面向連續(xù)參數(shù)的多粒度屬性約簡(jiǎn)方法研究

吳 將，宋晶晶,2+，程富豪，王平心，楊習(xí)貝,4

1.江蘇科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212100

2.數(shù)據(jù)科學(xué)與智能應(yīng)用福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 漳州 363000

3.江蘇科技大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212100

4.江蘇科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212100

粗糙集理論[1]最早是由波蘭學(xué)者Pawlak 提出的，這一理論近年來(lái)在數(shù)據(jù)挖掘、人工智能、決策分析等領(lǐng)域[2-4]受到了廣泛關(guān)注。在粗糙集理論與方法中，屬性約簡(jiǎn)問(wèn)題[5-10]一直是眾多學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn)。作為一種特征選擇機(jī)制，約簡(jiǎn)的目的是獲得滿(mǎn)足給定約束條件的最小屬性子集，進(jìn)而達(dá)到降低不確定性、提升學(xué)習(xí)器泛化性能等目的。在數(shù)據(jù)分析中，屬性約簡(jiǎn)中的約束條件往往可以通過(guò)一些度量準(zhǔn)則進(jìn)行構(gòu)造，如近似質(zhì)量、條件熵等[6,8]。

經(jīng)典粗糙集方法僅能處理符號(hào)型數(shù)據(jù)，但在解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，連續(xù)型數(shù)據(jù)是廣泛存在的。因此已有諸多學(xué)者構(gòu)建了很多拓展的粗糙集模型以用于分析及處理連續(xù)型數(shù)據(jù)：如基于高斯核函數(shù)的模糊粗糙集[10]和基于鄰域關(guān)系的鄰域粗糙集[5]。這兩者均可以視作是使用參數(shù)化的方法構(gòu)造二元關(guān)系及相應(yīng)的粗糙集模型。但值得注意的是，利用這些參數(shù)化粗糙集進(jìn)行屬性約簡(jiǎn)問(wèn)題的研究時(shí)，會(huì)帶來(lái)諸如參數(shù)計(jì)算量過(guò)大等一系列問(wèn)題。鑒于此，已有學(xué)者將參數(shù)視為粒度的表現(xiàn)形式[11-13]，對(duì)多粒度環(huán)境下的屬性約簡(jiǎn)問(wèn)題進(jìn)行了初步探索。然而，已有的研究成果仍然存在一些可以提升的空間：（1）在多個(gè)參數(shù)所對(duì)應(yīng)的多粒度結(jié)構(gòu)下進(jìn)行約簡(jiǎn)求解時(shí)，一種常用的策略是針對(duì)于每一個(gè)參數(shù)，分別求解約簡(jiǎn)。顯然，當(dāng)參數(shù)體量較大時(shí)，這一過(guò)程會(huì)帶來(lái)較高的時(shí)間消耗。（2）在多個(gè)不同的參數(shù)下，可以得到多個(gè)約簡(jiǎn)，當(dāng)參數(shù)之間差異性較小時(shí)，這些約簡(jiǎn)結(jié)果有可能存在較大的差異性。換言之，單個(gè)約簡(jiǎn)一般只能表示某個(gè)粒度意義下滿(mǎn)足約束條件的最小屬性子集，而對(duì)于其他相鄰參數(shù)所對(duì)應(yīng)的粒度，約簡(jiǎn)的結(jié)果有可能大相徑庭。因此，多參數(shù)意義下的多個(gè)約簡(jiǎn)結(jié)果并不具有普適性。

為了解決上述問(wèn)題，本文從連續(xù)參數(shù)的視角出發(fā)，提出了多粒度屬性約簡(jiǎn)的一種新模式，主要包括兩部分內(nèi)容：首先在一個(gè)連續(xù)參數(shù)區(qū)間內(nèi)，構(gòu)造了多粒度屬性約簡(jiǎn)的約束條件，然后利用前向貪心搜索策略，設(shè)計(jì)了求解多粒度約簡(jiǎn)的算法。與多個(gè)參數(shù)意義下分別求解約簡(jiǎn)的模式不同，連續(xù)參數(shù)下多粒度屬性約簡(jiǎn)的目的不是分別針對(duì)每個(gè)參數(shù)進(jìn)行約簡(jiǎn)求解，而是根據(jù)多粒度約束條件求得一個(gè)約簡(jiǎn)，進(jìn)而有望降低約簡(jiǎn)求解的時(shí)間消耗。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 鄰域粗糙集

