融入四元數(shù)變換的“計算方法”課程教學(xué)實(shí)踐

凌思濤 陳興同 王海軍 王瑞瑞 吳鋼

[摘 要] “計算方法”是高校理工科本科生的一門重要課程，它以介紹各類數(shù)值計算問題的算法基本原理和提供數(shù)值方法為主要內(nèi)容，幫助學(xué)生提高解決實(shí)際問題的能力。詳細(xì)闡述在“計算方法”課程教學(xué)過程中，通過融入四元數(shù)的基本知識和變換技巧，形成延拓式的教學(xué)模式，結(jié)果表明，可以激發(fā)學(xué)生對本課程的學(xué)習(xí)興趣，從而提高他們的學(xué)習(xí)積極性，對拓展學(xué)生的知識視野、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和深入思考問題的能力有積極意義。

[關(guān)鍵詞] 計算方法;延拓式教學(xué);四元數(shù)

[基金項(xiàng)目] 2019年度中國礦業(yè)大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目一般項(xiàng)目“面向留學(xué)生的《計算方法B》英文課程教學(xué)研究與實(shí)踐”（2019YB32）

[作者簡介] 凌思濤（1980—），男，山東臨沂人，計算數(shù)學(xué)專業(yè)博士，中國礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，主要從事數(shù)值代數(shù)研究。

[中圖分類號] G642.4? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2021）25-0076-04? ?[收稿日期] 2021-04-22

一、引言

“計算方法”是高校理工科本科生的一門重要課程，該課程又稱數(shù)值計算方法或數(shù)值分析，它以介紹各類數(shù)值計算問題的算法基本原理和提供數(shù)值方法為主要內(nèi)容，向理工科學(xué)生傳授科學(xué)研究和工程技術(shù)中數(shù)值計算的基本知識，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。它更注重理論教學(xué)和實(shí)踐教學(xué)的有機(jī)融合，與計算機(jī)軟件相結(jié)合實(shí)施教學(xué)過程是本課程的一個特色。

隨著科學(xué)技術(shù)現(xiàn)代化進(jìn)程的加速，科學(xué)計算在自然科學(xué)各領(lǐng)域中的地位變得非常重要，例如航空航天、大氣運(yùn)動、橋梁鐵路工程、火車輪船制造、地質(zhì)勘探、地震預(yù)報、風(fēng)險投資等領(lǐng)域都需要用科學(xué)計算進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。除了理論研究和科學(xué)實(shí)驗(yàn)以外，科學(xué)計算已經(jīng)成為當(dāng)前科學(xué)研究的三大方法之一[1] （P1-3）。“計算方法”是培養(yǎng)大學(xué)生將來能夠進(jìn)行科學(xué)計算的入門級課程，隨著人們認(rèn)知水平的提高和各領(lǐng)域?qū)W科的交叉互融，特別是大數(shù)據(jù)時代的到來，迫切需要人們提高科學(xué)計算的能力。然而，“計算方法”課程原有的教學(xué)內(nèi)容已不能完全滿足學(xué)科發(fā)展的需要，傳統(tǒng)的教學(xué)模式和教學(xué)方法也不能充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。在切實(shí)掌握經(jīng)典方法和理論的前提下，需要豐富“計算方法”的教學(xué)內(nèi)容，改進(jìn)教學(xué)方法，增加學(xué)生對“計算方法”課程的認(rèn)同感，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。

國家強(qiáng)調(diào)高校要注重培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新能力和創(chuàng)新人格的創(chuàng)新型人才。自教育部頒布《面向21世紀(jì)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革計劃》以來，教育工作者們從課堂教學(xué)和實(shí)驗(yàn)教學(xué)等不同方面積極探索和實(shí)踐關(guān)于“計算方法”課程的教學(xué)研究與改革。近幾年，人們更加注重將“計算方法”的實(shí)踐教學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活中遇到的實(shí)際問題進(jìn)行結(jié)合，在教學(xué)過程中將最新的數(shù)學(xué)建模問題融入課堂教學(xué)[2]。在教學(xué)內(nèi)容的改進(jìn)方面，文獻(xiàn)[3]提出了將理論力學(xué)和材料力學(xué)中的實(shí)際問題作為引例融入“計算方法”的課堂教學(xué)，以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。文獻(xiàn)[4]對整個課程進(jìn)行統(tǒng)籌思考，提出了模塊化教學(xué)的理念。文獻(xiàn)[5]挖掘了PageRank算法的思想和“計算方法”課程中一些算法思想的共性，提出了將PageRank思想滲透到“計算方法”課程的課堂教學(xué)中和稀疏矩陣的實(shí)踐教學(xué)中，從而加深學(xué)生對冪法的理解和對稀疏矩陣稠密矩陣的認(rèn)識。隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，新的教學(xué)手段不斷涌現(xiàn)，基于網(wǎng)絡(luò)化教學(xué)的教學(xué)方法和教學(xué)手段的改革措施也應(yīng)運(yùn)而生[6]。還有很多其他改革舉措，這里不再逐一列舉。

