不等間距加筋圓柱殼的振動(dòng)局域化研究

紀(jì)剛 李宗威 周其斗

摘要： 對(duì)圓柱殼采取不等間距加筋配置將導(dǎo)致其振動(dòng)在通頻帶局域化，從而可實(shí)現(xiàn)對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)進(jìn)行控制。將加筋圓柱殼模型的振動(dòng)等效為耦合振子鏈的振動(dòng)，利用耦合振子鏈的無序局域化因子理論公式定量預(yù)報(bào)不等間距加筋圓柱殼的無序局域化因子：與耦合振子鏈等效的圓柱殼振動(dòng)參數(shù)由基于有限元結(jié)合波數(shù)分析技術(shù)所獲得的加筋圓柱殼色散曲線給出;與耦合振子鏈等效的圓柱殼無序參數(shù)由圓柱殼彎曲波動(dòng)理論和統(tǒng)計(jì)理論給出。在給出不等間距加筋圓柱殼無序局域化因子的基礎(chǔ)上，開展了無序局域化因子影響規(guī)律的研究。針對(duì)不等間距加筋圓柱殼實(shí)例的數(shù)值分析表明，利用不等間距加筋配置來實(shí)現(xiàn)圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)局域化控制具有可行性，所采取的無序局域化因子預(yù)報(bào)方法具有有效性。

關(guān)鍵詞： 結(jié)構(gòu)振動(dòng); 振動(dòng)衰減; 加筋圓柱殼; 無序結(jié)構(gòu); 局域化

中圖分類號(hào)： O327; U661.44; V214.3+6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A? ? 文章編號(hào)： 1004-4523（2021）03-0592-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.03.017

引? 言

加筋圓柱殼是工程結(jié)構(gòu)中廣泛使用的結(jié)構(gòu)形式，如：潛艇耐壓殼結(jié)構(gòu)、飛機(jī)艙室結(jié)構(gòu)等。傳統(tǒng)的加筋圓柱殼采用環(huán)向筋沿圓柱殼軸向等間距布置，具有周期性結(jié)構(gòu)特征：相鄰的兩個(gè)加強(qiáng)筋之間的部分沿圓柱殼軸向周期復(fù)制，因此，結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制領(lǐng)域通常關(guān)注等間距加筋圓柱殼的振動(dòng)特性[1?5]。當(dāng)加強(qiáng)筋間距為隨機(jī)分布時(shí)，原結(jié)構(gòu)成為無序非周期結(jié)構(gòu)，即不等間距加筋圓柱殼。不等間距加筋圓柱殼是本文研究的重點(diǎn)。

有限長(zhǎng)等間距加筋圓柱殼振動(dòng)的典型特性是具有“模態(tài)聚集”現(xiàn)象[4]：圓柱殼的自然頻率聚集在某些頻帶，這些頻帶稱為“通頻帶”，圓柱殼受激振動(dòng)時(shí)，整體振動(dòng)的峰值頻率聚集于通頻帶，通頻帶模態(tài)密度大;通頻帶之間為“止頻帶”，模態(tài)密度小，整體振動(dòng)能量小?！澳B(tài)聚集”現(xiàn)象是周期結(jié)構(gòu)振動(dòng)的典型特征[5?8]，解釋為[9]：由于加強(qiáng)筋處存在阻抗的不一致，兩個(gè)加強(qiáng)筋之間的部分可能形成局部模態(tài)。在通頻帶，局部模態(tài)將沿圓柱殼軸向自由無衰減傳播，形成模態(tài)傳導(dǎo)波;在止頻帶，模態(tài)傳導(dǎo)波只能沿殼體軸向呈指數(shù)衰減傳播。在有限長(zhǎng)等間距加筋圓柱殼中，模態(tài)傳導(dǎo)波傳播時(shí)會(huì)在邊界反射，特定頻率下，傳導(dǎo)波和反射波波長(zhǎng)同圓柱殼長(zhǎng)度滿足相協(xié)條件，從而可疊加形成模態(tài)和自然頻率。由于模態(tài)傳導(dǎo)波僅能在通頻帶自由無衰減傳播，因此有限長(zhǎng)等間距加筋圓柱殼的自然頻率將聚集在通頻帶。從振動(dòng)控制角度看，應(yīng)當(dāng)盡可能使激振頻率處于止頻帶，此時(shí)振動(dòng)能量因不能遠(yuǎn)距離傳播而被局限于振源附近，即振動(dòng)被“局域化”。

