基于各向異性和邊緣強度修正因子的邊緣檢測算法

李 凱,張永生,童曉沖,李 峰

(1.軍事科學院系統(tǒng)工程研究院后勤科學與技術研究所，北京 100071;2.戰(zhàn)略支援部隊信息工程大學地理空間信息學院，河南 鄭州 450001)

1 引言

邊緣檢測是諸多計算機視覺和模式識別應用的基礎，因此邊緣檢測結果直接影響后續(xù)影像匹配[1]、圖像分割[2]、角點檢測[3]和目標識別[4]等更高層次的圖像處理應用效果。為了提高邊緣檢測結果的精度，過去幾十年間已有多種邊緣檢測方法被提出。這些邊緣檢測方法可以分類為基于差分的方法[5 - 9]、基于統(tǒng)計的方法[10]、蟻群優(yōu)化方法[11]、機器學習方法[12]和主動輪廓模型方法[13]等。這些方法均有各自的特點，如基于差分的方法原理和計算簡單，可以快速提取邊緣，但是邊緣的完整性和連續(xù)性較差。各向異性擴散或選擇性平滑方法采用自適應高斯核，可在抑制噪聲的同時減少邊緣模糊，但是計算量較大。主動輪廓模型方法則比較適宜提取物體輪廓的閉合邊緣。

Canny算法是一種經(jīng)典的邊緣檢測算子，該算子雖然為邊緣檢測提供了更優(yōu)的解決方案，但是仍然存在一對矛盾：當使用小尺度的高斯核時，邊緣定位精度高，但是對噪聲敏感；當使用大尺度的高斯核時，噪聲魯棒性好，但是邊緣定位精度差。多尺度邊緣檢測方法融合多個尺度，可以在一定程度上解決Canny算法最優(yōu)尺度的選取問題，更適用于檢測圖像中的多尺度邊緣特征。文獻[14]基于剪切波變換提出了多尺度多方向的邊緣檢測算子。然而，大多數(shù)多尺度工具是為圖像表達等應用設計的，較少應用于邊緣檢測?；谄⒎址匠痰母飨虍愋詳U散或選擇性平滑方法也被廣泛應用于邊緣檢測[15 - 19]。與Canny算法相比，這種方法能夠迭代和自適應地平滑圖像，更易于提取微小邊緣結構，其主要缺點是計算量較大，不能實現(xiàn)邊緣的快速提取。文獻[20,21]均使用各向異性高斯核進行邊緣檢測，各向異性高斯核能夠優(yōu)化邊緣檢測算子的噪聲魯棒性和邊緣定位精度，并且具有較高的邊緣分辨率，因此檢測結果優(yōu)于Canny和基于統(tǒng)計的邊緣檢測等方法的。但是，各向異性高斯核帶來了嚴重的邊緣拉伸效應，導致了邊緣附近偽邊緣的產(chǎn)生。文獻[20]使用基于梯度的邊緣強度圖ESM(Edge Strength Map)抑制邊緣拉伸效應，但是增加了邊緣模糊效應，算法對噪聲魯棒性也有所下降。

為了更好地抑制基于各向異性高斯方向?qū)?shù)濾波器ANDD(ANisotropic Directional Derivative)帶來的拉伸效應，本文融合了各向同性和自動各向異性高斯核邊緣檢測方法的優(yōu)勢，提出了一種加入邊緣強度修正因子的邊緣檢測算法，并通過實驗驗證了改進算法具有較強的噪聲魯棒性和較高的邊緣提取精度。

2 改進的邊緣檢測算法

2.1 各向異性高斯方向?qū)?shù)濾波器

從特征檢測角度來說，具有多維特征的各向異性高斯核更能準確地描述邊緣、角點等局部特征。各向異性高斯核可表示為:

ρ≥1,σ> 0

(1)

(2)

將各向異性高斯核對方向角θ求導，即可得到該方向上各向異性高斯導數(shù)濾波器:

(3)

文獻[20]證明，ANDD邊緣梯度最大值與σ成反比，利用大尺度因子平滑噪聲的同時，也削弱了邊緣響應能力。此外，邊緣梯度與各向異性因子ρ成正比，當使用ANDD檢測邊緣時，邊緣響應具有更高的信噪比，從而可提高邊緣檢測能力。此外，文獻[22]進一步證明ANDD具有優(yōu)于各向同性高斯濾波器的角點檢測與定位能力，并可用于角點分類。

2.2 IAGK邊緣檢測算法

對圖像I(x)中每一個像素點x，計算其P個方向的各向異性高斯核和導數(shù)濾波器:

θp=(p-1)π/P,p=1,2,…,P

(4)

由此可得到基于ANDD的ESM:

(5)

