弄通小數(shù)乘法的理：從為什么越乘越小說起

郭慧

[摘 要]針對學生的小數(shù)乘除法運算正確率低的現(xiàn)象，以小數(shù)乘法教學為例，展現(xiàn)教學關鍵過程，分析引發(fā)學生錯誤的原因，提出溝通整數(shù)除法與小數(shù)除法算理的一致性，以及通過加強對小數(shù)意義的理解來促進學生對小數(shù)乘法算理的理解。

[關鍵詞]小數(shù)乘法;教學改進;運算一致性;算理算法

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0018-02

計算教學是小學數(shù)學教學的重要內(nèi)容，雖然課程改革后的小學數(shù)學的教學內(nèi)容比以前更豐富了，但計算依然是小學數(shù)學中比重較高的內(nèi)容之一。相對整數(shù)的四則運算來說，小數(shù)的四則運算對學生來說有一定難度，尤其是小數(shù)的乘除法。筆者曾選擇353名來自城市學校和農(nóng)村學校的學生，以所用教材（北師大版教材）上的8道小數(shù)除法練習題作為測試題，結(jié)果能做對8道題的學生僅占31.1%。怎樣才能提高小數(shù)乘除法運算的正確率？如果只是一味地增加練習題，可能短時間內(nèi)會有提高，但從素養(yǎng)本位、能力為重的數(shù)學教學要求來看，這只能提高運算的技巧或運算的技能，并沒有促進運算能力的提高以及數(shù)學素養(yǎng)的形成，顯然不是一種理想教學的選擇。那么，怎樣實現(xiàn)學生從技能到能力的轉(zhuǎn)變？本文將以“小數(shù)乘法”教學為例，談談怎樣讓學生既掌握算法，又弄通算理，從而提高理解能力和正確率。

一、教學現(xiàn)象再現(xiàn)

【教學片段1】四年級“小數(shù)乘法”第一課時

教師從整數(shù)乘法入手，依次給出4×2、40×2、400×2，引導學生觀察這些算式的特點，并說說它們之間的規(guī)律;然后出示0.4×2、0.04×2，讓學生思考后總結(jié)出“小數(shù)乘法可以先轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法進行計算”，進而讓學生思考：“積的變化規(guī)律在小數(shù)乘法中成立嗎？你能用什么方法驗證？”

學生反饋：

方法1：? 0.4×2，就是2個0.4相加，即0.4+0.4=0.8。同理，0.04×2=0.08。

方法2：利用面積模型理解（如下圖）。

從教學的整體情況來看，學生的學習都在教師的基本預設之中，進行得非常順利。然而面對練習題“3×0.5”時，有一個學生舉手提問：“不對呀，怎么會越乘越小呢？”

無獨有偶，“怎么越乘越小了”這句話讓筆者想起另一個課堂。

【教學片段2】四年級“積的小數(shù)位數(shù)與乘數(shù)小數(shù)位數(shù)的關系”（“小數(shù)乘法”第四課時）

教師先呈現(xiàn)一組信息“一張單人學生桌，長6分米、寬4分米，面積是多少平方米？”，然后請學生獨立思考解決，鼓勵學生用不同的方法。

生1：6 dm×4 dm=24 dm2=0.24 ㎡。

師：為什么24 dm2=0.24 ㎡？

生1：因為1 ㎡=100 dm2，24÷100=0.24（㎡）。

生2：6 dm=0.6 m，4 dm=0.4 m，0.6×0.4=2.4（㎡）。

（學生議論紛紛，有兩種聲音：0.6×0.4=2.4，0.6×0.4=0.24。原本很有信心的生2十分猶豫。）

生3（迫切地想表達自己的想法）：我有一個問題，0.6×0.4不可能是0.24，怎么會越乘越小呢？因此不可能是0.24。

二、透過現(xiàn)象，分析成因

如果在小數(shù)乘法的第一課時，學生的質(zhì)疑還是情有可原的話，那么在第四課時學生還提出“怎么會越乘越小的呢？”的疑問就讓筆者深思……

整數(shù)乘法的算理是基于“幾個幾相加”，也就是乘法是加法的簡便運算來理解的，即4×2是2個4相加，40×2是2個40相加。同理，出現(xiàn) 0.4×2時，學生自然而然想到是2個0.4相加。

學生已經(jīng)通過前期的學習建立了這樣的觀念：乘法運算是累加的計算;乘法運算的積是累加的結(jié)果，自然是越加越多的……這些觀念一直不斷強化。因此，學生把整數(shù)乘法中 “越乘結(jié)果越大”的經(jīng)驗遷移到小數(shù)乘法中似乎是自然而然的。更何況，教師在教學中引導學生探索小數(shù)乘法的算法就是從整數(shù)乘法中一脈相承而來的。

史寧中教授指出：“人們一般認為，乘法是加法的簡便運算，但事實上，問題并不這么簡單。需要分兩種情況討論：一種情況是基于自然數(shù)集合的乘法，另一種情況是基于整數(shù)集合的乘法?！北热?×4，可以說是3個4或者4個3相加，但是-3×4則不能說是-3個4相加。根據(jù)這樣的說法，小數(shù)0.3×0.4不能解釋為0.4 個0.3或者0.3 個0.4相加。而學生一旦從整數(shù)乘法的意義上來理解小數(shù)乘以小數(shù)的乘法，就產(chǎn)生了“為什么越乘越小”的困惑。