當(dāng)加強(qiáng)筋采取不等間距布置時(shí)，結(jié)構(gòu)將不存在嚴(yán)格意義的通頻帶[10]：在所有頻帶內(nèi)，振動(dòng)傳遞隨傳播距離的增加而呈指數(shù)衰減，表現(xiàn)為振動(dòng)局域化特征。振動(dòng)局域化效應(yīng)是無序非周期結(jié)構(gòu)的典型特征，它與波在無序結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)散射相關(guān)：由于無序結(jié)構(gòu)的單元屬性具有隨機(jī)、無序分布特征，因而模態(tài)傳導(dǎo)波在傳播過程中會(huì)產(chǎn)生無序散射，即使在通頻帶，能量也會(huì)因反射作用而被限制于激振源附近。從振動(dòng)波形的空間分布上看，結(jié)構(gòu)無序性所帶來的振動(dòng)局域化效果類似于結(jié)構(gòu)中因存在阻尼而形成的振動(dòng)局域化效果，但無序局域化并非由能量耗散引起，因而結(jié)構(gòu)無序化設(shè)計(jì)是一種通過結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)控制振動(dòng)傳播的措施。不等間距加筋是無序結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的典型案例，開展不等間距加筋圓柱殼的振動(dòng)局域化研究對(duì)工程振動(dòng)控制設(shè)計(jì)具有重要的意義。

無序局域化現(xiàn)象首次由Anderson在研究電子傳播規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)[11]，在晶體中摻入雜質(zhì)后，電子傳播能力下降。Hodges等利用無限耦合振子鏈和帶振子的無限弦鏈模型證實(shí)在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域中也存在無序局域化效應(yīng)[10，12]。無序結(jié)構(gòu)所導(dǎo)致的振動(dòng)局域化程度可采用局域化因子定量表述，它定量給出了傳播量沿傳播方向的指數(shù)衰減率[10，12?14]。

Hodges等[12]采取量級(jí)展開的方法給出了局域化因子的近似表達(dá)式，表明局域化因子同耦合?無序度之比相關(guān)。Pierre等針對(duì)有限彈簧振子耦合擺模型從模態(tài)分析層面解釋了無序結(jié)構(gòu)所導(dǎo)致的振動(dòng)局域化效應(yīng)，說明了振動(dòng)局域化效應(yīng)在模態(tài)上體現(xiàn)為局部模態(tài)，并給出了振動(dòng)強(qiáng)局域化發(fā)生的條件[15?18]。在理論分析方法上，這些文獻(xiàn)多采用波動(dòng)分析法，因?yàn)檫@些模型都是一維波傳播模型，動(dòng)力學(xué)表達(dá)比較簡(jiǎn)單，容易通過解析分析并定量給出局域化因子，從而判斷無序局域化的發(fā)生。為針對(duì)加筋板、殼模型這類二維振動(dòng)問題開展無序局域化研究，Photiadis采取“將二維振動(dòng)問題分解為在一個(gè)方向的振動(dòng)模式沿另一個(gè)方向傳播”的分析方式實(shí)現(xiàn)“降維”[19?20]。由于板、殼結(jié)構(gòu)控制方程較彈簧振子鏈、梁模型更為復(fù)雜，因此Photiadis的主要工作量在于理論推導(dǎo)和工程近似表達(dá)上，結(jié)果表明，板、殼結(jié)構(gòu)模型同彈簧振子耦合擺模型等一維波傳播模型的控制方程具有類比性。

在試驗(yàn)研究方面，典型的例子包括：Hodges等[12]開展了具有帶質(zhì)量的張緊弦受激振動(dòng)試驗(yàn)，測(cè)量了周期質(zhì)量分布和無序質(zhì)量分布系統(tǒng)中振動(dòng)的衰減因子，證實(shí)了質(zhì)量無序分布將導(dǎo)致振動(dòng)局域化。Bouzit等[21]利用多跨梁激振試驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了局域化在無序結(jié)構(gòu)中的可發(fā)生性。Photiadis等采用聲全息技術(shù)（NAH）測(cè)量了等間距和不等間距加筋圓柱殼的受激振動(dòng)場(chǎng)，并通過波形分析與參數(shù)辨識(shí)技術(shù)給出了不等間距加筋模型的局域化因子，結(jié)果表明不等間距加筋模型的局域化因子明顯大于等間距加筋模型的局域化因子，證實(shí)了局域化主要來源于無序加強(qiáng)筋布置[22]。試驗(yàn)研究的主要困難在于如何有效分離阻尼對(duì)無序局域化的干擾。

