026，是一小概率事件。小概率事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的。也即，在實(shí)際的生產(chǎn)和管理中，常認(rèn)為它不會(huì)發(fā)生。因此，我們可以把區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)看作是X實(shí)際可能的取值區(qū)間，這稱之為正態(tài)分布的“3σ-規(guī)則”[5](如圖3)。在企業(yè)管理中，經(jīng)常應(yīng)用該法則進(jìn)行質(zhì)量檢查和工藝過程的控制。

圖3 3σ-規(guī)則

由圖3可知，X取值在區(qū)間(μ-σ,μ+σ)的概率為0.6826，這部分為正態(tài)分布的基區(qū)部分，其左邊為負(fù)區(qū)，右邊為正區(qū)。正態(tài)分布曲線及面積分布圖由負(fù)區(qū)、基區(qū)、正區(qū)三個(gè)區(qū)組成，各區(qū)比重不一樣。由此，我們能得到的哲學(xué)內(nèi)涵如下。

(一)整體論

正態(tài)分布的取值是(-∞,+∞)，概率密度f(x)的曲線分布圖(圖3)展示了正態(tài)分布的全面性。這啟示我們，用整體的眼光來看事物，才能看清楚事物的本來面貌,才能得出事物的根本特性,不能只見樹木不見森林，也不能以偏概全。既要看到事物積極的方面，還要看到事物消極的方面；既要看到事物前進(jìn)的一面，還要看到事物落后的一面。片面地看事物，看到的不是真實(shí)的事物本身。

(二)重點(diǎn)論

當(dāng)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)時(shí)，P(|X-μ|<σ)=0.6826,從圖形(圖3)上更能直觀地看到這一點(diǎn)，那就是基區(qū)占68.27%，是主體。這啟示我們，認(rèn)識(shí)世界和改造世界一定要抓住重點(diǎn)，因?yàn)橹攸c(diǎn)就是事物的主要矛盾，抓住了重點(diǎn)才能綱舉目張。

(三)發(fā)展論

如果從系統(tǒng)或者事物的發(fā)展過程來看，我們會(huì)明顯地看到正態(tài)分布是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、多元的系統(tǒng)，經(jīng)歷著從負(fù)區(qū)到基區(qū)再到正區(qū)的發(fā)生、發(fā)展過程[6]。由此想到，人的智力也表現(xiàn)為正態(tài)分布，分低下、一般和超常，構(gòu)成了智力鐘型圖。智力低下、超常的位于左、右兩端，屬于“兩頭小”；智力一般的屬于“中間大”，在95%或99%這個(gè)區(qū)間內(nèi)。絕大部分人的智商是一般的，要想取得工作或事業(yè)的成功就必須付出努力和汗水!又如，我們的人生也是符合正態(tài)分布的，人生有低谷、平淡、高潮，大多數(shù)日子里我們都在95%或99%這個(gè)區(qū)間內(nèi)，注定是平淡無奇的?！捌狡降攀钦妗?，在這一段漫長的時(shí)光中我們要耐得住寂寞、沉淀自我，積蓄力量，積攢的力量也許為的就是那一瞬的精彩爆發(fā)！由正態(tài)分布導(dǎo)出的“發(fā)展論”哲學(xué)思想，可以使我們更深層地理解“耐得住寂寞，才守得住繁華”的道理。

在這一堂課中，我們不僅認(rèn)識(shí)了正態(tài)分布的特征并掌握了其應(yīng)用，而且還能從中悟出一些人生的哲理與啟示[7]，同時(shí)也使我們更清楚地看到了課程思政無處不在，只要用心去做、用心去挖掘，就一定能夠找到知識(shí)傳授與思政教育的融合點(diǎn)，通過“潤物細(xì)無聲”的方式實(shí)現(xiàn)“傳道授業(yè)解惑”的目的。當(dāng)然，課程思政不僅僅局限于課堂教學(xué)，它應(yīng)覆蓋于教育教學(xué)的全過程，課堂之外也有很多思政教育的形式和方式，這需要我們?nèi)ヌ剿鳌？傊?，課程思政，任重道遠(yuǎn)[8]。