化“靜”為“動(dòng)”：提升學(xué)生的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力

張超

[摘 要]與幾何圖形有關(guān)的動(dòng)態(tài)變化題已成為教學(xué)熱點(diǎn)之一，這類問題有助于培養(yǎng)學(xué)生的自主探索精神和創(chuàng)新意識。在“滾動(dòng)圓的周長和面積”教學(xué)中，利用轉(zhuǎn)化思想解決由靜態(tài)圓到動(dòng)態(tài)圓，圓的運(yùn)動(dòng)軌跡所形成的周長和面積這一類問題，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力。

[關(guān)鍵詞]滾動(dòng)圓;運(yùn)動(dòng)軌跡;轉(zhuǎn)化能力

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0078-02

轉(zhuǎn)化思想貫穿“空間與幾何”的教學(xué)過程，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，處處可尋到轉(zhuǎn)化思想的身影。如推導(dǎo)圓的面積公式時(shí)，可以通過對圓進(jìn)行割補(bǔ)、拼接，轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形，這就是運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將不熟悉的知識轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的知識，將新知與舊知聯(lián)系起來，從而加深理解。如何讓學(xué)生將轉(zhuǎn)化思想運(yùn)用到實(shí)際問題中呢？這是筆者一直在思考的問題。

下面筆者以“滾動(dòng)圓的周長和面積”教學(xué)為例，從學(xué)生的實(shí)際能力出發(fā)，談?wù)勅绾翁嵘龑W(xué)生的轉(zhuǎn)化思想。

一、化曲為直導(dǎo)入課堂，初步滲透轉(zhuǎn)化思想

新課程背景下的練習(xí)課，要深入研究課程標(biāo)準(zhǔn)、教材，落實(shí)“四基”要求，教師應(yīng)熟做每一道例題和習(xí)題，深入分析例題和習(xí)題所蘊(yùn)含的知識點(diǎn)，關(guān)注習(xí)題與例題的匹配性與關(guān)聯(lián)性，分析習(xí)題的難度。在設(shè)計(jì)題目的同時(shí)，充分考慮知識的形成線索和學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知線索，不能高于學(xué)生的實(shí)際能力，也不能是簡單的重復(fù)訓(xùn)練，而是要考慮到題目的層次性、可行性、全面性和發(fā)展性。

在復(fù)習(xí)導(dǎo)入環(huán)節(jié)，打破常規(guī)，不再直接給出圓的半徑或直徑來求圓的周長，而是告訴學(xué)生“有一個(gè)圓在長為12 cm的線段上恰好滾動(dòng)了一周”，這會(huì)勾起學(xué)生回憶。在教學(xué)圓的周長時(shí)，就是利用了“滾動(dòng)法”探究出圓的周長計(jì)算公式，同時(shí)滲透“化曲為直、化未知為已知”的思想，教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)不僅僅要學(xué)會(huì)計(jì)算，更要了解其中的數(shù)學(xué)思想。

解決完第一個(gè)問題之后，再看第二個(gè)問題：圓心走過的路程是多少？聰明的學(xué)生通過觀察就可以發(fā)現(xiàn)：圓從起點(diǎn)出發(fā)，滾動(dòng)一周到終點(diǎn)，圓心走過的路程恰好是這條線段的長度，也就是12 cm。通過這兩個(gè)問題，學(xué)生不再機(jī)械地套公式、代數(shù)據(jù)、算得數(shù)。這樣的導(dǎo)入環(huán)節(jié)能大大調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使之樂于開動(dòng)腦筋多思考，打開思維。

二、練習(xí)設(shè)計(jì)由淺入深，充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想

練習(xí)應(yīng)該要有系統(tǒng)性和層次性，要符合由易到難、由淺入深的規(guī)律，習(xí)題應(yīng)該少而精。在“滾動(dòng)圓的周長和面積”的練習(xí)課中，改變傳統(tǒng)的方式，以題組模式為主線，一步一步提升難度。