本文將針對(duì)以常規(guī)潛艇耐壓殼為原型結(jié)構(gòu)的有限長(zhǎng)加筋圓柱殼開展振動(dòng)無序局域化研究，重點(diǎn)獲取不等間距加筋圓柱殼振動(dòng)的無序局域化因子，并以此為基礎(chǔ)開展無序局域化因子的影響規(guī)律研究。為定量預(yù)報(bào)不等間距模型的無序局域化因子，對(duì)加筋圓柱殼開展了有限元分析和波數(shù)分析，為獲取等效耦合振子鏈參數(shù)，將加筋圓柱殼的徑向振動(dòng)等效為耦合振子鏈振動(dòng);基于圓柱殼彎曲波動(dòng)理論和統(tǒng)計(jì)理論給出等效的耦合振子鏈無序程度參數(shù);最后利用耦合振子鏈的無序局域化因子理論公式預(yù)報(bào)不等間距加筋圓柱殼模型的無序局域化因子。由于所采用的有限元技術(shù)、波數(shù)分析技術(shù)均為成熟技術(shù)，因而能規(guī)避針對(duì)加筋圓柱殼進(jìn)行復(fù)雜解析分析的困難，對(duì)類似問題的工程化應(yīng)用具有指導(dǎo)意義。本文的分析基于數(shù)值仿真模型給出，可有效排除試驗(yàn)分析中阻尼對(duì)無序局域化的干擾，有關(guān)結(jié)論可為實(shí)際工程結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制設(shè)計(jì)提供支撐。

1 耦合振子鏈的無序局域化因子

耦合振子鏈的無序局域化因子將用于支撐對(duì)加筋圓柱殼的無序局域化因子預(yù)報(bào)。耦合振子鏈如圖1所示，當(dāng)耦合彈簧剛度kc=0時(shí)，系統(tǒng)退化為系列獨(dú)立解耦的彈簧振子系統(tǒng)，各振子的質(zhì)量均為m，第i個(gè)振子的對(duì)地彈簧剛度為ki=ks+εi，εi是小參數(shù)，代表了各對(duì)地彈簧剛度在平均剛度ks基礎(chǔ)上的擾動(dòng)值。當(dāng)耦合彈簧剛度kc≠0時(shí)，整個(gè)耦合系統(tǒng)的動(dòng)力關(guān)系可表達(dá)為遞歸形式[23]

式中? xi代表第i個(gè)振子質(zhì)量的位移復(fù)數(shù)幅值，ω為圓頻率，i為振子序號(hào)索引，i∈（-∞，+∞），Xi=（xi-1，xi）T（上標(biāo)“T”代表求轉(zhuǎn)置）表征了第i個(gè)單元的狀態(tài)，它由第i-1個(gè)振子和第i個(gè)振子的位移復(fù)數(shù)幅值共同表征，第i個(gè)單元的狀態(tài)通過狀態(tài)傳遞矩陣Ti變換為第i+1個(gè)單元的狀態(tài)。

文獻(xiàn)[23?25]對(duì)該問題進(jìn)行了深入研究，主要結(jié)論為：

當(dāng)各對(duì)地彈簧剛度ki相同，即εi=0，ki=ks時(shí)，系統(tǒng)是周期系統(tǒng)，此時(shí)，當(dāng)圓頻率ω處于通頻帶內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)對(duì)輸入的能量能以不衰減的波的形式沿系統(tǒng)傳播，其中波數(shù)k和圓頻率ω滿足色散關(guān)系

若對(duì)地彈簧剛度受到不規(guī)則擾動(dòng)，即i≠0，則系統(tǒng)是無序非周期系統(tǒng)，此時(shí)系統(tǒng)對(duì)輸入的能量將以指數(shù)衰減形式沿系統(tǒng)傳播。記第1個(gè)振子的能量為B1，傳播至第N個(gè)振子時(shí)的能量為BN，則

式中? γN稱為局域化因子，它反映了非周期無序系統(tǒng)相鄰單元對(duì)輸入能量的平均指數(shù)衰減率。針對(duì)N→∞情形，文獻(xiàn)[23?25]給出了局域化因子的近似表達(dá)式

