“等號(hào)”意義文獻(xiàn)考察

代婧宇　郜舒竹

【摘要】小學(xué)生常將“=”視為操作性的符號(hào)，缺乏對(duì)其關(guān)系性的認(rèn)識(shí)。經(jīng)過(guò)文獻(xiàn)考察得知，等號(hào)具有多樣的意義且它們之間存在聯(lián)系。研究者從“關(guān)系”的角度對(duì)等號(hào)的多樣意義進(jìn)行分析與歸類(lèi)，澄清等號(hào)在不同情境下的不同意義，并探討“關(guān)系”思維的拓展應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】等號(hào);等式;方程;等價(jià)關(guān)系

等號(hào)（=）是一個(gè)簡(jiǎn)潔的、明晰的、人人熟知的數(shù)學(xué)符號(hào)，任何一個(gè)等式中都有它的存在，如1=1，1+1=2，y=x+1，等等。按道理，教師和學(xué)生都應(yīng)該非常熟悉等號(hào)的意義。然而，部分學(xué)生、教師對(duì)等號(hào)（=）的理解存在片面性，誤以為它只具有單方面“運(yùn)算”的意義而沒(méi)有等價(jià)、相等關(guān)系的意義。

一、操作性認(rèn)識(shí)

等式是使用等號(hào)表示兩個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式呈等價(jià)、相等關(guān)系的數(shù)學(xué)陳述，其中，等號(hào)當(dāng)屬最重要的符號(hào)之一。小學(xué)生在一年級(jí)學(xué)習(xí)等號(hào)（=）概念時(shí)，它被定義為“等于”，如4=4，讀作4等于4。到了四、五年級(jí)，小學(xué)生學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易方程（含有未知數(shù)的等式），教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生總是將未知數(shù)單獨(dú)寫(xiě)在等號(hào)的右邊去尋求答案。例如，在做這道看圖列式題（見(jiàn)圖1）時(shí)，有學(xué)生列出來(lái)的方程是這樣的：（126-98）÷3=x。可以發(fā)現(xiàn)，這種方程的形式與“1+1=2”這類(lèi)等號(hào)左邊是表達(dá)式、右邊是答案的算術(shù)式高度相似，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，它屬于一種“算術(shù)式方程”。小學(xué)生沿用了之前的經(jīng)驗(yàn)，書(shū)寫(xiě)方程采用特殊的形式：左邊有兩個(gè)或者多個(gè)項(xiàng)，右邊是結(jié)果，中間是一個(gè)連接符號(hào)——等號(hào)。方程也被學(xué)生視為算術(shù)問(wèn)題，他們賦予等號(hào)操作性的解釋?zhuān)训忍?hào)看作一種求得算術(shù)結(jié)果的標(biāo)志物。

“將等號(hào)看作一種算術(shù)運(yùn)算的操作性符號(hào)，而不是代表等價(jià)關(guān)系的符號(hào)”這一觀(guān)點(diǎn)與麥克尼爾（Nicole M.McNeil）和阿里巴里（Martha W.Alibali）在2005年研究中得出的三到五年級(jí)學(xué)生對(duì)等號(hào)的定義的認(rèn)識(shí)是一致的。許多學(xué)生將等式中等號(hào)前所有的數(shù)字相加求答案，看到“=”就聯(lián)想到“總數(shù)”或“寫(xiě)答案”。?？思{（Falkner）等人在研究一至六年級(jí)學(xué)生對(duì)等式“8+4=□+5”的求解后得出結(jié)論，學(xué)生提供的答案相當(dāng)于將等號(hào)理解為“求結(jié)果”，再次表明了學(xué)生所持的“等號(hào)是操作性符號(hào)”的觀(guān)點(diǎn)。事實(shí)上，等號(hào)表示的是表達(dá)式雙方的等價(jià)、相等關(guān)系。那么，為什么學(xué)生會(huì)產(chǎn)生“等號(hào)是操作性符號(hào)”的誤解呢？