在粗糙集中，決策系統(tǒng)可以表示為一個(gè)二元組DS=，其中，U={x1,x2,…,xn} 是所有樣本構(gòu)成的非空有限集合，稱(chēng)為論域；AT是所有條件屬性的集合；d是決策屬性，用以描述樣本的標(biāo)記。U/IND(d)={X1,X2,…,Xk}表示由決策屬性d所誘導(dǎo)出論域上的劃分，?Xp∈U/IND(d)，Xp表示具有相同標(biāo)記的樣本所構(gòu)成的第p個(gè)決策類(lèi)。

在粗糙集理論中，信息?；痆14-19]的進(jìn)程一般是通過(guò)利用條件屬性所提供的信息來(lái)構(gòu)建二元關(guān)系，進(jìn)而能夠?qū)φ撚蛑械臉颖具M(jìn)行區(qū)分。以鄰域粗糙集模型為例，可以通過(guò)在論域上使用鄰域關(guān)系[5]來(lái)進(jìn)行信息?；?，鄰域關(guān)系的定義如下所示。

定義1給定決策系統(tǒng)DS=與半徑δ，?B?AT，鄰域關(guān)系可以定義為：

其中，ΔB(xi,xj)表示利用條件屬性子集B所提供的信息得到的樣本xi與xj之間的距離。

使用如式（1）所示的鄰域關(guān)系對(duì)論域進(jìn)行信息?；傻玫剿袠颖镜泥徲?，?xi∈U，xi的鄰域可以表示為δB(xi)={xj∈U|ΔB(xi,xj)≤δ}，δB(xi)中的樣本被視作與xi是不可區(qū)分的，而δB(xi)之外的樣本則被視作與xi是可區(qū)分的。因此，每個(gè)樣本的鄰域即表示了一個(gè)信息粒，所有樣本的信息粒的合集就是信息?；慕Y(jié)果。一般來(lái)說(shuō)，如果半徑δ較小，那么利用式（1）將會(huì)得到較細(xì)的信息粒化結(jié)果；反之，將會(huì)得到較粗的信息?；Y(jié)果。為了量化地描述信息?；Y(jié)果的粗細(xì)程度，可以使用如下定義所示的粒度概念。

定義2[13]給定決策系統(tǒng)DS=與半徑δ，?B?AT，粒度可定義為：

其中，|X|表示集合X的基數(shù)。

因?yàn)槭剑?）所示的鄰域關(guān)系滿(mǎn)足自反性，所以在定義2中，有成立。在特殊情況下：（1）當(dāng)鄰域關(guān)系為ω={(xi,xi)∈U×U:?xi∈U} 時(shí)，可得到最細(xì)的信息粒，此時(shí)粒度取最小值1/|U|；（2）當(dāng)鄰域關(guān)系為η={(xi,xj)∈U×U:?xi,xj∈U}時(shí)，可得到最粗的信息粒，此時(shí)粒度取最大值1。

定義3[8-9]給定決策系統(tǒng)DS=與半徑δ，?B?AT，d關(guān)于B的下近似集和上近似集可分別定義為：

作為粗糙集理論中屬性約簡(jiǎn)中常用的度量準(zhǔn)則，近似質(zhì)量的形式化描述如定義4 所示。

定義4[20]給定決策系統(tǒng)DS=與半徑δ，?B?AT，d關(guān)于B的近似質(zhì)量可以定義為：

條件熵作為另一種常用的度量，它能反映條件屬性相對(duì)于決策屬性的鑒別能力。根據(jù)實(shí)際應(yīng)用的不同，條件熵有很多定義的形式[17-19]，其中一種具有單調(diào)性的條件熵定義如定義5 所示。

定義5[21]給定決策系統(tǒng)DS=與半徑δ，?B?AT，d關(guān)于B的條件熵可以定義為：

其中，[xi]d表示與樣本xi屬于同一決策類(lèi)的樣本的合集。

條件熵的值越小，則條件屬性相對(duì)于決策屬性的鑒別能力越強(qiáng)。

1.2 多粒度屬性約簡(jiǎn)