式中? 是各獨(dú)立解耦彈簧振子的固有頻率。對(duì)于非周期無序系統(tǒng)，服從均勻概率分布，概率密度函數(shù)為

式中? D為的散布范圍，是的標(biāo)準(zhǔn)方差。式（6）說明，無序局域化因子同耦合系數(shù)V，及（或D）相關(guān)。

2 加筋圓柱殼模型與耦合振子鏈模型的參數(shù)等效

本節(jié)將針對(duì)不等間距加筋圓柱殼的徑向振動(dòng)進(jìn)行局域化因子預(yù)報(bào)，給出利用耦合振子鏈局域化因子公式（6）預(yù)報(bào)加筋圓柱殼局域化因子的方法，為此，需要給出加筋圓柱殼同耦合振子鏈等效的參數(shù)V，及。

2.1 加筋圓柱殼模型

加筋圓柱殼模型如圖2所示。圓柱殼主尺度、板厚、環(huán)向加強(qiáng)筋及后續(xù)預(yù)報(bào)中使用的材料參數(shù)如表1所示。

對(duì)等間距加筋圓柱殼，加強(qiáng)筋沿殼體軸向等間距布置，相鄰加強(qiáng)筋間距a為常數(shù)，記作，=0.6 m。對(duì)不等間距加筋圓柱殼，加強(qiáng)筋總數(shù)不變，但每個(gè)加強(qiáng)筋的軸向位置將受不規(guī)則擾動(dòng)而布置，擾動(dòng)量服從均勻概率分布，第r個(gè)加強(qiáng)筋軸向具體位置xr滿足概率密度函數(shù)

式中? P（xr）是隨機(jī)變量xr的概率密度函數(shù)，Δx為輸入?yún)?shù)，反映了加強(qiáng)筋受不規(guī)則擾動(dòng)的程度。由于每個(gè)加強(qiáng)筋位置xr是隨機(jī)變量，因此相鄰加強(qiáng)筋間距也是隨機(jī)變量，文獻(xiàn)[22]證明，隨機(jī)變量a的均值仍為，標(biāo)準(zhǔn)方差為。

為開展等間距和不等間距加筋圓柱殼振動(dòng)局域化分析，都需對(duì)模型激振。后續(xù)有限元計(jì)算中，激振力以徑向、簡(jiǎn)諧點(diǎn)力方式在圓柱殼中部（第50號(hào)加強(qiáng)筋處）激振，圓柱殼自由懸浮，如圖2所示。通過變換不同的激振頻率參數(shù)，可以獲得不同激振頻率的結(jié)果。

2.2 等間距加筋圓柱殼模型振動(dòng)參數(shù)的等效

首先針對(duì)等間距加筋圓柱殼模型進(jìn)行激振頻率響應(yīng)有限元分析，可獲得圓柱殼的徑向振動(dòng)速度場(chǎng)，記作v（?，x，f），為圓柱殼軸向位置x、周向位置?和頻率f的函數(shù)。

徑向速度場(chǎng)將用于波數(shù)分析。波數(shù)分析技術(shù)的基本思路是[2?3]：對(duì)每一頻率f=ω/（2π），將圓柱殼的徑向振動(dòng)場(chǎng)分解為系列行進(jìn)波疊加，用公式表示為

式中? 和給出了各行進(jìn)波分量的復(fù)數(shù)幅值，每一分量的頻率、軸向波數(shù)、周向模式和對(duì)稱模式由f，kx，n和上標(biāo)“cos”、“sin”表示。和具體計(jì)算為

則W（n，kx，f）為頻率f下，有截面周向模式n和軸向波數(shù)kx的行進(jìn)波分量所具有的振動(dòng)能量。若將W（n，kx，f）對(duì)kx積分

則En（f）給出了給定頻率f下圓柱殼截面以周向模式n振動(dòng)的總能量。此外，還可給出“給定周向振動(dòng)模式n下的截面振動(dòng)能量沿軸向的分布”，表達(dá)式為

利用W（n，kx，f）可針對(duì)各離散的n繪制“行進(jìn)波分量振動(dòng)能量?軸向波數(shù)?頻率”色譜圖（即Wn?kx?f色譜圖），利用該色譜圖可給出等間距加筋圓柱殼的色散曲線，反映截面以n模式振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)能量沿軸向傳播的頻率特性。

