Kirchhoff型波方程的時(shí)間依賴全局吸引子

汪 璇，蘇 潔

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

在邊界充分光滑的有界域? ?RN(N≥3)中，考慮如下帶有強(qiáng)阻尼和非線性擾動(dòng)的Kirchhoff 型波方程

其中 δ∈[0,1]，h(ut)是非線性阻尼項(xiàng)，g(u)是非線性項(xiàng)，f(x) 是外力項(xiàng).

在一維情形，當(dāng)方程（1）沒有耗散項(xiàng)-Δut，非線性擾動(dòng)項(xiàng)h(ut)以及非線性項(xiàng)g(u) 時(shí)，方程（1）變?yōu)樵摲匠唐鸪跏怯蒏irchhoff 提出的，用以描述物理學(xué)中可伸縮繩橫向振動(dòng)所引起的長度變化的現(xiàn)象，推廣了著名的D’Alembert 波方程.其中a表示繩子內(nèi)子的性質(zhì)，b表示繩子初始的張力，u表示橫向的位移，g(x,u)表示給予伸縮繩橫向的力.對(duì)于方程（1）當(dāng) ε(t)≡1 時(shí)，文獻(xiàn)[1]建立了適定性以及全局和指數(shù)吸引子的存在性，文獻(xiàn)[2]考慮了長時(shí)間性態(tài)對(duì)更廣義的剛度和阻尼系數(shù)，并且涵蓋了超臨界情形.文獻(xiàn)[3]研究了更為高階的Kirchhoff 型方程，獲得了解的存在唯一性、整體吸引子族的存在性及其Hausdorff 維數(shù).文獻(xiàn)[4]研究了當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)非線性弱阻尼時(shí)解的爆破性.

當(dāng) ε(t)為關(guān)于t的函數(shù)時(shí)，以往用于刻畫自治動(dòng)力系統(tǒng)的全局吸引子以及用于刻畫非自治動(dòng)力系統(tǒng)的一致吸引子和拉回吸引子等經(jīng)典概念一般不能用來刻畫時(shí)間依賴耗散動(dòng)力系統(tǒng).為了解決這個(gè)問題，Conti 等[5]描述了作用于時(shí)間依賴空間族的解算子等概念，修正了拉回吸引子的經(jīng)典定義和理論，給出了時(shí)間依賴吸引子的定義.在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[6]研究了時(shí)間依賴空間上吸引子的漸近結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[7]討論了帶有非線性阻尼的波方程時(shí)間依賴吸引子的存在性.文獻(xiàn)[8]研究了Plate 方程時(shí)間依賴吸引子的漸近性.文獻(xiàn)[9]研究了抽象發(fā)展方程的時(shí)間依賴全局吸引子.

受參考文獻(xiàn)[1-12]的啟發(fā)，本文運(yùn)用收縮函數(shù)的方法討論了帶有強(qiáng)阻尼和非線性擾動(dòng)的Kirchhoff 波方程，并且在能量空間上獲得了時(shí)間依賴吸引子.

設(shè)ε∈C1(R)是一個(gè)遞減有界函數(shù)，滿足

1 預(yù)備知識(shí)

2 主要結(jié)果

3 時(shí)間依賴吸引子的存在性