各向同性高斯核的邊緣拉伸效應與尺度因子σ正相關，而ANDD的邊緣拉伸效應與尺度各向異性因子的積σρ正相關，因此當尺度因子和各向異性因子較大時，基于ANDD的ESM拉伸效應嚴重。為了減輕這種效應，可對式(5)進行修正，得到結合各向同性和各向異性高斯核的ESM:

(6)

其中，ηi(x)為尺度為σ/ρ的各向同性高斯核的ESM。

根據(jù)式(2)可以得到各向同性高斯核在x方向和y方向上的偏導數(shù)分別為:

(7)

(8)

因此有:

(9)

同時，將梯度方向:

(10)

作為ESM 中ηf(x)的梯度方向。結合各向同性和各向異性高斯核IAGK(Isotropic and Anisotropic Gaussian Kernels)的邊緣檢測算法就是利用式(6)得到的ESM替代Canny算法中的基于梯度幅值的ESM，沿用Canny算法的非極大值抑制和磁滯閾值處理流程進行邊緣檢測。

2.3 AAGK邊緣檢測算法

文獻[21]依據(jù)Canny提出的最優(yōu)邊緣檢測器應同時具有最優(yōu)信噪比和最優(yōu)定位性能的準則，進一步推導出了最優(yōu)各向異性因子的表達式，并在此基礎上提出基于自動各向異性高斯核AAGK(Automatic Anisotropic Gaussian Kernels)的邊緣檢測算法。AAGK邊緣檢測算法以邊緣圖像f(x)經(jīng)ANDD濾波后沿方向角θ的信噪比公式為理論基礎，自動選擇最優(yōu)各向異性因子ρopt，而后在ESM的非極大值抑制方法上選擇了與IAGK不同的策略。該算法首先計算ESM和各像素邊緣強度取最大值時的梯度方向；當某個像素的邊緣強度大于其梯度方向上相鄰2個像素的邊緣強度時，將該像素保留為候選邊緣點；然后采用與Canny算法相同的雙閾值和磁滯閾值處理方法篩選邊緣；最后，對磁滯閾值處理后的邊緣進行邊緣連接等后處理工作，以修復漏檢的邊緣點。

2.4 結合IAGK和AAGK的邊緣檢測算法

IAGK和AAGK用于邊緣檢測，均取得了優(yōu)于Canny算法的邊緣檢測結果，顯示了各向異性高斯核在邊緣檢測方面的優(yōu)勢。然而，2種算法均有各自的缺陷。與AAGK算法相比，IAGK算法各向異性因子僅作為一個經(jīng)驗值設置，缺乏嚴格的理論依據(jù)。AAGK算法則僅以基于ANDD的ESM進行非極大值抑制，由于基于ANDD的ESM拉伸效應嚴重，因此，這種算法會導致大量偽邊緣的產(chǎn)生。IAGK算法雖然利用各向同性高斯導數(shù)濾波器對基于ANDD的ESM進行修正，有效抑制了邊緣拉伸效應，但是由于各向同性高斯導數(shù)濾波器的引入，Canny算法固有的缺陷也被引入，導致ANDD的邊緣模糊效應更加明顯，算法對噪聲的魯棒性也有所下降。

為了使ESM更好地抑制偽邊緣的產(chǎn)生，同時具有更高的噪聲魯棒性，本文綜合利用IAGK和AAGK算法的優(yōu)勢，即在利用AAGK算法自動選擇最優(yōu)各向異性因子的基礎上，對IAGK算法的ESM計算方法進行修正，加入邊緣強度修正因子λ,λ≥1，進一步抑制偽邊緣像素在ESM中的強度值。從而得到改進的ESM表達式為:

(11)

Figure 1 “buildings”影像的局部區(qū)域及使用不同算法得到的ESM圖1 Local areas of “buildings” images and ESM using different algorithms

本文提出的基于最優(yōu)各向異性因子和邊緣強度修正因子的邊緣檢測算法步驟如下：

步驟1輸入算法參數(shù)，包括各向異性高斯核方向個數(shù)P、高斯核尺度參數(shù)σ、高閾值Th、低閾值Tl和邊緣強度修正因子λ；根據(jù)文獻[21]方法計算最優(yōu)各向異性因子ρ。

步驟2計算ESM。利用式(4)和式(5)得到ANDD的ESM，利用式(7)～式(9)得到基于梯度的ESM，利用式(11)得到本文算法的ESM。ESM各像素的梯度方向仍由式(10)得到。

步驟3非極大值抑制。對于任意像素，計算其邊緣強度值η′f(x)是否大于其梯度方向上的相鄰2個像素的邊緣強度值，若是，則保留該像素，作為候選邊緣點，否則舍棄。

步驟4雙閾值篩選。對經(jīng)非極大值抑制后的候選邊緣點集合，如果某像素邊緣強度值大于高閾值Th,則認為該點為強邊緣點；若邊緣強度值介于高閾值Th和低閾值Tl之間，則認為該點為弱邊緣點，留待進一步處理；若邊緣強度值小于低閾值Tl,則舍棄該點。