圖3是針對(duì)n=5時(shí)給出的Wn?kx?f色譜圖，圖中具有因振動(dòng)能量較大而呈現(xiàn)的“亮色曲線”，這些曲線即為圓柱殼截面以n=5模式振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)能量沿軸向傳播的色散曲線。“亮色曲線”來源于共振，與殼體模態(tài)和自然頻率相關(guān)。文獻(xiàn)[9]表明，當(dāng)有限媒質(zhì)中的自由行進(jìn)波在邊界反射并滿足協(xié)調(diào)條件時(shí)，將會(huì)形成模態(tài)和自然頻率現(xiàn)象，由于自由行進(jìn)波的傳播必需滿足色散關(guān)系，因此，圖3中的“亮色曲線”對(duì)應(yīng)于色散曲線。對(duì)加筋圓柱殼，只有在通頻帶才具有自由行進(jìn)波，所以由“亮色曲線”反映的色散曲線給出了通頻帶范圍。

通常對(duì)給定周向模式，色散曲線不止一根，說明圓柱殼具有多個(gè)通頻帶，它來源于相鄰加強(qiáng)筋之間殼體的不同軸向振動(dòng)模式，如圖3所示，這類似于周期多跨梁中的波傳遞特性[26]。

利用色散曲線可獲得加筋圓柱殼的等效耦合振子鏈振動(dòng)參數(shù)：將加筋圓柱殼的某一根色散曲線視作等效耦合振子鏈的色散曲線，利用式（2）可辨識(shí)給出等效的V和參數(shù)。對(duì)某一具體通頻帶，若其上、下限頻率為ω+=2πf+和ω-=2πf-，則相應(yīng)的等效參數(shù)為：

式中? Δω=ω+-ω-（或Δf=f+-f-）為通頻帶的帶寬。該做法稱之為單通帶假定[22] ，其本質(zhì)是將加筋圓柱殼在不同通頻帶的振動(dòng)分別等效為耦合振子鏈的振動(dòng)，加筋圓柱殼的通頻帶中心頻率即為解耦彈簧振子的固有頻率，等效耦合度與通頻帶帶寬和通頻帶中心頻率相關(guān)。

為保證參數(shù)等效的操作精度，還將給出“圓柱殼截面以周向模式n振動(dòng)的總能量隨頻率的變化”曲線（即En?f曲線）。圖4給出了當(dāng)n=5時(shí)的En?f曲線，從該曲線可更清晰地判斷通頻帶的中心頻率和通頻帶帶寬。

2.3 不等間距加筋圓柱殼模型振動(dòng)參數(shù)等效與局域化因子預(yù)報(bào)

當(dāng)圓柱殼加強(qiáng)筋軸向位置受不規(guī)則擾動(dòng)布置時(shí)，不等間距加筋圓柱殼成為非周期無序系統(tǒng)。后續(xù)將結(jié)合圓柱殼彎曲波動(dòng)理論進(jìn)一步獲得等效耦合振子鏈模型的，進(jìn)而利用式（6）預(yù)報(bào)給定周向模式下的軸向傳播波局域化因子。

將相鄰加強(qiáng)筋間的部分等效為彈簧振子單元，對(duì)本文所選取參數(shù)的圓柱殼模型，可以合理假定解耦單元的固有頻率是加強(qiáng)筋間距的單值函數(shù)

其中，最后兩個(gè)“≈”利用了ωi（a）和在平均間距處的泰勒展開近似。

為求dω0/da，首先利用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法給出

為求dkx/da，假定在特定的通頻帶內(nèi)，軸向波在一個(gè)加強(qiáng)筋間距a內(nèi)傳播的相位變化為常數(shù)C，即kxa=C，則

dω0/dkx是圓柱殼中沿軸向的群速度分量cgx，它與圓柱殼中螺旋波群速度cgh的關(guān)系為[9]：cgx=cghcosθ，θ是螺旋波與軸向的夾角（螺旋角）;圓柱殼螺旋波群速度與相速度的關(guān)系為[9]：cgh=2cph=2ω0/kh，cph是圓柱殼螺旋波相速度，kh為圓柱殼螺旋波彎曲波數(shù)，kh與軸向波數(shù)kx的關(guān)系為[9]：kx=khcosθ;以上關(guān)系可以給出