1.求同思變，探究圓心走過的路程

把圓在直線上滾動(dòng)轉(zhuǎn)到在一個(gè)平面圖形上滾動(dòng)，在滾動(dòng)過程中，有學(xué)生就發(fā)現(xiàn)：在平面圖形的邊上，圓還是沿直線滾動(dòng)，但是滾動(dòng)到角上時(shí)，圓不能再往前滾動(dòng)了，而是要“轉(zhuǎn)彎”，去另外一條邊上繼續(xù)滾動(dòng)，如此重復(fù)，直到回到起點(diǎn)才停下來不再滾動(dòng)。在這個(gè)過程中，圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡不再完全是直的了，而是在每個(gè)角上會(huì)形成一段弧線。學(xué)生再結(jié)合扇形的知識，便恍然大悟：原來在每個(gè)角上形成的弧線拼起來就是一個(gè)完整的圓;直邊加起來就是所繞圖形的周長。從而得出結(jié)論：圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡=圓的周長+所繞圖形的周長。把學(xué)生非常熟悉的“圓在直線上滾動(dòng)”轉(zhuǎn)變成“繞著平面圖形滾動(dòng)”，把不熟悉的運(yùn)動(dòng)軌跡轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的，問題也就迎刃而解了，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生求同思變的思維。

2.由線到面，掌握圓掃過的面積

題組二是在題組一的基礎(chǔ)上展開的，由于學(xué)生已經(jīng)有了題組一的練習(xí)經(jīng)驗(yàn)，有一定的空間觀念，可以先放手讓學(xué)生思考，猜一猜圓片掃過的是什么圖形？學(xué)生在腦海中形成動(dòng)圖的畫面，再畫出運(yùn)動(dòng)軌跡討論，嘗試得出結(jié)論。圓掃過的面積分成兩個(gè)部分，一部分在平面圖形直邊上形成的是長方形，長方形的長是該直邊的長度，寬是圓的直徑，所以形成的所有長方形的面積總和=平面圖形的周長×直徑;另一部分是在每個(gè)角上掃過形成的圖形都是扇形，由題組一知道，每個(gè)角上的扇形拼起來就是一個(gè)完整的圓。這樣的推理過程，既鍛煉了學(xué)生的空間想象能力和動(dòng)手操作能力，又培養(yǎng)了學(xué)生的概括能力和小組合作意識。

該組練習(xí)的模型與題組一的模型完全一致，題組一要研究的是圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡，連點(diǎn)成線，求周長;而題組二雖然是相同的模型，運(yùn)動(dòng)軌跡也都一致，但是要求的是面積。前后兩個(gè)題組緊緊銜接在一起，由點(diǎn)到線，由線到面，環(huán)環(huán)相扣，學(xué)生的思維也由淺入深。

三、追本溯源題組設(shè)計(jì)，初步形成反思意識

本節(jié)課適合在學(xué)生學(xué)完圓的周長和面積之后教學(xué)，進(jìn)行課后拓展。通過變式題，將圓繞不同封閉圖形外面滾動(dòng)時(shí)圓心走過的路程的計(jì)算方法進(jìn)行統(tǒng)一。在此基礎(chǔ)上，對比圓在長方形外滾動(dòng)和圓在長方形內(nèi)滾動(dòng)這兩種不同情況，提煉圓在長方形內(nèi)滾動(dòng)時(shí)圓心的經(jīng)過路線和圓掃過的面積的計(jì)算方法。

習(xí)題一方面是考查學(xué)生對周長和面積意義的理解，幫助學(xué)生鞏固圓的周長及面積的計(jì)算方法;另一方面是通過圖形形狀的變化與解決策略不變滲透思想方法，以及通過圖形形狀不變而圓的位置改變，引導(dǎo)學(xué)生找出圓在不同平面圖形外滾動(dòng)時(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)圓在同一個(gè)圖形內(nèi)外滾動(dòng)時(shí)的本質(zhì)區(qū)別。

教師在“滾動(dòng)圓的周長和面積”的教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)結(jié)合實(shí)際教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)生的已有知識出發(fā)，通過多種多樣的變式訓(xùn)練，不斷滲透并深化轉(zhuǎn)化思想，從而讓學(xué)生了解、掌握和運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展空間觀念，形成數(shù)學(xué)思維，提高轉(zhuǎn)化能力。

（責(zé)編 黃 露）