感悟量率關(guān)系　深刻認(rèn)識分率

劉兆偉

【摘要】學(xué)生在分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中由于不能厘清量率之間的關(guān)系，導(dǎo)致錯誤發(fā)生。在分析學(xué)生錯誤原因的基礎(chǔ)上，僅對教材例題中的問題進(jìn)行改編，并重新執(zhí)教，學(xué)生在練習(xí)時犯的類似錯誤就明顯減少。重構(gòu)后的開放性問題，可幫助學(xué)生深刻感悟量率之間的聯(lián)系與區(qū)別，并在此基礎(chǔ)上對分率形成準(zhǔn)確、清晰、深刻的認(rèn)識。

【關(guān)鍵詞】數(shù)量;分率;聯(lián)系

【案例呈現(xiàn)】

聽一位教師執(zhí)教“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）”單元中的《認(rèn)識一個整體的幾分之一》（蘇教版三年級下冊）一課，教師呈現(xiàn)教材中的一道習(xí)題：用分?jǐn)?shù)表示徐色部分（如圖1），請學(xué)生解答。課后，筆者對全班54名學(xué)生的解答情況做了統(tǒng)計，有26人填寫了正確答案1/4，有19人填寫了2/4，還有9人填寫了2/8（根據(jù)以往的教學(xué)觀察也發(fā)現(xiàn)，較多學(xué)生在做這題循證教學(xué)采取“四位一體”多元監(jiān)控的模式，即自我監(jiān)控、教師監(jiān)控、家長監(jiān)控、同學(xué)監(jiān)控。具體表現(xiàn)為導(dǎo)學(xué)案回訪，它指在課堂學(xué)習(xí)結(jié)束后，學(xué)生對導(dǎo)學(xué)案進(jìn)行回訪，訂正前置學(xué)習(xí)中的錯題，由教師進(jìn)行二次批改，通過后在小組微信群里接龍（見圖5）。微信群里不僅有學(xué)生，也有家長和老師，能實時監(jiān)控學(xué)生的完成情況，并及時為學(xué)生提供適切的幫助。

“一題講解視頻”指的是學(xué)生把一道題的解題時出現(xiàn)上述錯誤）。學(xué)生的錯誤表明，他們對表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)并未形成清晰的認(rèn)識。

那么，為什么會有這么多的學(xué)生出現(xiàn)這樣的問思路、解題過程拍成視頻后與同學(xué)共享，為需要的學(xué)生提供支持和幫助。它符合陶行知的“小先生”制的理念，能讓更多學(xué)生受益;同時營造了同伴互助互學(xué)的氛圍，使整個班集體形成了學(xué)習(xí)共同體;它也符合“學(xué)習(xí)金字塔”理論，講給別人聽有利于講題人自身進(jìn)步。

循證教學(xué)是憑借證據(jù)實施教學(xué)，它能彌補傳統(tǒng)依據(jù)個體經(jīng)驗進(jìn)行教學(xué)實踐的偏失。循證教學(xué)是一種“先學(xué)后教”“以學(xué)定教”的教學(xué)模式，它以診斷思維為前提，以發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題為路徑，提高了教學(xué)的針對性，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。題呢？不妨回看這位教師的教學(xué)過程。

師（出示情境圖，如圖2）：每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？

把一盤桃平均分給2只小猴.每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？

生1：每只小猴分得這盤桃的1/2。

師：你是怎么想的？

生1：把一盤桃平均分成2份，每份就是這盤桃的1/2。

師（揭去方巾，如圖3）：現(xiàn)在每只小猴分得這盤桃的幾分之幾呢？

把一盤桃平均分給2只小猴.每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？

生2：每只小猴分得這盤桃的導(dǎo)3/6。

生3：每只小猴分得這盤桃的1/2。

師：到底哪種說法正確呢？請說說你的想法。

生4：我認(rèn)為生2的說法正確，因為每只小猴分得6個桃中的3個，所以每只小猴分得這盤桃的3/6。

生5：我覺得生3的說法正確，因為這6個桃還是一盤桃，平均分給2只小猴，每只小猴分得的還是這盤桃的1/2。

師：對！當(dāng)我們把這6個桃看成一個整體，平均分成2份，每份就是這個整體的1/2。如果盤里有4個桃、8個桃，你會表示這盤桃的1/2嗎？

教師請學(xué)生在練習(xí)紙上獨立解決、集體展示并講評（過程略）。

師：比較一下，盤里桃的總個數(shù)不一樣，每份桃的個數(shù)也不一樣，為什么都能用1/2表示？

生：因為都是把這盤桃平均分成2份，每只小猴都分得其中的1份，所以都能用1/2表示。

師：是??！不管盤里有多少個桃，只要把它們看成一個整體，平均分成2份，每份就是這個整體的1/2。

隨后，教師在教材例2及“試一試”的教學(xué)中，多次要求學(xué)生按照上述句式規(guī)范地表述一個整體的幾分之一。

【案例分析】

上述教學(xué)過程看似清晰，教師反復(fù)強調(diào)了部分與整體的關(guān)系。但為什么很多學(xué)生在獨立練習(xí)時，仍會受到具體數(shù)量的干擾而出現(xiàn)問題？可以從教材的編排、學(xué)生的已有認(rèn)知水平以及教師的教學(xué)行為等方面進(jìn)行分析。

