拉普拉斯變換在碳循環(huán)以及相關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用

李喜彬, 麻嘉欣, 石璐潔, 麻 歡, 張雅雯

(1.內(nèi)蒙古師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022;2.內(nèi)蒙古師范大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)中心,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

1 拉普拉斯變換在碳循環(huán)模型中的應(yīng)用

1.1 動(dòng)力學(xué)方程

大氣中CO2主要來(lái)源于人類(lèi)排放,如化石燃料SFOSS以及土地利用變化SLUCF(農(nóng)業(yè)、林業(yè)等)。地球生態(tài)系統(tǒng)碳循環(huán)主要通過(guò)二氧化碳的形式進(jìn)行,了解碳循環(huán)非常重要。由于海洋的吸收,大氣中的二氧化碳濃度會(huì)被逐漸稀釋,其流量記為ΦOCN,陸生植物的稀釋流量記為ΦBIO。利用響應(yīng)函數(shù)來(lái)描述碳循環(huán)的行為可以追溯到很多年前,該過(guò)程可以通過(guò)一個(gè)積分方程表示[1]

(1)

其中:Q(t)表示大氣中二氧化碳的總質(zhì)量;R(t)為響應(yīng)函數(shù)表示排放大氣中剩余碳的比例;S(t)表示二氧化碳的排放率,為化石能源和陸地生態(tài)系統(tǒng)的排放總和,S(t)=SFOSS(t)+SLUCF(t)。這里假設(shè)Q和S的初始條件為Q(0)=0和R(0)=1。對(duì)方程(1)兩端求關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù),得到[2]

(2)

(3)

如果考慮溫度變化對(duì)大氣二氧化碳總量的影響,(1)式可以進(jìn)一步寫(xiě)為[3]

(4)

其中H(t)為二氧化碳排放率對(duì)溫度W(t)的響應(yīng)函數(shù)。對(duì)(1)式進(jìn)行拉普拉斯變換[4]

(5)

(6)

(7)

其中ai就可以視為不同二氧化碳源的比例。對(duì)(7)式進(jìn)行拉普拉斯逆變換,就得到微分方程

(8)

常微分方程(8)給出了求解大氣二氧化碳總量的一種方法[5]。

如果排放率為指數(shù)形式S(t)=Aexp (βt),拉普拉斯變換為一個(gè)單極點(diǎn)的形式

(9)

并且這個(gè)單極點(diǎn)主導(dǎo)了方程的演化趨勢(shì)。大氣中二氧化碳餾分(airborne fraction)定義為二氧化碳對(duì)時(shí)間的變化率與二氧化碳排放量之比,由拉普拉斯逆變換可知[6]

(10)

在這種情況下,同樣可以得到大氣中二氧化碳總量的解為[7]

(11)

1.2 動(dòng)態(tài)過(guò)程

如前文所述,碳循環(huán)主要包含兩部分：海洋和陸地生物群。如果考慮一個(gè)碳庫(kù)總量Q對(duì)另外一個(gè)碳庫(kù)流量Φ的相應(yīng),其響應(yīng)函數(shù)分別為ROCN(t)和RBIO(t),表示海洋和陸地植物對(duì)進(jìn)入大氣的凈碳通量的響應(yīng)方式。拉普拉斯變換形式的方程大致可以寫(xiě)為

(12)

(13)

(14)

于是可以得到總的響應(yīng)函數(shù)的拉普拉斯變換表達(dá)式

(15)

這個(gè)表達(dá)式最初由Enting等[8]得到。利用(15)式同樣可以得到二氧化碳的餾分

(16)

其中μBIO和μO(píng)CN分別表示陸地系統(tǒng)和海洋系統(tǒng)對(duì)大氣中二氧化碳增量的貢獻(xiàn),Oeschger 等[9]使用稀釋因子(dilution factors)描述了這種分配過(guò)程,并指出了其對(duì)排放增長(zhǎng)率的依賴(lài)性,但沒(méi)有使用拉普拉斯變換。隨后拉普拉斯變換被引入這個(gè)模型之中[8]。

2 拉普拉斯變換在兩體阻尼振蕩系統(tǒng)中的應(yīng)用

在物理問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)由彈簧連接的兩個(gè)物體,這種模型的描述如圖1所示。假設(shè)質(zhì)量為m1和m2的兩個(gè)物體分別由具有恢復(fù)系數(shù)k的彈簧連接。把彈簧拉長(zhǎng)至b,其原長(zhǎng)是a,同時(shí)釋放兩個(gè)物體,坐標(biāo)x1和x2表示兩個(gè)物體m1和m2相對(duì)于釋放處的位移。同時(shí)假定阻尼力與它的速度成正比,阻尼系數(shù)為γ。用上述物理量描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為

圖1 運(yùn)動(dòng)方程(17)式對(duì)應(yīng)的示意圖 Fig.1 Schematic diagram of equation of motion (17)

(17)

其中初始條件為

并定義新的參數(shù)A=k(b-a)。其拉普拉斯變換為

(18)

(19)

(20)

f(s)=m1m2s3+γ(m1+m2)s2+γ2s+

k(m1+m2)s+2γk=as3+bs2+cs+d

(21)

的零點(diǎn)處,這是一個(gè)一元三次函數(shù)。容易驗(yàn)證,方程f(z)=0實(shí)根和虛根的實(shí)部均為負(fù)值。

1.如果Δ=0,有三個(gè)實(shí)根且至少兩個(gè)相等,這種情況對(duì)應(yīng)臨界阻尼振蕩;