屬性約簡(jiǎn)是粗糙集理論研究中的一個(gè)核心問(wèn)題，其本質(zhì)是去除條件屬性中的冗余和不相關(guān)屬性，以得到滿(mǎn)足給定約束條件的最小屬性子集。為了更深入地理解屬性約簡(jiǎn)的本質(zhì)，Yao 等人[6]從粒計(jì)算角度出發(fā)，給出了屬性約簡(jiǎn)的形式化方法。但由于Yao等人提出的屬性約簡(jiǎn)定義只適用于描述單個(gè)粒度下的約簡(jiǎn)，而單粒度約簡(jiǎn)無(wú)法為參數(shù)化粒度的選擇提供有力的支撐，且無(wú)法展現(xiàn)不同粒度所對(duì)應(yīng)約簡(jiǎn)的性能的變化趨勢(shì)[11]，因此，Jiang 等人[12]采用鄰域的方法，給出了一種多粒度屬性約簡(jiǎn)的形式化描述方法，如定義6 所示。

定義6[12]給定決策系統(tǒng)DS=，一組半徑{δ1,δ2,…,δs}和關(guān)于δt(1 ≤t≤s)的約束條件，?B?AT，B={B1,B2,…,Bs}被稱(chēng)為一個(gè)關(guān)于φ的多粒度約簡(jiǎn)，?Bt∈B，當(dāng)且僅當(dāng)：

（1）Bt滿(mǎn)足約束條件；

顯然，定義6 所示的多粒度約簡(jiǎn)是多個(gè)單粒度約簡(jiǎn)的合集。其中，φ代表度量準(zhǔn)則，可表示由近似質(zhì)量構(gòu)造的約束條件或者由條件熵構(gòu)造的約束條件。當(dāng)使用近似質(zhì)量構(gòu)造的約束條件時(shí)，為，此時(shí)每一單粒度約簡(jiǎn)是一個(gè)能夠保證當(dāng)前粒度下近似質(zhì)量不會(huì)被降低的最小屬性子集Bt；當(dāng)使用條件熵構(gòu)造的約束條件時(shí)，φδt為，此時(shí)每一單粒度約簡(jiǎn)是一個(gè)能夠保證當(dāng)前粒度下條件熵不會(huì)被升高的最小屬性子集Bt。

目前，前向貪心搜索策略在約簡(jiǎn)的求解問(wèn)題中受到眾多學(xué)者的青睞，這一方法在每次迭代的過(guò)程中將屬性重要度最大的屬性加入到約簡(jiǎn)集合中，直至所選擇的屬性子集滿(mǎn)足約束條件。鑒于此，可以采用如定義7 所示的形式對(duì)候選屬性進(jìn)行評(píng)估。

定義7給定決策系統(tǒng)DS=與半徑δ，?B?AT，?ai∈AT-B，屬性ai相對(duì)于B的屬性重要度可定義為：

式（7）表示利用近似質(zhì)量計(jì)算屬性重要度，若加入ai后近似質(zhì)量的值越大，則說(shuō)明ai的重要度越高；式（8）表示利用條件熵計(jì)算屬性重要度，若加入ai后條件熵的值越小，則說(shuō)明ai的重要度越高。

實(shí)際上，定義6 所示的多粒度約簡(jiǎn)是多個(gè)單粒度約簡(jiǎn)的合集，因而多粒度約簡(jiǎn)求解可通過(guò)重復(fù)單粒度約簡(jiǎn)求解過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)。采用前向貪心搜索策略，運(yùn)用定義7 所示的屬性重要度，可設(shè)計(jì)出如算法1 所示的多粒度約簡(jiǎn)求解過(guò)程。

算法1離散參數(shù)下的多粒度約簡(jiǎn)合集求解算法

利用算法1 求解多粒度約簡(jiǎn)的時(shí)間復(fù)雜度為O(s×|U|2×|AT|2)，主要是因?yàn)椋海?）在單個(gè)粒度下計(jì)算鄰域的時(shí)間復(fù)雜度為O(|U|2×|AT|2)，而在最壞的情況下，每個(gè)條件屬性都需要被評(píng)估且加入約簡(jiǎn)集合中，即AT中沒(méi)有冗余的屬性，則單粒度下求解約簡(jiǎn)的時(shí)間復(fù)雜度為O(|U|2×|AT|2)；（2）對(duì)于求解s個(gè)粒度下的約簡(jiǎn)是將單粒度求解約簡(jiǎn)的過(guò)程重復(fù)s次，因此求解多粒度約簡(jiǎn)的時(shí)間復(fù)雜度為O(s×|U|2×|AT|2)。

2 連續(xù)參數(shù)意義下多粒度屬性約簡(jiǎn)