綜合來(lái)看，學(xué)生產(chǎn)生這一誤解的原因主要有兩種。第一種，“將等號(hào)視為操作性符號(hào)”的觀(guān)點(diǎn)是小學(xué)生早期算術(shù)訓(xùn)練的產(chǎn)物，他們難以在不同情境下靈活運(yùn)用等號(hào)。第二種，學(xué)生甚至不少數(shù)學(xué)教師對(duì)等號(hào)的意義了解不夠，對(duì)等號(hào)的概念產(chǎn)生誤解，缺乏對(duì)等號(hào)關(guān)系性意義的認(rèn)識(shí)。如果教師意識(shí)到方程中的等號(hào)表示等價(jià)的關(guān)系，那么困難便迎刃而解。

從古至今，數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)生了一系列的演變才被最終確定，等號(hào)并不只有“算術(shù)運(yùn)算結(jié)果”這一操作性意義。為此，就需要對(duì)歷史上等號(hào)意義的多樣性有所認(rèn)識(shí)。

二、意義多樣

20世紀(jì)之前，人們認(rèn)為等號(hào)擁有五種不同的意義。1591年，弗朗西斯（Franeis Vieta）用等號(hào)表示算術(shù)差（arithmetical difference），作為兩個(gè)自然數(shù)相減之后的差的符號(hào);1638年，笛卡爾（Rene Des-cartes）在《幾何》中用“=”表示加號(hào)或減號(hào)，即“±”，等號(hào)就相當(dāng)于現(xiàn)在的“+”或“一”;約翰（Johann Car-amuel）使用“=”作為小數(shù)的分界線(xiàn)，如“102=857”相當(dāng)于現(xiàn)在的“102.857”;1706年，帕里修斯（G.H.Paricius）把“=”“：”和“-”作為通用符號(hào)用于分隔解決算術(shù)問(wèn)題過(guò)程中出現(xiàn)的數(shù)字;迪洛朗（Dulaurens）和賴(lài)厄（Reyher）用“=”表示平行線(xiàn)（現(xiàn)在用“‖”），這也造成了當(dāng)時(shí)代數(shù)語(yǔ)言的混亂。最終，等號(hào)被確定為表示相等關(guān)系的符號(hào)，在數(shù)學(xué)中被普遍采用。

進(jìn)入20世紀(jì)以后，萊特（G.S.Light）在1980年提出了等號(hào)的六種不同的相等意義。第一種是有條件的數(shù)字上的相等（conditionally numericallyequal），比如3x-2=7x-6，只有當(dāng)x=1時(shí)，等式才成立，再如x²+4y²-4x+8r+8=0，此等式出現(xiàn)了兩個(gè)條件，只有當(dāng)x=2、y=-1時(shí)，等式才成立。第二種是無(wú)條件的數(shù)字上的相等（unconditionally numerically equal）。第三種是完全相似（exact similar），萊特認(rèn)為世界上沒(méi)有完全相似的兩種東西。第四種是相同（identical），萊特希望“相同”只具有下面這種語(yǔ)句的含義：昨晚在廚房里跑來(lái)跑去的老鼠和今天早上在陷阱里的老鼠一模一樣，這區(qū)別于“完全相似”。第五種是等價(jià)（equivalent），比如：1元=1元，在等號(hào)的交換性和等價(jià)性的基礎(chǔ)上，一張舊的1元紙幣和一張新的1元紙幣是等價(jià)的，盡管它們的顏色、外觀(guān)和序列號(hào)都不一樣。最后一種，等號(hào)還可以表示“是”的意思，有些等式中的“=”可以用符號(hào)“→”代替，可以翻譯為“成為”，也可以解釋為“執(zhí)行左邊運(yùn)算的結(jié)果是右邊的表達(dá)式”。