可見，局域化因子與通頻帶中心頻率ω0（或f0）、通頻帶帶寬Δω（或Δf）、加強(qiáng)筋布置的不規(guī)則程度和激振頻率ω（或f）等參數(shù)相關(guān)。它是通過統(tǒng)計(jì)理論給出的結(jié)果，反映了具有相同統(tǒng)計(jì)參數(shù)的、大量不等間距加強(qiáng)筋圓柱殼模型的平均衰減規(guī)律，給出了用于局域化振動(dòng)控制的圓柱殼加筋布置設(shè)計(jì)方向。

3 不等間距加筋圓柱殼的局域化因子預(yù)報(bào)結(jié)果與規(guī)律分析

為了定量給出局域化因子，針對(duì)以圖1模型為基礎(chǔ)生成的、具有不同加強(qiáng)筋布置參數(shù)的不等間距加筋圓柱殼進(jìn)行了局域化因子預(yù)報(bào)。

首先針對(duì)等間距加筋圓柱殼模型進(jìn)行參數(shù)等效。為獲取波數(shù)頻率譜，以1 Hz為步長(zhǎng)，針對(duì)2?1200 Hz進(jìn)行了等間距加筋圓柱殼的激振頻率響應(yīng)有限元分析，然后進(jìn)行波數(shù)分析，分別針對(duì)n=0，1，…，30階周向模式給出Wn?kx?f色譜圖和En?f曲線，用于識(shí)別色散曲線，進(jìn)而利用式（14）獲得各通頻帶等效參數(shù)和V。圖5和6分別給出了典型周向模式下的Wn?kx?f色譜圖和與之對(duì)應(yīng)的En?f曲線。由圖可見，當(dāng)n較大時(shí)，不同通帶的區(qū)分度更為鮮明，這是由于n較大的振動(dòng)具有更高的模態(tài)聚集度。

在獲得各通頻帶等效參數(shù)V和（或）后，分別以給定的加強(qiáng)筋布置不規(guī)則程度參數(shù)為輸入，利用式（24）進(jìn)行局域化因子預(yù)報(bào)。圖7給出了n=20時(shí)，的局域化因子在第Ⅰ，Ⅱ通頻帶隨頻率變化的曲線，利用該圖可直接由周向模式n和頻率f讀取對(duì)應(yīng)的局域化因子值。由圖可見，在特定的通頻帶，局域化因子隨頻率變化不大;在不同通頻帶，局域化因子數(shù)值不同，更高頻率的通頻帶局域化因子具有更大值，即圓柱殼給定模式的截面振動(dòng)沿軸向衰減更快，局域化效應(yīng)更顯著。

圖8給出了當(dāng)n=20時(shí)，在第Ⅰ，Ⅱ通頻帶中，對(duì)局域化因子的影響規(guī)律：局域化因子由它在各通頻帶的平均值給出，圖中以曲線的形式給出了5%，10%，20%，40%的“通頻帶平均局域化因子”。由圖可見，無論在哪個(gè)通頻帶，越大將導(dǎo)致“通頻帶平均局域化因子”越大。

圖9給出了“通頻帶平均局域化因子”隨周向模式n的變化規(guī)律。圖中以散點(diǎn)的形式給出了當(dāng)10%時(shí)、各周向模式下的通頻帶平均局域化因子。對(duì)給定的周向模式n，可能會(huì)存在多個(gè)通頻帶，因此會(huì)具有多個(gè)不同的“通頻帶平均局域化因子”。文獻(xiàn)[20，22]曾得出結(jié)論：高階周向振動(dòng)模式容易產(chǎn)生更為顯著的局域化效應(yīng)，該結(jié)論可從圖9的結(jié)果得以驗(yàn)證：隨著周向模式n的增加，通頻帶平均局域化因子通常更大。該結(jié)論結(jié)合公式（6）可以間接說明，圓柱加筋單元之間的相對(duì)耦合強(qiáng)度是隨周向模式n的增加而降低的。

4 不等間距加筋圓柱殼的局域化效果驗(yàn)證

為驗(yàn)證不等間距加筋布置帶來的振動(dòng)局域化效果，以不同的為參數(shù)建立了不等間距加筋圓柱殼模型實(shí)例，對(duì)之進(jìn)行了振動(dòng)分析，并與等間距加筋圓柱殼模型的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。參數(shù)分別為5%，10%，20%和40%，具體實(shí)例的加強(qiáng)筋位置可在等間距模型的基礎(chǔ)上利用基于式（8）的隨機(jī)函數(shù)程序給出。