（一）量率關(guān)系未厘清

一、二年級時，學(xué)生認(rèn)識的數(shù)都是表示具體數(shù)量的自然數(shù)。三年級上學(xué)期，他們在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）”時初次接觸到表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)。教材設(shè)計例題“把一個蛋糕平均分給兩個小朋友，每人分得多少”引入分?jǐn)?shù)，但“半個也就是二分之一個”與“把一個蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一”中的兩個1/2是不完全一樣的，前一個表示的是具體數(shù)量，后一個表示的是部分與整體之間的關(guān)系。

由表示部分?jǐn)?shù)量的分?jǐn)?shù)過渡到表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)，教材例題這樣設(shè)計在邏輯上沒有問題，但例題情境中在分蘋果和礦泉水這兩個物品時，每人分得的結(jié)果都是具體數(shù)量，學(xué)生自然認(rèn)為分蛋糕得到的結(jié)果也是具體數(shù)量，所以有不少學(xué)生對1/2的認(rèn)識并沒有實現(xiàn)由量到率的轉(zhuǎn)換。由于在一個物體或一個圖形的幾分之幾中，表示部分?jǐn)?shù)量的分?jǐn)?shù)與表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)在形式上是一致的，所以即使學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識停留在表示部分?jǐn)?shù)量的數(shù)上，在作業(yè)中也表現(xiàn)不出問題。而到了本節(jié)課，表示一份數(shù)量的數(shù)與表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)在形式上不一致了，學(xué)生未能厘清量率之間的關(guān)系，在獨立練習(xí)時問題便暴露出來了。

（二）回避數(shù)量何其難

量是具體的、可見的，率是抽象的、隱蔽的。量反映物體的多少，率反映不同量之間的倍比關(guān)系，量和率既有區(qū)別又緊密地聯(lián)系在一起。上述教學(xué)中，教師認(rèn)識到一份中的具體數(shù)量會給學(xué)生認(rèn)識“一個整體的幾分之一”帶來干擾，所以巧妙地設(shè)計了從“遮”到“揭”的教學(xué)過程，想要避免這種干擾，并且在后面的教學(xué)中，多次強化規(guī)范表達(dá)，以加深學(xué)生對表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，類似這樣的教學(xué)設(shè)計經(jīng)常見到。按照這樣的設(shè)計進(jìn)行教學(xué)，部分學(xué)生在揭開方巾后，能夠把6個桃看作一個整體，其他學(xué)生通過多次強化后，也能按照規(guī)范表述一個整體的幾分之一。但到了獨立練習(xí)時，仍然有不少學(xué)生因為受到一份中具體數(shù)量的干擾而出現(xiàn)問題?？梢?，在認(rèn)識表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)時，想要回避具體數(shù)量十分困難。

小學(xué)三年級學(xué)生對于表示具體數(shù)量的數(shù)是熟悉的，但對于表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)還是相對陌生的。如果教師直接將分率硬塞給學(xué)生，學(xué)生只能被動地記憶與模仿，不能對分率產(chǎn)生深刻的感悟與理解。因此，應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生從具體數(shù)量走向分率，并通過比較認(rèn)識到具體數(shù)量與分率之間的區(qū)別與聯(lián)系，從而將分率納入到已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，這樣學(xué)生才能對分率產(chǎn)生深刻的理解。