2.如果Δ<0,有三個(gè)不同的實(shí)根,對(duì)應(yīng)過(guò)阻尼振蕩;

3.如果Δ>0,有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根,對(duì)應(yīng)欠阻尼振蕩。

三種振蕩模式示意圖如圖2所示。

圖2 三種震蕩模式示意圖Fig.2 The sketch maps of three damped oscillation

3 拉普拉斯變換在其他領(lǐng)域的應(yīng)用

此算例只是給出了拉普拉斯變換在解線(xiàn)性齊次偏微分方程組的一個(gè)應(yīng)用實(shí)例。實(shí)際上拉普拉斯變換在諸多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用,比如計(jì)算某些類(lèi)型的積分[11]、某些類(lèi)型的積分方程[12]、線(xiàn)性偏微分方程[13]等問(wèn)題,而且在通信類(lèi)、控制類(lèi)、電氣類(lèi)等專(zhuān)業(yè)課中也應(yīng)用廣泛[14-15]。因此,在數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)實(shí)踐中,適當(dāng)加入拉普拉斯變換對(duì)于開(kāi)拓學(xué)生的視野、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情都大有裨益。

3.1 拉普拉斯變換在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

由上述計(jì)算可知,拉普拉斯變換對(duì)解決線(xiàn)性常微分方程十分方便。對(duì)于大學(xué)教學(xué)課程中的具體問(wèn)題,比如在《高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))》第七章中關(guān)于線(xiàn)性二階常微分方程部分的內(nèi)容,如果沒(méi)有拉普拉斯變換的相關(guān)知識(shí),可能無(wú)法理解該方程齊次部分的特征方程為什么是r2+pr+q=0這種形式[16],同樣無(wú)法解釋為什么在發(fā)生共振時(shí)方程的解正比于時(shí)間t:x(t)=Asin (kt+φ)-(ht/2k) coskt。拉普拉斯變換另外的一個(gè)作用便是解某些類(lèi)型的積分方程,例如[12]

這類(lèi)帶有特定初始條件的積分微分方程,利用拉普拉斯變換以及卷積定理便可以很容易地進(jìn)行求解。除此之外,拉普拉斯變換還可以用來(lái)計(jì)算某些形式的廣義積分[11]。

3.2 在自動(dòng)控制理論中的應(yīng)用

拉普拉斯變換在“自動(dòng)控制原理”課程中也起著重要作用[17]。如果能夠透徹掌握拉普拉斯變換,會(huì)加深對(duì)自動(dòng)控制原理中知識(shí)點(diǎn)的理解。拉普拉斯變換在自動(dòng)控制理論中最常見(jiàn)的應(yīng)用是傳遞函數(shù),其定義為線(xiàn)性系統(tǒng)在零初始條件下,系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換與系統(tǒng)輸入量拉普拉斯變換的比值[18],可寫(xiě)為如下形式：

G(s)的極點(diǎn)界定了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的模態(tài),而零點(diǎn)決定了各個(gè)模態(tài)所占的比重(通過(guò)拉普拉斯逆變換可以很容易驗(yàn)證這些觀點(diǎn))。

一個(gè)特殊應(yīng)用實(shí)例為鎖相環(huán),它是由鑒相器、環(huán)路濾波器以及壓控振蕩器構(gòu)成的反饋系統(tǒng),其功能便是對(duì)輸入信號(hào)的跟蹤鎖定。如果濾波器為低通濾波器,通過(guò)拉普拉斯逆變換可以得到一維Kuramoto方程[19]

這便是描述相位捕獲的方程,系統(tǒng)在ωK時(shí)則處于失鎖狀態(tài)。如果選取其他形式的濾波函數(shù),還可以得到更為復(fù)雜的鎖相方程,甚至發(fā)生混沌現(xiàn)象[20]。

3.3 在等離子體物理中的應(yīng)用

拉普拉斯變換最大優(yōu)勢(shì)之一便是在變換的過(guò)程中考慮了初始條件。在一些特定的問(wèn)題中,需要考慮初始條件對(duì)系統(tǒng)的影響,這時(shí)拉普拉斯變換便可以發(fā)揮出它的作用。比如在等離子體中需要考慮初始擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響,用Vlasov方程描述這一問(wèn)題[21]

并且?guī)в谐跏紨_動(dòng)n(x,v,0)=n0(v)+g(x,v)。對(duì)空間坐標(biāo)做傅里葉變換同時(shí)對(duì)時(shí)間坐標(biāo)做拉普拉斯變換,最后可以得到等離子體中電勢(shì)能分布對(duì)初始擾動(dòng)的弛豫關(guān)系為

(23)

χ中包含了對(duì)初始條件的積分,εl為縱向極化率,其零點(diǎn)均位于左半平面。由留數(shù)定理可知,(23)式中的電勢(shì)能φk(t)會(huì)隨著時(shí)間增長(zhǎng)呈指數(shù)衰減,換言之等離子體系統(tǒng)的電磁學(xué)擾動(dòng)會(huì)被耗散掉,即朗道阻尼現(xiàn)象。

綜上所述,本文總結(jié)了拉普拉斯變換在眾多領(lǐng)域中的應(yīng)用,包括生態(tài)碳循環(huán)、兩體阻尼振蕩系統(tǒng)、微分(積分)方程、自動(dòng)控制理論、等離子體物理等,展示了拉普拉斯變換在解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的優(yōu)勢(shì)。