不難發(fā)現(xiàn)，算法1 所示的多粒度約簡(jiǎn)求解過(guò)程是在離散化參數(shù)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的，這種重復(fù)求解單個(gè)參數(shù)所對(duì)應(yīng)約簡(jiǎn)的策略，當(dāng)參數(shù)體量過(guò)大時(shí)會(huì)導(dǎo)致求解約簡(jiǎn)的時(shí)間消耗急劇增加。鑒于此，本文將提出一種基于連續(xù)參數(shù)的多粒度屬性約簡(jiǎn)框架：給定參數(shù)區(qū)間[δ1,δs]，設(shè)計(jì)相應(yīng)的約束條件求得約簡(jiǎn)，期望用此約簡(jiǎn)結(jié)果表示在整個(gè)區(qū)間[δ1,δs]下求得的各個(gè)多粒度約簡(jiǎn)，而不再針對(duì)連續(xù)參數(shù)中的每一個(gè)參數(shù)進(jìn)行求解約簡(jiǎn)得到的多粒度約簡(jiǎn)結(jié)果。

在連續(xù)參數(shù)下多粒度求解約簡(jiǎn)的過(guò)程中，如何設(shè)計(jì)和求解約束條件φ是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。從算法1中可以看出，多粒度約簡(jiǎn)合集的求解是通過(guò)重復(fù)求解單粒度約簡(jiǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。針對(duì)連續(xù)參數(shù)下約簡(jiǎn)求解問(wèn)題，在仔細(xì)分析粒度的公式（定義2）的基礎(chǔ)上，可以觀(guān)察到，對(duì)于給定的參數(shù)區(qū)間[δ1,δs]，利用最小參數(shù)δ1可獲得一個(gè)最細(xì)粒度，利用最大參數(shù)δs可獲得一個(gè)最粗粒度。因此，本文將使用最細(xì)粒度和最粗粒度下度量準(zhǔn)則的融合策略來(lái)進(jìn)行屬性約簡(jiǎn)。

定義8給定決策系統(tǒng)DS=與一個(gè)半徑區(qū)間[δ1,δs]，?B?AT，B被稱(chēng)為條件屬性AT的一個(gè)關(guān)于φ在連續(xù)參數(shù)下的約簡(jiǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)：

（1）B滿(mǎn)足約束條件；

（2）?B′?B,B′不滿(mǎn)足約束條件。

在定義8 中，與定義7 類(lèi)似，其中，φ代表度量準(zhǔn)則，可表示由近似質(zhì)量構(gòu)造的約束條件或者由條件熵構(gòu)造的約束條件。但與定義7 不同，當(dāng)使用由近似質(zhì)量構(gòu)造的約束條件時(shí)，且”，即定義8 給出的約簡(jiǎn)是一個(gè)能夠保證在連續(xù)參數(shù)上，利用δ1和δs計(jì)算出的近似質(zhì)量不會(huì)降低的最小屬性子集B；當(dāng)使用由條件熵構(gòu)造的約束條件時(shí)，為“且”，即定義8 給出的約簡(jiǎn)是一個(gè)能夠保證在連續(xù)參數(shù)上，利用δ1和δs計(jì)算出的條件熵不會(huì)增大的最小屬性子集B。

運(yùn)用定義8 和以上對(duì)約束條件的構(gòu)造，可設(shè)計(jì)出如算法2 所示的連續(xù)參數(shù)下多粒度約簡(jiǎn)求解算法。

算法2連續(xù)參數(shù)下的多粒度約簡(jiǎn)求解算法

算法2 的時(shí)間復(fù)雜度為O(|U|2×|AT|2)。對(duì)于計(jì)算連續(xù)參數(shù)下的約簡(jiǎn)，只需執(zhí)行一次算法2，但對(duì)于算法1 而言，需要針對(duì)s個(gè)參數(shù)進(jìn)行約簡(jiǎn)的求解，此時(shí)算法1 將被執(zhí)行s次。顯然，當(dāng)s>1 時(shí)，算法2 求解多粒度約簡(jiǎn)的時(shí)間復(fù)雜度小于算法1 求解多粒度約簡(jiǎn)的時(shí)間復(fù)雜度，因此從這一角度來(lái)看，采用算法2 有望降低求解多粒度約簡(jiǎn)的時(shí)間消耗。

3 實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證算法2 的有效性，在連續(xù)參數(shù)下求解多粒度的約簡(jiǎn)，本文參考了文獻(xiàn)[7]中選取半徑區(qū)間的方法并使用了該文獻(xiàn)實(shí)驗(yàn)的8 組數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)的基本描述如表1 所示。