圖10給出了當(dāng)周向模式n=25時(shí)，等間距與不等間距模型的色譜圖。由圖可見，在激振源截面處（第50號(hào)加強(qiáng)筋位置處）的振動(dòng)能量最大。對(duì)等間距模型（即），當(dāng)激振頻率在通頻帶時(shí)，振動(dòng)能量可傳遞至整個(gè)殼體，從而在云圖中形成“亮帶”，亮帶的寬度即為通頻帶帶寬。對(duì)不等間距模型，不等間距加強(qiáng)筋布置導(dǎo)致了通頻帶局域化特征，該特征隨著值的增大而表現(xiàn)更為顯著。圖11對(duì)比了周向振動(dòng)模式n=25、激振頻率為590 Hz時(shí)的振動(dòng)能量軸向分布曲線和理論衰減線。由圖可見，理論衰減線是傾斜直線，斜率即為局域化因子值。采用有限元模型給出的振動(dòng)能量軸向分布曲線具有空間震蕩特征，但理論衰減線依然能很好地描述振動(dòng)能量沿軸向的衰減規(guī)律。

5 結(jié)? 論

本文以加筋圓柱殼為研究對(duì)象，給出了預(yù)報(bào)不等間距加筋圓柱殼振動(dòng)局域化因子的方法，開展了不等間距加筋圓柱殼的局域化因子規(guī)律研究，驗(yàn)證了預(yù)報(bào)方法的正確性。具體結(jié)論如下：

1.采用有限元分析結(jié)合波數(shù)分解技術(shù)獲得等間距加筋圓柱殼振動(dòng)的色散曲線，采用參數(shù)等效手段將加筋圓柱殼的振動(dòng)參數(shù)等效為耦合振子鏈的振動(dòng)參數(shù)，基于圓柱殼彎曲波動(dòng)理論和統(tǒng)計(jì)理論給出不等間距加筋圓柱殼的無序度參數(shù)，進(jìn)而利用耦合振子鏈模型的局域化因子公式預(yù)報(bào)給出不等間距加筋圓柱殼的振動(dòng)局域化因子。該方法有效規(guī)避了對(duì)加筋圓柱殼模型進(jìn)行復(fù)雜的解析分析，實(shí)現(xiàn)了對(duì)加筋圓柱殼開展無序局域化定量分析的工程化應(yīng)用。

2.對(duì)不等間距加筋圓柱殼局域化因子的預(yù)報(bào)結(jié)果分析表明：無序局域化因子的數(shù)值在特定的通頻帶內(nèi)隨頻率變化不大，近似為常數(shù);不同通頻帶的局域化因子數(shù)值不同，更高頻率的通頻帶所對(duì)應(yīng)的局域化因子具有更大值;局域化因子同加強(qiáng)筋布置的不規(guī)則程度相關(guān)，越不規(guī)則將導(dǎo)致“通頻帶平均局域化因子”越大;周向模式階數(shù)越高，將導(dǎo)致局域化因子越大。

3.通過不等間距加強(qiáng)筋圓柱殼的實(shí)例分析證實(shí)了“采用不等間距加強(qiáng)筋設(shè)計(jì)來實(shí)現(xiàn)加筋圓柱殼振動(dòng)局域化”的可行性，驗(yàn)證了本文所采取的局域化預(yù)報(bào)方法和所得規(guī)則的正確性。

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳美霞，張? 聰，鄧乃旗，等.波傳播法求解低頻激勵(lì)下水中加端板圓柱殼的振動(dòng)[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2014， 27（6）： 842-851.

Chen Mei-xia， Zhang Cong， Deng Nai-qi， et al. Analysis of the low frequency vibration of a submerged cylindrical shell with end plates based on wave propagation approach[J].? Journal of Vibration Engineering， 2014， 27（6）： 842-851.

[2] 譚? 路， 紀(jì)? 剛， 周其斗，等. 結(jié)構(gòu)等間距布置對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)性能的影響[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2017， 30（4）： 603-609.

Tan Lu， Ji Gang， Zhou Qidou， et al. Influence of periodic arrangement of structures on structural vibration characteristics of cylindrical shell[J]. Journal of Vibration Engineering， 2017， 30（4）： 603-609.

[3] 譚? 路， 紀(jì)? 剛， 張緯康， 等. 采用波數(shù)域方法分析細(xì)長(zhǎng)柱殼的振動(dòng)與聲輻射特性[J]. 海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)， 2013， 25（3）： 66-71.