1983年，弗賴(lài)登塔爾（H.Freudenthal）斷言，在數(shù)學(xué)中，相等符號(hào)的使用通常是一個(gè)定義問(wèn)題，例如代數(shù)表達(dá)式：①x²+2x+1=（x+1）²;②x²+2x+1=0。在第①種情況下，等號(hào)意味著所有x的值都是相等的，而在第②種情況下，它意味著等式中的x只有一個(gè)值。同年，巴魯?shù)希ˋrthur J.Baroody）和金斯伯格（Herbert P.Ginsburg）提出了多種觀(guān)點(diǎn)共存的可能性，消除“等號(hào)”的操作觀(guān)是不可能也是不可取的，應(yīng)該拓寬對(duì)相等的看法，使之包含一種關(guān)系的意義。保羅（Paul Shoecraft）在1989年提出“等號(hào)”意味著“和……一樣（is the same as）”，應(yīng)該把等式中的“等號(hào)”解釋為一個(gè)關(guān)系，用于比較兩個(gè)實(shí)體。例如在8=3+5中，8和3+5是一樣的。他還建議教師使用蹺蹺板、盤(pán)式天平、數(shù)學(xué)天平等幫助學(xué)生理解此意義。1998年，在保羅的這一觀(guān)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，一些研究人員試圖塑造孩子們遇到等號(hào)的話(huà)語(yǔ)情境，例如采用相同的語(yǔ)言，將等號(hào)讀作“是和……一樣的”。2004年，麗貝卡（Rebecea L.Mann）提出，教師應(yīng)該幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到等號(hào)是代表等價(jià)和平衡的符號(hào)，在教學(xué)過(guò)程中引入了蹺蹺板和平衡標(biāo)尺等幫助學(xué)生理解。2006年，心理學(xué)家麥克尼爾（Nicole M.McNeil）得出研究結(jié)論：把等號(hào)解釋成一個(gè)信號(hào)來(lái)執(zhí)行它之前的運(yùn)算，學(xué)生把“等號(hào)”視為“位置指示符”。瓊斯（Ian Jones）和普拉特（Dave Pratt）在2012年認(rèn)為學(xué)生應(yīng)該使用等號(hào)的“關(guān)系意義”和“替換意義”這兩種不同的意義來(lái)解決算術(shù)難題。等號(hào)左邊的內(nèi)容可以被等號(hào)右邊的內(nèi)容替換掉，在方程中也可由數(shù)值代替未知數(shù)。

喬治（George Boggs）等研究人員還考慮到“=”在數(shù)學(xué)以外的環(huán)境（特別是社交、媒體和廣告場(chǎng)景）中的意義。以不同的語(yǔ)言和文化為背景，人們通過(guò)概念整合使用“等號(hào)”。從隱喻的角度來(lái)看，如果源域是數(shù)學(xué)領(lǐng)域，那么可以映射的目標(biāo)域就包括結(jié)果、價(jià)值、狀態(tài)等等。

第一，“‘加的結(jié)果”。通常指兩個(gè)或多個(gè)輸入條件結(jié)合，共同產(chǎn)生某種結(jié)果或后果。比如“1%的靈感+99%的汗水=成功”，在這種語(yǔ)句中，可以將“等號(hào)”的意思推斷為收益、結(jié)果或原因。其中，加數(shù)被映射為活動(dòng)，加法或加號(hào)（+）被映射為連接詞“和”等，等號(hào)（=）就被映射為合并兩個(gè)或多個(gè)活動(dòng)的結(jié)果，而不是加法計(jì)算，等式的右邊給出的不是加法的“和”，而是事件的結(jié)果和后果。

第二，“簡(jiǎn)單的結(jié)果”。在這種語(yǔ)句中，不需要使用“+”或其他運(yùn)算符號(hào)就能表示因果關(guān)系或邏輯關(guān)系，如“少休息=多回報(bào)”“工作=賺錢(qián)”，其中，可以用箭頭“→”代替等號(hào)“=”。這種語(yǔ)句中都有一個(gè)明確或暗含的因果關(guān)系來(lái)表達(dá)實(shí)體間的關(guān)系，實(shí)體的情況、現(xiàn)象等分布在等號(hào)的左右兩邊。另外，這種語(yǔ)句也隱喻了等號(hào)的運(yùn)算意義，問(wèn)題在等號(hào)左邊，答案和結(jié)果在等號(hào)右邊。