步驟5滯后邊界跟蹤。搜索所有連通的弱邊緣，如果一條連通的弱邊緣的任何一個點和強邊緣點連通，則保留這條弱邊緣，否則抑制這條弱邊緣。

3 實驗結果與分析

本節(jié)利用南佛羅里達大學提供的2個邊緣檢測數(shù)據(jù)集對改進算法進行檢驗，其中一個數(shù)據(jù)集包含50幅自然場景影像，另一個數(shù)據(jù)集則包含10幅航空影像。由于邊緣檢測器性能與所采用的參數(shù)有關，本文分別采用ROC(Receiver Operating Characteristic)曲線和邊緣品質(zhì)因子FOM(Figure Of Merit)2個評價指標更全面地驗證算法有效性。

3.1 聚集ROC曲線實驗

3.1.1 聚集ROC曲線與算法參數(shù)設置

聚集ROC曲線能夠更客觀地評價在不同參數(shù)條件下邊緣檢測器的性能，因此被廣泛應用于邊緣檢測算法評價中。影像的ROC曲線是基于其已分類好的邊緣檢測結果繪制的，南佛羅里達大學的數(shù)據(jù)集提供了這些數(shù)據(jù)集的人工采集結果GT(Ground Truth)。數(shù)據(jù)集中像素被分為邊緣像素、非邊緣像素和其他像素(don’t care regions)3類。設某一邊緣檢測數(shù)據(jù)中，邊緣像素數(shù)為NE，非邊緣像素數(shù)為NNE。若邊緣檢測算法檢測到的邊緣像素與人工采集結果中邊緣像素距離在3個像素以內(nèi)，則標記該像素為真陽性TP(True Positive)，且人工采集結果中邊緣像素不再重復使用； 若邊緣檢測算法檢測到的邊緣像素在非邊緣像素區(qū)域內(nèi)，則標記該像素為假陽性TP(False Positive)；落在其他像素區(qū)域的邊緣像素不計數(shù)。最終檢測到標記為TP的像素數(shù)設為NTP，標記為FP的像素數(shù)設為NFP。則可以得到各參數(shù)取值下一系列點(1-PTP,PFP)，其中:

(12)

實際上，1-PTP表示未被正確檢測的邊緣點的概率，PFP表示被錯誤檢測為邊緣點的非邊緣點的概率。當(1-PTP,PFP)=(0,0)時，檢測結果最理想，因此，ROC曲線由點集(1-PTP,PFP)中最靠近左下方的點連接而成。當獲取某一圖像數(shù)據(jù)的ROC曲線后，其對應的參數(shù)取值也被獲得，將該參數(shù)設置應用于數(shù)據(jù)集中其他數(shù)據(jù)得到各影像數(shù)據(jù)的ROC曲線，并將所有被測試數(shù)據(jù)的ROC曲線取平均值，得到聚集ROC曲線。

IAGK、AAGK均有5個參數(shù)，分別為各向異性高斯核方向角個數(shù)P、各向異性因子ρ、高斯核尺度因子σ、高閾值Th和低閾值Tl。本文算法除了包含這5個參數(shù)外，還有邊緣強度修正因子λ。在IAGK中，P=16，各向異性因子ρ取在無噪聲情況下的推薦值ρ2=7；AAGK中，各向異性高斯核方向角個數(shù)P取值設置為[8,16]，ρ可由P自動獲取。本文算法中，各向異性高斯核方向角個數(shù)P與IAGK算法保持一致，各向異性因子ρ的獲取則與AAGK算法的一致。為了更公平地評價不同算法的性能，3種算法的Th均設置為[0.6,0.95],Tl均設置為[0.1,0.5]，高斯核尺度因子σ的取值均設置為σ2=[0.5,3]·ρ2。在邊緣區(qū)域，ηi(x)的值通常大于1，因此本文對λ的選取基本原則是λ大于或等于1，此時才能夠達到增強邊緣區(qū)域像素與非邊緣區(qū)域像素強度之間的對比度的效果。而λ值也不宜過大，其過大時會削弱基于ANDD的ESM的作用，本文據(jù)此設計邊緣強度修正因子λ的取值為[1,3]。