【教學(xué)重構(gòu)】

根據(jù)以上分析，對例1的教學(xué)進(jìn)行了重構(gòu)，并由同一位教師在另一個班重新執(zhí)教此課。過程如下。

師出示情境圖（如圖4），請學(xué)生回答。

把一盤桃平均分紿2只小猴，每只小猴分得多少？

生：要解決這個問題，還缺少條件。

師：你想補充什么條件來解決這個問題呢？

生：如果盤里有2個桃，每只小猴分得1個桃。

生：如果盤里有4個桃，每只小猴分得2個桃。

生：如果盤里有6個桃，每只小猴分得3個桃。

……

師：剛才大家補充的條件中，桃的個數(shù)都是雙數(shù)，如果盤里桃的個數(shù)是單數(shù)，該怎么回答呢？

生：如果盤里有1個桃，每只小猴分得半個桃。

生：如果盤里有3個桃，每只小猴分得1個半桃。

生：如果盤里有5個桃，每只小猴分得2個半桃。

……

師：剛才大家通過補充條件，解決了這個問題。因為盤里桃的個數(shù)不知道，所以這個問題有很多種回答。如果不補充條件，能回答這個問題嗎？（較長時間等待）

生：不能，因為如果不告訴我們盤里桃的個數(shù)，我們沒有辦法知道每只小猴分得多少。

生：我覺得能。可以這樣回答，每只小猴分得這

1盤桃的1/2（如圖5）。

生（疑惑）：能這樣回答嗎？

生：哦，我明白了！可以這樣回答。

師：你來說說看。

生：我們可以結(jié)合剛才的圖來看，如果盤里有1個桃，每只小猴分得的就是這盤桃的1/2，這是我們上學(xué)期學(xué)過的。

師：如果盤里有2個桃呢？

生：如果盤里有2個桃，每只小猴分得1個桃，1個桃是2個桃的一半，也就是這盤桃的一半，所以每只小猴分得的還是這盤桃的1/2。

師：如果盤里有3個桃呢？

……

生：哦，確實可以這樣回答。

師：如果盤里有更多的桃，每只小猴分得的還是這盤桃的1/2嗎？

生：不管盤里有多少個桃，只要平均分成2份，每份都是這盤桃的1/2。

師：每只小猴分得這盤桃的1/2。這樣回答與我們前面的回答相比，有什么不一樣？

生：一開始，我們想知道每只小猴分得多少個桃，但因為盤里桃的個數(shù)不知道，所以有很多種不同的回答，答案是不確定的。但不管哪種回答，每只小猴分得的桃的個數(shù)與這盤桃的個數(shù)的關(guān)系是不變的，都是這盤桃的1/2，這樣回答，答案就是確定的。

生：這樣回答概括了我們前面所有的回答。

……

隨后，教師按照先前的教學(xué)設(shè)計教學(xué)后面的內(nèi)容。學(xué)生獨立練習(xí)時，筆者再次對上述圖1中學(xué)生的作業(yè)情況進(jìn)行了統(tǒng)計，全班53名學(xué)生，有49人填寫了正確答案1/4，有2人填寫了2/4，還有2人填寫了專。與重構(gòu)前相比，學(xué)生做這道題的正確率高出了很多。

【案例反思】

上述案例中，執(zhí)教者沒有發(fā)生變化，整節(jié)課的教學(xué)流程也沒有發(fā)生變化，僅僅是改編了例題中的問題，為什么教學(xué)效果卻有如此大的變化呢？

（一）問題設(shè)計由封閉走向開放

教材例題中的問題是封閉的，只能用表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)來回答。由于小學(xué)三年級學(xué)生的思維方式以形象思維為主，他們在回答這個問題時必然會受到具體數(shù)量的干擾，此時教師會千方百計地將學(xué)生牽引到正確答案上來，導(dǎo)致學(xué)生只能被動地接受陌生的知識。而重構(gòu)后的問題是開放的，既可以用具體數(shù)量來回答，又可以用表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)來回答。這樣的問題符合學(xué)生的思維特征，學(xué)生在面對這個問題時，從最初用具體數(shù)量回答逐步過渡到用表示關(guān)系的分?jǐn)?shù)回答。開放性的問題不僅激活了學(xué)生的已有經(jīng)驗，而且給了學(xué)生認(rèn)識具體數(shù)量與分率之間聯(lián)系的機會。

（二）知識教學(xué)由孤立走向聯(lián)系

對于易混的、相互干擾的知識，如果教師只是孤立地進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生往往無法深刻理解知識的內(nèi)涵，容易產(chǎn)生認(rèn)知障礙。但如果教師能讓學(xué)生認(rèn)識到易混知識之間的區(qū)別與聯(lián)系，學(xué)生反而能夠?qū)⑺鼈儏^(qū)分開來，加深對這些知識的理解。重構(gòu)前的教學(xué)，側(cè)重于讓學(xué)生認(rèn)識表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)，所以在學(xué)生受到具體數(shù)量干擾時，教師都是通過規(guī)范表達(dá)來讓學(xué)生硬性接受。重構(gòu)后的教學(xué)，側(cè)重于讓學(xué)生在感悟量率之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，認(rèn)識并理解表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)。從學(xué)生的回答“每只小猴分得的桃的個數(shù)與這盤桃的個數(shù)的關(guān)系是不變的”“這樣回答概括了我們前面所有的回答”可以看出，他們已經(jīng)充分感悟到了量率之間的聯(lián)系，對表示關(guān)系的分?jǐn)?shù)已經(jīng)理解得比較深刻了。雖然重構(gòu)后在例1的教學(xué)上時間多花了一些，但由于學(xué)生對分率的理解比較深刻，后面的學(xué)習(xí)就進(jìn)行得十分順利，不需要教師多次強化規(guī)范表達(dá)，所以總的教學(xué)時間并沒有增加，教學(xué)效果卻比重構(gòu)前好很多。

數(shù)學(xué)中有很多易混的、相互關(guān)聯(lián)的知識，在教學(xué)這些知識時，孤立地進(jìn)行教學(xué)不是最好的辦法。教師需要正視易混知識之間的差別與聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生深入認(rèn)識這些知識各自的本質(zhì)以及它們之間的聯(lián)系，使學(xué)生對這些知識形成準(zhǔn)確的、清晰的、深刻的認(rèn)識。