第三，“定義和描述形式”。比如“No=不可以”，等號(hào)表示等價(jià)。雖然語(yǔ)種不同，但英文中“No”表達(dá)的意思和中文里“不可以”的意思是等價(jià)的。

第四，“評(píng)估、狀態(tài)和價(jià)值形式”。比如“豬=肥胖/貪吃/懶”，等號(hào)所傳達(dá)的相關(guān)狀態(tài)、價(jià)值、形式等只是為了表達(dá)某物或某事的狀態(tài)、價(jià)值、形式。這些類(lèi)別和例子說(shuō)明等號(hào)可以與語(yǔ)境匹配出多個(gè)適當(dāng)意義，不同背景中事物之間的相似或不同之處說(shuō)明了等號(hào)意義的細(xì)微差別。

綜上所述，等號(hào)（=）具有多種不同的意義。如何在眾多意義中恰當(dāng)選擇，使等號(hào)適用于不同情境，值得進(jìn)一步思考。

三、等價(jià)關(guān)系

“關(guān)系”就是把雙方甚至是多方連接、聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行認(rèn)知的過(guò)程，是從事物之間的相互聯(lián)系中觀(guān)察和分析各種現(xiàn)象并揭示其屬性以及發(fā)展規(guī)律的一種思維方式?！?”屬于基本符號(hào)中的關(guān)系符號(hào)，理解等號(hào)的關(guān)系性意義與關(guān)系思維有關(guān)，學(xué)生可以通過(guò)專(zhuān)注于等式或方程中數(shù)字之間的關(guān)系來(lái)解決數(shù)字語(yǔ)句而不是執(zhí)行所有計(jì)算。如何利用“關(guān)系”的思維方式理解等號(hào)的多樣意義以便于人們使用呢？在此，通過(guò)總結(jié)前人研究，筆者從“關(guān)系”的角度理解等號(hào)所代表的意義，將其分為兩大類(lèi)：操作性意義和互換性意義。

小學(xué)生計(jì)算通常采用操作運(yùn)算形式，等號(hào)左邊是執(zhí)行運(yùn)算，右邊是要得到答案的地方;在“‘加的結(jié)果”和“簡(jiǎn)單的結(jié)果”語(yǔ)句中，不管左邊擁有幾個(gè)活動(dòng)和事件，右邊都包含了現(xiàn)實(shí)世界的活動(dòng)及其后果。這是因?yàn)槭褂昧藬?shù)學(xué)中的算術(shù)運(yùn)算模板，引用了等號(hào)（=）的操作結(jié)果意義。學(xué)生將等號(hào)定義為運(yùn)算結(jié)果可能是通過(guò)描述行為過(guò)程，根據(jù)行為結(jié)果來(lái)給符號(hào)定一個(gè)概念。因此，可以將各種情境下等號(hào)用來(lái)傳達(dá)結(jié)果的意義統(tǒng)稱(chēng)為等號(hào)的“操作性意義”。

等號(hào)（=）的操作性意義意味著“在這里寫(xiě)下答案”，是作為“做某事”的符號(hào)，表達(dá)了“答案是……”“找到總數(shù)”的意思，可理解為執(zhí)行出現(xiàn)在等號(hào)左側(cè)的操作的“命令”，或者視為從左到右執(zhí)行計(jì)算的信息。學(xué)生只需要操作這些數(shù)字就能得到答案。小學(xué)生普遍采用的操作形式是表達(dá)式=數(shù)，即a+b=c。這是他們對(duì)于等號(hào)最基礎(chǔ)的理解，具有嚴(yán)格的操作性。他們只會(huì)在等號(hào)的左邊進(jìn)行操作，嚴(yán)格遵循“a+b=c”這樣的形式進(jìn)行計(jì)算。等號(hào)的操作性意義多見(jiàn)于算術(shù)中，在小學(xué)生眼中，他們相對(duì)熟悉等號(hào)的這個(gè)意義。然而，等號(hào)還具有非操作性的意義。