文獻(xiàn)[7]在選取半徑和半徑區(qū)間的過(guò)程中，使用了100 個(gè)不同半徑δ=0.01,0.02,…,1.00，并計(jì)算了相應(yīng)的近似質(zhì)量。對(duì)于每一個(gè)數(shù)據(jù)集，選擇了近似質(zhì)量大于0.1 的半徑區(qū)間，這主要是因?yàn)樵诖植诩碚撝?，較小的近似質(zhì)量對(duì)刻畫(huà)確定性的意義不大。使用該方法選取各個(gè)數(shù)據(jù)集的10 個(gè)半徑和半徑區(qū)間，具體描述如表2 所示。

值得注意的是，在連續(xù)參數(shù)下求得的一個(gè)多粒度約簡(jiǎn)是保持近似質(zhì)量不會(huì)降低或條件熵不會(huì)增大的最小屬性子集。但是，經(jīng)過(guò)大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，連續(xù)參數(shù)下求解多粒度約簡(jiǎn)的約束是很?chē)?yán)格的，不利于冗余屬性的刪除，故可通過(guò)控制閾值的方式來(lái)控制約簡(jiǎn)的約束條件[19]。為了能夠更有效進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析，閾值ε的取值分別為5%和10%。故本次實(shí)驗(yàn)中約簡(jiǎn)的約束條件為：當(dāng)使用由近似質(zhì)量構(gòu)造約束條件時(shí)，形如“且”；當(dāng)使用由條件熵構(gòu)造的約束條件時(shí)，形如“且”。為了驗(yàn)證新提出算法的有效性，實(shí)驗(yàn)采用了五折交叉驗(yàn)證的方法。在上述的8 組數(shù)據(jù)集中，利用五折交叉驗(yàn)證，分別計(jì)算了離散參數(shù)下和連續(xù)參數(shù)下求得約簡(jiǎn)的時(shí)間消耗與約簡(jiǎn)中屬性所提供的分類(lèi)精度，其中在計(jì)算分類(lèi)精度時(shí)使用的方法分別為K最近鄰算法（K-nearest neighbor，KNN）與支持向量機(jī)（support vector machine，SVM）。

Table 1 Description of data sets表1 數(shù)據(jù)集描述

Table 2 Used radii and radii interval for data sets表2 數(shù)據(jù)集使用的半徑和半徑區(qū)間

3.1 時(shí)間消耗對(duì)比

觀(guān)察表3，不難得出以下結(jié)論：

（1）無(wú)論是使用算法1 還是算法2，相較于使用條件熵作為度量準(zhǔn)則，在使用近似質(zhì)量作為度量準(zhǔn)則時(shí)，計(jì)算約簡(jiǎn)的時(shí)間消耗較高。通過(guò)觀(guān)察實(shí)驗(yàn)結(jié)果，認(rèn)為主要是因?yàn)樵谑褂媒瀑|(zhì)量作為度量時(shí)，約簡(jiǎn)集合中包含屬性個(gè)數(shù)往往比使用條件熵時(shí)所求得的約簡(jiǎn)集合中包含的屬性個(gè)數(shù)更多，此時(shí)帶來(lái)了屬性評(píng)估及屬性選擇迭代次數(shù)的增多。

（2）使用算法2 計(jì)算約簡(jiǎn)的時(shí)間消耗顯著低于使用算法1 計(jì)算約簡(jiǎn)的時(shí)間消耗。這是因?yàn)楫?dāng)給定10個(gè)半徑時(shí)，算法1 需要重復(fù)10 次前向貪心搜索策略，從而獲得多粒度下的約簡(jiǎn)合集。然而，在連續(xù)參數(shù)下求解約簡(jiǎn)只需要執(zhí)行1 次就可以得到多粒度約簡(jiǎn)結(jié)果。以“Amphetamines Consumption（ID：1）”數(shù)據(jù)集為例，使用近似質(zhì)量作為度量時(shí)，約束條件的閾值為5%和10%的算法1 計(jì)算多粒度的約簡(jiǎn)合集消耗的時(shí)間為34.975 7 s 和34.335 6 s，約束條件的閾值為5%和10%的算法2 計(jì)算多粒度約簡(jiǎn)消耗的時(shí)間分別為7.796 5 s 和7.559 6 s。很明顯，算法1 的時(shí)間消耗大于算法2 的時(shí)間消耗。