那么，難道是整數(shù)乘法的算理不適用于小數(shù)乘法嗎？作為整體教學的視角，教師應該重新審視整數(shù)乘法算理的教學。一個好的數(shù)學體系，不會因為數(shù)域的擴張，“理”就發(fā)生了改變，應該還是同一個“理”，這樣學生學習起來才前后一致，融會貫通，所學知識才能起到“綱舉目張”的作用。

在數(shù)的認識和運算中有兩個重要的元素——數(shù)和計數(shù)單位，在整數(shù)乘法的算理教學中，重點落在數(shù)的計算上，而沒有強調(diào)計數(shù)單位的運算，比如4×2=？，4個1與2個1相乘，4×2=8，1×1=1，8×1=8;同理，40×20=？，4個10與2個10相乘，4×2=8，10×10=100，8×100=800。如果按這樣的算理進一步推導的話，小數(shù)乘法的“理”就相通了，0.4×0.2=？，4個0.1與2個0.1相乘，4×2=8，0.1×0.1=0.01，8×0.01=0.08。前后一致，算理相通。

三、整體設計，教學改進

【教學片段3】教學0.6×0.4

第一環(huán)節(jié)：刪繁就簡，意義理解得以真實發(fā)生

師（直接呈現(xiàn)算式，沒有給出任何背景材料）：0.6×0.4表示什么意思？

生1：表示0.4個0.6。

（生1一說出口就發(fā)現(xiàn)好像不對）

師：0.6表示什么意思呢？你能用圖或者其他方式來說明0.6×0.4的意思嗎 ？

（大部分學生選擇了用面積模型表示，也有學生選擇用文字表達）

生2： 0.6×0.4就是把0.6平均分成10份，取其中的4份。

生3：也可以說把0.4平均分成10份，取其中的6份。

生4：我知道了，我知道了！0.6×0.4是0.6里面的4/10，乘了反而少了！

生5：0.6×4就是2.4了！

師：我們也可以這樣想，0.6×0.4=？，6個0.1與4個0.1相乘，6×4=24，0.1×0.1=0.01，24×0.01=0.24。

這個環(huán)節(jié)重在通過理解算式本身的意義推動學生以小數(shù)意義來理解小數(shù)乘法。因此，教師并不急于得出計算的結(jié)果，而是給予學生充足的時間自主探究、討論交流，從而使得學生能夠基于小數(shù)的意義來理解小數(shù)乘法的意義，并通過語言表達得以強化。同時，也使小數(shù)乘法從算理上與整數(shù)乘法保持一致。

第二環(huán)節(jié)：聯(lián)系生活，算法算理真正融合

師（呈現(xiàn)教材“街心廣場”的數(shù)學信息）：地磚的長為0.3米，寬為0.2米，求出地磚的面積。請獨立思考。

（許多學生都有意識地借助圖形來解決問題）

生1：其實就是3×2=6，6個1/100。

師：為什么是6個1/100？

生1：一個大格是一平方米，就是100平方分米，那一個小格是1平方分米，現(xiàn)在有3×2=6個小格，就是6個1/100。

在這一環(huán)節(jié)中，學生聯(lián)系生活經(jīng)驗理解算式在現(xiàn)實背景意義下的意義，算理與算法自然地融合。

四、教學反思，形成經(jīng)驗

學生產(chǎn)生“為什么越乘越小”的困惑的主要原因是整數(shù)乘法表示累加產(chǎn)生的負遷移。一方面，教師要努力讓學生在理解整數(shù)乘法的算理的基礎上，不為后續(xù)小數(shù)乘法留下不一致的思維印象;另一方面，追根溯源，把小數(shù)乘法建立在小數(shù)的意義的基礎上，讓學生真正理解小數(shù)乘法的算理，將數(shù)的認識與運算整合起來。學生在三年級“小數(shù)的初步認識”的學習就是建立在整數(shù)十進制位值及分數(shù)的初步認識基礎上的，也就是說，學生已經(jīng)初步建立了小數(shù)與分數(shù)的關系，感悟到小數(shù)與分數(shù)一樣是“分”的結(jié)果，10×10=100，1/10×1/10=1/100，從這層意義上講，引導學生從小數(shù)意義的角度來理解小數(shù)乘法算式本身的意義是完全可行的。

如果題目是“一塊地磚長0.3米、寬0.2米，求出地磚面積”，幾乎所有的學生都會把0.3米、0.2米轉(zhuǎn)換成分米，也就是先把小數(shù)轉(zhuǎn)換成整數(shù)再進行計算，然后通過面積單位之間的進率關系將結(jié)果轉(zhuǎn)換成平方米。在這樣的過程中，學生得到更多的是小數(shù)乘法算法的體驗，并沒有真正理解小數(shù)乘法的算理，學生對“為什么結(jié)果變小”還會心存疑惑。

史寧中教授認為：絕不可以簡單地把算理理解為依附于運算的一種性質(zhì)，而應當把算理理解為運算的本質(zhì)。正因為這樣，教師要加強運算的一致性，使得整數(shù)運算與小數(shù)運算在算理上保持一致，同時加強學生對數(shù)的意義的理解，將數(shù)的認識與運算聯(lián)系起來，通過探究小數(shù)乘小數(shù)算式本身的意義，使得學生從小數(shù)意義本身理解小數(shù)乘法算理的本質(zhì)內(nèi)涵。只要理解對了，哪怕慢一點，計算錯誤也會大大減少。

（責編 金 鈴）