等號(hào)一般在等式中出現(xiàn)，它維持著等式兩邊表達(dá)式的等價(jià)關(guān)系。數(shù)學(xué)之外，“定義和描述形式”“評(píng)估、狀態(tài)和價(jià)值形式”等語(yǔ)句都生動(dòng)地描述了多種不同事物之間的關(guān)系，等號(hào)連接著的事物雙方在一定語(yǔ)義背景下是等價(jià)的。比如一張舊的1元紙幣和一張新的1元紙幣等價(jià)，工作和掙錢(qián)等價(jià)……不管是數(shù)學(xué)領(lǐng)域之內(nèi)還是數(shù)學(xué)領(lǐng)域之外，本質(zhì)上都采用了等號(hào)的一種特殊用法和意義，在不同事物間建立左邊表達(dá)（式）等價(jià)于右邊表達(dá)（式）的聯(lián)系，描述了對(duì)象之間在一定程度上的相同性或互換性。這里，將此等號(hào)意義統(tǒng)稱(chēng)為等號(hào)的“互換性意義”。等號(hào)的“互換性意義”說(shuō)明兩個(gè)對(duì)象間可以互換（對(duì)稱(chēng)），一個(gè)對(duì)象可以和自身互換（自反），對(duì)象間還可以進(jìn)行傳遞互換。

等價(jià)，強(qiáng)調(diào)的是一種關(guān)系，在數(shù)學(xué)中表示等號(hào)兩邊的表達(dá)式有相同的值，這其中還含有平衡（bal-ante）的觀(guān)點(diǎn)。等號(hào)兩邊的值相同，不僅指等號(hào)兩邊是相同的數(shù)，還包括等號(hào)兩邊看起來(lái)很不一樣，是不同的組合，但看似不同的組合，數(shù)量可能仍然具有同等的價(jià)值。比如：2+3=4+1。從感官上看，等號(hào)兩邊的數(shù)字是不一樣的;從意義上來(lái)看，聯(lián)想到涉身活動(dòng)，2+3表示的意思可以是一個(gè)箱子中原來(lái)有2個(gè)蘋(píng)果，后來(lái)又放進(jìn)去了3個(gè)蘋(píng)果，而4+1表示的意思是一個(gè)箱子中原來(lái)有4個(gè)蘋(píng)果，后來(lái)又放進(jìn)去了1個(gè)蘋(píng)果，2+3和4+1這兩個(gè)式子所代表的意義也不一樣。但是若把兩個(gè)式子聯(lián)系起來(lái)，從這些不同中尋找相同就會(huì)發(fā)現(xiàn)，2+3的計(jì)算結(jié)果是5，4+1的結(jié)果也是5，兩個(gè)式子在數(shù)值上相同，等價(jià)關(guān)系就成立了。

互換，指等號(hào)沒(méi)有左右之分，等號(hào)兩邊的內(nèi)容彼此可以互相交換。如，2+3=4+1可以寫(xiě)成4+1=2+3，二者意義不變。

等號(hào)還能與變量一起用來(lái)描述或表達(dá)關(guān)于數(shù)字之間關(guān)系的事實(shí)。比如：3x+3=4x+2。根據(jù)等式的性質(zhì)可以得出x等于1，當(dāng)x=1時(shí)，等式中看似不同的兩個(gè)表達(dá)式構(gòu)成等價(jià)關(guān)系，使得等號(hào)左邊表達(dá)式的值和等號(hào)右邊表達(dá)式的值一樣。學(xué)生對(duì)于“等號(hào)”的等價(jià)關(guān)系觀(guān)，是學(xué)習(xí)方程的基礎(chǔ)。理解等價(jià)性要求理解等號(hào)兩邊的表達(dá)式的值是相同的，學(xué)生要能夠從不同的兩件或多件事實(shí)中尋找相同的部分去建立等價(jià)關(guān)系。