（3）當(dāng)約束條件的閾值設(shè)置為5%時(shí)，計(jì)算約簡(jiǎn)的時(shí)間消耗一般要高于約束條件的閾值為10%時(shí)計(jì)算約簡(jiǎn)的時(shí)間消耗。這是因?yàn)橄鄬?duì)于閾值為5%的約束條件而言，閾值為10%時(shí)的約束更為寬松，因而約簡(jiǎn)求解時(shí)屬性評(píng)估及屬性選擇的迭代次數(shù)減少了，帶來(lái)了更低的時(shí)間消耗。以“Statlog（German Credit）（ID：6）”數(shù)據(jù)集為例，在算法2 中使用條件熵作為度量時(shí)，約束條件的閾值為5%計(jì)算約簡(jiǎn)的時(shí)間消耗為4.313 6 s，而約束條件的閾值為10%計(jì)算約簡(jiǎn)的時(shí)間消耗為4.136 4 s。

3.2 分類(lèi)精度對(duì)比

通過(guò)表4 和表5 展示的結(jié)果，不論采用KNN 分類(lèi)器還是SVM 分類(lèi)器，不難得出以下結(jié)論：

（1）無(wú)論是使用近似質(zhì)量還是條件熵作為度量準(zhǔn)則時(shí)，在大多數(shù)情況下，算法2 求得約簡(jiǎn)中屬性所提供的分類(lèi)精度比算法1 求得約簡(jiǎn)中屬性所提供的分類(lèi)精度高。這說(shuō)明算法2 的連續(xù)參數(shù)下求得的多粒度約簡(jiǎn)能夠帶來(lái)更好的分類(lèi)性能。以“Libras（ID：4）”數(shù)據(jù)集為例，使用近似質(zhì)量作為度量準(zhǔn)則并將約束條件的閾值設(shè)為10%，采用KNN 分類(lèi)器，算法1 求得約簡(jiǎn)中屬性所提供的分類(lèi)精度為0.715 8，算法2 求得約簡(jiǎn)中屬性所提供的分類(lèi)精度為0.775 0；采用SVM 分類(lèi)器，算法1 求得約簡(jiǎn)中屬性所提供的分類(lèi)精度為0.443 6，算法2 求得約簡(jiǎn)中屬性所提供的分類(lèi)精度為0.602 8。

（2）在大多數(shù)情況下，約束條件的閾值為5%和10%求得約簡(jiǎn)中屬性所提供的分類(lèi)精度相差甚微。以“Forest type mapping（ID：3）”為例，算法2 使用近似質(zhì)量作為度量準(zhǔn)則時(shí)，使用KNN 分類(lèi)器，約束條件的閾值為5%和10%求得約簡(jiǎn)中屬性所提供的分類(lèi)精度分別為0.858 5 和0.858 5。

Table 3 Comparison of elapsed time of obtaining reduct表3 求解約簡(jiǎn)的時(shí)間消耗對(duì)比 s

Table 4 Comparison of classification accuracies based on KNN表4 KNN 分類(lèi)器下的分類(lèi)準(zhǔn)確率對(duì)比

Table 5 Comparison of classification accuracies based on SVM表5 SVM 分類(lèi)器下的分類(lèi)準(zhǔn)確率對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

與傳統(tǒng)約簡(jiǎn)求解方法不同，為了降低多粒度約簡(jiǎn)求解的時(shí)間消耗，本文提出了一個(gè)面向連續(xù)參數(shù)的多粒度屬性約簡(jiǎn)框架。首先構(gòu)造了連續(xù)參數(shù)下求解約簡(jiǎn)的約束條件，然后利用前向貪心搜索策略，設(shè)計(jì)了求解連續(xù)參數(shù)意義下多粒度約簡(jiǎn)的算法，最后將新提出的算法與離散參數(shù)意義下約簡(jiǎn)的求解方法進(jìn)行了對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提算法不僅能夠有效地降低約簡(jiǎn)求解的時(shí)間消耗，而且所求得的約簡(jiǎn)亦能夠提供滿(mǎn)意的分類(lèi)性能。在本文工作的基礎(chǔ)上，可就以下的問(wèn)題展開(kāi)進(jìn)一步的探討：

（1）文中僅使用近似質(zhì)量和條件熵作為度量準(zhǔn)則，未來(lái)工作中可以進(jìn)一步考慮其他度量方式，如鄰域鑒別指數(shù)[8]、決策錯(cuò)誤率[20]等。

（2）本文僅使用了鄰域粗糙集模型來(lái)構(gòu)建連續(xù)參數(shù)下多粒度求解約簡(jiǎn)的方法，可以將連續(xù)參數(shù)的思想拓展引入到其他的粗糙集模型，如模糊粗糙集模型。