Tan Lu， Ji Gang， Zhang Wei-kang， et al. Sender cylindrical vibration and radiation by use of wave-number domain approach[J]. Journal of Naval University of Engineering， 2013， 25（3）： 66-71.

[4] Laulagnet B， Guyader J L. Sound radiation by finite cylindrical ring stiffened shells[J]. Journal of Sound and Vibration， 1990， 138（2）： 173-191.

[5] Skelton E A， James J H. Theoretical Acoustics of Underwater Structures?[M]. London： Imperial College Press， 1997.

[6] Mead D J. Wave propagation and natural modes in periodic systems： Ⅰ. Mono-coupled systems[J]. Journal of Sound and Vibration， 1975， 40（1）： 1-18.

[7] Mead D J. Wave propagation and natural modes in periodic systems： Ⅱ. Multi-coupled systems， with and without damping[J]. Journal of Sound and Vibration， 1975， 40（1）： 19-39.

[8] Mead D J. A new method of analyzing wave propagation in periodic structures： Applications to periodic Timoshenko beams and stiffened plates?[J]. Journal of Sound and Vibration， 1986， 104（1）： 9-27.

[9] Fahy F， Gardonio P. Sound and Structural Vibration： Radiation， Transmission and Response[M]. UK： Elsevier， 2007.

[10] Hodges C H， Woodhouse J. Confinement of vibration by structural irregularity[J]. Journal of Sound and Vibration， 1982， 82（3）： 411-424.

[11] Anderson P W. Absence of diffusion in certain random lattices[J]. Physical Review， 1958，109（5）： 1492-1505.

[12] Hodges C H， Woodhouse J. Vibration isolation from irregularity in a nearly periodic structure： Theory and measurements[J]. The Journal of the Acoustical Society of America， 1983， 74（3）： 894-905.

[13] Hodges C H， Woodhouse J. Confinement of vibration by one-dimensional disorder， Ⅰ： Theory of ensemble averaging[J]. Journal of Sound and Vibration， 1989， 130（2）： 237-251.

[14] Hodges C H， Woodhouse J. Confinement of vibration by one-dimensional disorder， Ⅱ： A numerical experiment on different ensemble averages?[J]. Journal of Sound and Vibration， 1989， 130（2）： 253-268.

[15] Pierre C， Dowell E H. Localization of vibrations by structural irregularity?[J]. Journal of Sound and Vibration， 1987， 114（3）： 549-564.

[16] Pierre C. Mode localization and eigenvalue loci veering phenomena in disordered structures?[J]. Journal of Sound and Vibration， 1988， 126（3）： 485-502.

[17] Pierre C， Chaf P D. Strong mode localization in nearly periodic disordered structures?[J]. AIAA Journal， 1989， 27（2）： 227-241.

[18] Bouzit D， Pierre C. Vibration confinement phenomena in disordered， mono-coupled， multi-span beams?[J]. Journal of Vibration and Acoustics， 1992， 114（4）： 521-530.

[19] Photiadis D M. Anderson localization of one-dimensional wave propagation on a fluid-loaded plate[J]. The Journal of the Acoustical Society of America， 1992， 91（2）： 771-780.

[20] Photiadis D M. Localization of helical flexural waves by irregularity[J]. The Journal of the Acoustical Society of America， 1994， 96（4）： 2291-2301.

[21] Bouzit D， Pierre C. An experimental investigation of vibration localization in disordered multi-span beams[J] Journal of Sound and Vibration，1995，187（4）：649-669.

[22] Photiadis D M， Houston B H. Anderson localization of vibration on a framed cylindrical shell[J]. ?The Journal of the Acoustical Society of America，1999，106（3）：1377-1391.

[23] Kissel G J. Localization in disordered periodic structures[D]. Cambridge： Massachusetts Institute of Technology， 1988.

[24] Furstenberg H. Noncommuting random products?[J]. Transactions of the American Mathematical Society， 1963， 108（3）： 377-428.

[25] Herbert D C， Jones R. Localized states in disordered systems[J]. Journal of Physics C： Solid State Physics， 1971， 4： 1145-1161.

[26] Bansal A S. Free waves in periodically disordered systems： Natural and bounding frequencies of unsymmetric systems and normal mode localization?[J]. Journal of Sound and Vibration，1997，207（3）：365-382.

作者簡(jiǎn)介： 紀(jì)? 剛（1975-），男，副研究員。電話：（027）65461152; E-mail： 909092586@qq.com