處于掌握等號(hào)互換性意義水平的學(xué)生，能夠在等號(hào)的右邊進(jìn)行操作或者不操作，能理解“c=a+b或a=a”的形式，具有靈活的操作性觀(guān)點(diǎn)。比如說(shuō)計(jì)算21+30，可以知道21=20+1、20+1=1+20、20+30=50、50+1=51，由這幾個(gè)算式的等號(hào)左右兩邊進(jìn)行替換得出，21+30=51。在方程中，數(shù)值和未知數(shù)可相互替換。比如，將i²=-1理解為替換規(guī)則，即在所有方程中i²都可以被-1替換，反過(guò)來(lái)也是一樣，在所有方程中-1都可以被i²替換。學(xué)生在掌握“a+b=c”之后，又進(jìn)一步習(xí)得了“c=d+e”，根據(jù)替換原則能夠得出“a+b=d+e”的基本等價(jià)關(guān)系形式。掌握等號(hào)的互換性意義是小學(xué)高年級(jí)學(xué)生運(yùn)用等價(jià)關(guān)系處理方程和不等式的基礎(chǔ)。

事實(shí)上，以“關(guān)系”的眼光來(lái)看，等號(hào)的操作性意義同樣屬于一種關(guān)系性意義，它暗示了等號(hào)兩邊的因果關(guān)系。如1+1=2，因?yàn)橛?+1，所以有了2。

總的來(lái)說(shuō)，等號(hào)的操作性意義和互換性意義同為等號(hào)的關(guān)系性意義，前者暗示了等號(hào)兩邊的因果關(guān)系，后者突出了等號(hào)兩邊的等價(jià)關(guān)系。

四、關(guān)系思維

因果關(guān)系，是前一個(gè)事件（即“因”）和后一個(gè)事件（即“果”）之間的作用關(guān)系，其中后一事件被認(rèn)為是前一事件的結(jié)果。一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)事件是很多原因綜合產(chǎn)生的結(jié)果，而且原因都發(fā)生在較早時(shí)間點(diǎn)，而該事件又可以成為其他事件的原因。等價(jià)關(guān)系，描述的是兩個(gè)事件或?qū)ο笤谝欢ǔ潭壬系南嗤?，它們之間是自反的、對(duì)稱(chēng)的、傳遞的。等號(hào)的操作性意義在語(yǔ)句中所暗示的等號(hào)前后的因果關(guān)系是有先后順序的，“因”在前，“果”在后。然而，等號(hào)的互換性意義所暗示的等號(hào)兩邊的等價(jià)關(guān)系是不區(qū)分先后和左右的?；Q性意義比操作性意義更進(jìn)一步詮釋了等號(hào)。因此，等號(hào)的操作性意義和互換性意義這兩個(gè)屬概念，雖都包含在關(guān)系性意義這個(gè)種概念之下，但“操作性”和“互換性”呈并列不相容的關(guān)系（如圖2）。

等號(hào)的操作性意義和互換性意義在多數(shù)情況下是共同應(yīng)用的（如圖3）。

1+1的運(yùn)算結(jié)果是2（因?yàn)橛?+1，所以有2），2+0的運(yùn)算結(jié)果是2（因?yàn)橛?+0，所以有2），0+2的運(yùn)算結(jié)果是2（因?yàn)橛?+2，所以有2），2=2（自反），所以2+0=0+2，經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)交換，0+2=2+0、0+2=2，所以2=2+0，1+1和2+0的值相同，所以1+1=2+0，顯示了等價(jià)關(guān)系的傳遞性。

