借助教材例、習題為學生搭建數(shù)學認知“小階梯”

楊周榮麟

教材是學生的學習之本，也是教師教學首先需要研究與討論的主要內(nèi)容.我們知道，教材中每一節(jié)課的例題與習題設計一定都承載著教學示范功能，是考查學生學習能力、應用所學知識實踐的主要載體，也是體現(xiàn)教學中滲透數(shù)學學科培養(yǎng)目標與核心素養(yǎng)的主要依據(jù).因此，教師對每節(jié)課教材配置的例題和習題都應該進行認真研究，以學生的具體學情為基石，借助這些題目為學生學習、應用新知搭建認知“小階梯”，讓他們快樂地學習、積極地獲取.在這里筆者以北師大版《數(shù)學》九年級上冊第四章第七節(jié)“相似三角形的性質(zhì)（第1課時）”為例談談如何借助教材例、習題為學生搭建認知“小階梯”.

縱觀第四章，學生已經(jīng)有了成比例線段、平行線分線段成比例、相似多邊形、相似三角形的定義與三種判定方法的知識儲備，可以類比幾何學習方法進行相似三角形性質(zhì)的研究.教材在章節(jié)前明確提出三方面的學習目標：了解相似三角形的性質(zhì)，進一步提高推理能力，并利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題.因此，在課程設計時，應落實學習目標.第七節(jié)的重點是相似三角形性質(zhì)定理的應用，即在學習新知后，需要通過例題與習題的設計配合，讓學生明確三個應用技能：一是了解相似指兩個圖形間的數(shù)量關系，與其所在位置無關;二是明確相似三角形的對應高、對應角平分線、對應中線之比都可以相互得到，并且它們有一個重要的橋梁聯(lián)系是相似比，任意一組對應邊之比都可以得到相似比;三是學生需要從基本文字語言熟悉性質(zhì)，再學會由幾何直觀找到圖形中線段的關系，應用性質(zhì)解題并滲透到實際問題中，抽象出數(shù)學模型，打開應用的鎖.

一、利用習題，為學生由文字語言向幾何直觀認知過渡搭建“小階梯”

針對本節(jié)課學習重點，在講解了相似三角形性質(zhì)定理后，筆者首先借助教材第107頁隨堂練習的檢測標準，進行變式，讓學生體會完全的文字表述，目的在于使其熟悉相似三角形性質(zhì)定理的基本內(nèi)容與4個幾何量之間數(shù)量關系的相互轉(zhuǎn)換，為學生認識新知搭建“小階梯”.

第一階段全文字表述習題訓練：

以上五題，沒有任何計算難度，學生可以很快得到答案，并且通過反復的知識點串聯(lián)，進一步強化對相似三角形性質(zhì)定理基本知識點的理解和掌握.在基礎落實后，筆者再讓學生做教材中第107頁隨堂練習兩個題目及第108頁習題4.11知識技能第1題.這三道題的難度與應用程度相對之前的5個題大一些，學生的認知“小階梯”便搭建完成.否則，按照教材中的設計，直接進入符號語言線段成比例表示部分，學生是根本沒有辦法轉(zhuǎn)化為相似比認知的.這樣有坡度的設計，可使學生輕松愉快地掌握知識.

第二階段難度提升習題訓練：

2.兩個相似三角形一組對應角平分線的長分別是2 cm和5 cm，則這兩個三角形的相似比是? ?;在這兩個三角形的一組對應中線中，若較短的中線是3 cm，則較長的中線是? ?.（教材第108頁隨堂練習2）

3.△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它們的對應角平分線，已知AD=8 cm，A′D′=3 cm，則△ABC與△A′B′C′對應高的比是? ?.（教材第108頁習題4.11知識技能1）

二、分解例題，為學生幾何直觀應用性質(zhì)定理搭建“小階梯”

本節(jié)課例題，教材第107頁：

例1存在以下三個方面的難點：

1.本節(jié)課學生接觸的第一個幾何圖形過于復雜，會使他們產(chǎn)生畏難情緒，不利于后續(xù)教學的開展.

2.學生需進行小三角形高的證明、相似的證明才能應用到本節(jié)課重點知識，前面知識點障礙設置太冗長.

3.學生對于所求線段的認知，無法直觀轉(zhuǎn)化為對應線段之比.

針對以上學情難點，筆者對例題進行了分解，首先由學習目標指導——重視實際應用，把題目投射到學校建筑選修課中，然后拆分例題圖形，使其轉(zhuǎn)化為兩個相似的三角形.

變式1：學校趣味建筑選修課學習建構(gòu)相似模型，現(xiàn)有△ABC∽△HSR，已知AB=4 dm，HS=2 dm，△HSR底邊SR上的高HE=1.5 dm，求△ABC對應高AD的長度.

教學目的：1.圖形簡單，學生容易直接應用相似三角形性質(zhì)定理。2.為教材例題做好兩個三角形相似的知識準備.3.將以上兩個圖形進行平移后就是原例題，再次強調(diào)相似是圖形間的數(shù)量關系，與其位置無關，為后面介入平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的圖形變換作鋪墊.

變式2：如圖3所示，△ABC∽△ASR，AE是△ASR的高，AD是△ABC的高.

分解例題搭建“小階梯”后，學生便可以更清晰地認識這個相對有些復雜的圖形.教師再滲透從特殊到一般的思想，學生便會借助直觀模型，建立數(shù)感.

三、變式例題，結(jié)合習題，為學生實際應用性質(zhì)定理搭建“小階梯”

例題拆分講解時，我們始終貫穿一個思想認識——相似是圖形間的數(shù)量關系，與其所在位置無關.在例題中只體現(xiàn)了平移的圖形運用，故筆者結(jié)合教材第108頁習題4.11問題解決2，通過變式3為學生實際應用性質(zhì)定理搭建“小階梯”.

變式3：如圖4，在例1基礎上△ASR繞點A順時針旋轉(zhuǎn)180°.

若再將此圖整體旋轉(zhuǎn)180°，便得到了習題的抽象解題模型（如實際應用）.為學生搭建了從實際問題中抽象數(shù)學模型從而解題的“小階梯”.

實際應用（教材第108頁習題4.11問題解決2）：如圖5，小強自制了一個小孔成像裝置，其中紙筒的長度為15 cm.他準備了一支長為20 cm的蠟燭，想要得到高度為5 cm的像，蠟燭應放在距離紙筒多遠的地方？

四、通過例題變式，滲透經(jīng)典模型，為激發(fā)學生探索興趣搭建“小階梯”

由例題的變式與習題實際應用，學生會明確地感知相似是圖形間的數(shù)量關系，與其所在位置無關，并且可以很好地辨識圖形中的對應線段，進行相似三角形性質(zhì)定理的應用.故在這里，筆者為學生展示了相似三角形性質(zhì)的應用的經(jīng)典題型，作為學生的課后挑戰(zhàn)，激發(fā)學生的探索興趣.

課外提升：在課堂例1的基礎上，我們對原圖形再次進行變式探究，過點S作SP⊥BC于點P，過點R作RQ⊥BC于點Q.

（1）證明四邊形SPQR是矩形;

（2）若矩形的長是寬的2倍，BC=21，AD=14，求矩形SPQR的面積.

教材是學之本，也是教之本，我們應立足教材，針對不同學情，設計讓學生愛學、樂思的教學環(huán)節(jié)，借助例、習題的鋪墊、拆解、變式、結(jié)合，幫助學生搭建屬于自己的快樂學習數(shù)學的“小階梯”，讓以學生為主體的課堂更加生機勃勃！

責任編輯 邱 艷