本文主要從教學(xué)內(nèi)容方面探討“計算方法”課程課堂教學(xué)的改革措施，結(jié)合作者多年來在四元數(shù)相關(guān)問題研究中的體會，倡導(dǎo)教學(xué)過程中要將教學(xué)工作和科學(xué)研究相結(jié)合，以科研促教學(xué)的理念。以經(jīng)典Jacobi方法求解實(shí)對稱矩陣特征值的教學(xué)內(nèi)容為例，介紹四元數(shù)變換在“計算方法”課程教學(xué)中的應(yīng)用，總結(jié)形成了“計算方法”課程教學(xué)中延拓式教學(xué)模式的教學(xué)實(shí)踐。

二、四元數(shù)基本性質(zhì)的引入

早在1843年，愛爾蘭數(shù)學(xué)家Hamilton為了描述多維空間中的物理現(xiàn)象而發(fā)明了四元數(shù)，它是最簡單的超復(fù)數(shù)。四元數(shù)是復(fù)數(shù)a+bi的推廣形式，一個四元數(shù)可以表示為q=q0+q1i+q2j+q3k，（1）

q0，q1，q2，q3∈R

顯然，q由一個實(shí)部和三個虛部構(gòu)成。四元數(shù)的全體記為H，四元數(shù)的乘法法則如表1所示，這意味著四元數(shù)不滿足乘法交換律。

通過與復(fù)數(shù)的對比教學(xué)就可以引入四元數(shù)的概念，并且從概念上很容易能看出它和復(fù)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。通過知識的拓展學(xué)生可以很快接受一個新的概念，又會激發(fā)學(xué)生的好奇心：既然四元數(shù)不滿足乘法交換律，看起來又比復(fù)數(shù)復(fù)雜，那四元數(shù)到底有什么可用之處，在實(shí)際應(yīng)用中又如何使用它解決問題呢？在后續(xù)的講解中就可以繼續(xù)引入四元數(shù)的基本性質(zhì)，滿足學(xué)生的好奇心。

若把H分解為直和的形式

這就建立了四元數(shù)張量積和實(shí)矩陣空間的一種同構(gòu)關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)某些特殊矩陣和四元數(shù)張量積H？塥H之間的相互轉(zhuǎn)化。例如，關(guān)于實(shí)對稱矩陣的四元數(shù)張量表示有下面的等價結(jié)論[7]：

特別地，一個4×4實(shí)矩陣是對角矩陣當(dāng)且僅當(dāng)它可以表示為

c0，c1，c2，c3∈R.

由于四元數(shù)具有優(yōu)美的結(jié)構(gòu)，四元數(shù)發(fā)展至今已經(jīng)在量子力學(xué)、航空器的姿態(tài)控制、彩色圖像處理、三維測量技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。這些應(yīng)用中主要利用了四元數(shù)具有能夠方便地進(jìn)行正交變換的優(yōu)點(diǎn)。

三、基于Jacobi方法的延拓式教學(xué)

一個n階實(shí)對稱矩陣A總可以被一個正交矩陣Q通過相似變換約化為對角矩陣，并且對角矩陣的對角元就是A的特征值。Jacobi方法求解實(shí)對稱矩陣特征值正是基于這個線性代數(shù)基礎(chǔ)理論提出的。正交矩陣Q的形成過程是通過一系列的正交旋轉(zhuǎn)變換使矩陣A的非對角元逐步收斂到零。這是從矩陣變換的角度來介紹Jacobi方法求解實(shí)對稱矩陣的特征值問題，以此問題為基礎(chǔ)，可以引導(dǎo)學(xué)生從四元數(shù)張量的角度實(shí)現(xiàn)算法，這是關(guān)于本部分知識的拓展環(huán)節(jié)，以期學(xué)生對Jacobi方法有更深入的理解。