在小學(xué)階段，等號(hào)通常以在等式的末尾，后面只有一個(gè)數(shù)的形式出現(xiàn)。對(duì)于只含有數(shù)的“a+b=□”形式的式子，例如2+5=7，學(xué)生認(rèn)為等號(hào)充當(dāng)?shù)氖恰拔恢弥甘痉保ú僮餍砸饬x），這種想法是正確的。但是，對(duì)于等號(hào)兩邊都含有數(shù)的等式和含有未知數(shù)的等式（方程）來(lái)說(shuō)，等號(hào)充當(dāng)互換性符號(hào)的角色，只看重等號(hào)的操作性意義是不夠的。等式中，等號(hào)兩邊的表達(dá)式的值相等，滿(mǎn)足等價(jià)關(guān)系，等號(hào)就不能只是在等式的末尾出現(xiàn)?；氐轿恼麻_(kāi)頭，根據(jù)學(xué)生所列出的（126-98）÷3=x這樣的“算術(shù)式方程”，可以明確學(xué)生并沒(méi)有接受“等號(hào)”由操作性到互換性的角色轉(zhuǎn)變，沒(méi)有靈活運(yùn)用等號(hào)的不同意義，式子中的等號(hào)還只是充當(dāng)運(yùn)算符號(hào)，所列式子當(dāng)然是不準(zhǔn)確的。事實(shí)上，把x放在等號(hào)末端沒(méi)有實(shí)質(zhì)性意義。

小學(xué)數(shù)學(xué)教師要想傳授等號(hào)的等價(jià)關(guān)系意義，首先要做的就是培養(yǎng)學(xué)生關(guān)于等號(hào)的關(guān)系符號(hào)的意識(shí)。小小的等號(hào)不僅僅是一個(gè)指向運(yùn)算結(jié)果的操作符號(hào)，同時(shí)也是表達(dá)等價(jià)關(guān)系的符號(hào)，甚至更傾向于表達(dá)多方的等價(jià)關(guān)系。教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)向?qū)W生滲透等號(hào)的互換性意義，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到等號(hào)表示的是兩邊相等，而不只是指導(dǎo)他們計(jì)算結(jié)果和寫(xiě)答案。

不管是通過(guò)“關(guān)系”思維對(duì)“等號(hào)”的多樣意義進(jìn)行分析和歸類(lèi)，還是認(rèn)識(shí)“等號(hào)”的關(guān)系性意義，都分別進(jìn)行了同中求異、異中求同的思維過(guò)程。同中求異，從相同中看到不同;異中求同，從不同中識(shí)別相同。利用數(shù)學(xué)中與等號(hào)相關(guān)的知識(shí)發(fā)展“關(guān)系”思維，就可以發(fā)展學(xué)生異中求同、同中求異的能力。比如用“關(guān)系”看待“平行”這個(gè)詞語(yǔ)。據(jù)《新華漢語(yǔ)詞典（在線(xiàn)）》所記載，“平行”的基本解釋為：平面上兩條直線(xiàn)、空間的兩個(gè)平面或空間的一條直線(xiàn)與一平面之間不相交時(shí)的關(guān)系?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的“圖形與幾何”部分規(guī)定了“平行線(xiàn)”的概念：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果同位角相等，那么這兩條直線(xiàn)平行。在數(shù)學(xué)以外的語(yǔ)句中，也有平行思維，指從不同的方向?qū)で蠡ゲ桓蓴_、互不沖突的方法來(lái)解決問(wèn)題的思路。物理領(lǐng)域中還有平行宇宙，指從某個(gè)宇宙中分離出來(lái)，與原宇宙平行存在著的既相似又不同的其他宇宙。雖然“平行”所處的領(lǐng)域、語(yǔ)境、描述對(duì)象等都不一樣，但是，通過(guò)異中求同就可以發(fā)現(xiàn)，這些“平行”都有相同的特性：描述事物雙方之間互不相交，它們之間的關(guān)系是平行的。學(xué)生學(xué)習(xí)平行線(xiàn)段的記憶點(diǎn)不在于兩條線(xiàn)一模一樣，而在于不管兩條線(xiàn)的粗線(xiàn)、大小、長(zhǎng)短有多不一樣，只要它們永不相交，沒(méi)有公共點(diǎn)，那就滿(mǎn)足“平行”的條件，它與“相交”相對(duì)。凡此都體現(xiàn)出關(guān)系思維及其在數(shù)學(xué)理解中的重要性。