3.1.2 實驗結果與分析

利用IAGK、AAGK和本文算法分別對2個數(shù)據(jù)集進行邊緣檢測，為了使算法結果更適于比較，本文所使用的3種算法均只使用Canny算法的檢測流程，即均進行非極大值抑制、雙閾值邊緣選取和滯后邊界跟蹤，而未對檢測結果再進行邊界提取等后處理。最終得到的航空影像數(shù)據(jù)集和自然場景影像數(shù)據(jù)集的聚集ROC曲線分別如圖2a和圖2b所示。從圖2a和圖2b中可以看出，本文提出的算法獲得的ROC曲線在3種算法中結果最優(yōu)。IAGK算法和AAGK算法在不同參數(shù)取值情況下的檢測結果則有不同的表現(xiàn)。當未被正確檢測的邊緣點較少時，即1-PTP較小時，AAGK算法被錯誤檢測為邊緣點的非邊緣點概率PFP小于IAGK算法的，這說明在使用較大閾值濾除邊緣點時，AAGK算法保留的邊緣點更多為真實邊緣點，而IAGK算法保留的邊緣點中存在較多的噪聲點。這也說明了AAGK算法具有更強的抑制噪聲能力。而當未被正確檢測的邊緣點較多時，即1-PTP較大時，AAGK算法被錯誤檢測為邊緣點的非邊緣點概率PFP大于IAGK算法的，這說明在使用較小閾值濾除邊緣點時，IAGK算法保留的邊緣點更多為真實邊緣點，而AAGK算法保留的邊緣點中存在較多的偽邊緣，這些偽邊緣主要是由ANDD的邊緣拉伸效應導致的。

Figure 2 Aggregated ROC curve of aerial image dataset and natural image dataset under noise-free conditions圖2 無噪聲條件下航空影像數(shù)據(jù)集和自然場景影像數(shù)據(jù)集聚集ROC曲線

進一步對實驗數(shù)據(jù)分別加入均值為0，標準差ε為5,10,15的噪聲，驗證不同噪聲條件對算法的影響。實驗結果如圖3所示。從圖3中可以看出，在不同噪聲條件下，本文算法依然在3種算法中表現(xiàn)最優(yōu)。而且隨著噪聲增加，3種算法與Canny算法相比，優(yōu)勢越來越明顯，這是因為3種算法都采用了各向異性高斯核，與Canny算法相比對噪聲具有更好的魯棒性。而在自然場景影像數(shù)據(jù)集聚集ROC曲線中，隨著噪聲的增加，本文算法的優(yōu)勢也越來越明顯，這說明了本文算法與其他算法相比也具有更好的噪聲魯棒性。

3.2 FOM評價

除了聚集ROC曲線，邊緣品質(zhì)因子FOM也被廣泛用來客觀評價邊緣檢測算法的性能。假設Nd是算法檢測到邊緣像素的個數(shù)，Ne是真實邊緣圖中邊緣像素的個數(shù)，d(k)表示第k個檢測到的邊緣像素和真實邊緣圖中距離最近的邊緣像素之間的距離，邊緣品質(zhì)因子FOM可表示為:

(13)

Figure 3 Aggregated ROC curves of aerial image dataset and natural image dataset under different noise conditions圖3 不同噪聲條件下航空影像數(shù)據(jù)集和自然場景影像數(shù)據(jù)集聚集ROC曲線

其中，γ為常數(shù)，表示像素偏移的損失因子，實驗中γ=1/4。從式(13)可以看出，F(xiàn)OM綜合考慮了真實邊緣的丟失、虛假邊緣和邊緣的定位誤差。真實邊緣丟失越少，虛假邊緣越少或邊緣定位誤差越小，F(xiàn)OM因子越大。當FOM等于1時，所有邊緣像素均被正確檢測，且不存在偽邊緣。因此，算法的FOM值越大，算法的性能越好。本節(jié)將南佛羅里達大學邊緣檢測數(shù)據(jù)集中的10幅航空影像作為實驗對象，分別計算每一幅圖像在噪聲標準差為15時的FOM值。檢測結果如表1所示。從實驗結果中可以看出，在少數(shù)影像檢測中IAGK或AAGK算法檢測FOM值優(yōu)于或接近本文算法FOM值，但是差別不大；Canny算法檢測結果則均低于本文算法檢測結果?？傮w來看，本文算法的FOM值優(yōu)于其他3種算法的。統(tǒng)計10幅影像FOM計算結果的平均值，得到本文算法的FOM計算結果的平均值分別比IAGK、AAGK和Canny算法的高3%,4%和7%。

3.3 基于邊緣檢測結果的評價

為了更加直觀地比較不同算法之間的差異，評價本文算法的有效性，本節(jié)對比分析利用不同算法對邊緣檢測數(shù)據(jù)集中一幅測試圖像得到的檢測結果。其中圖4是航空影像數(shù)據(jù)集中“series”影像，該影像具有豐富的邊緣特征。利用本文算法、IAGK、AAGK和Canny算法得到的邊緣檢測結果如圖5所示。為了使檢測結果具有可對比性，4種算法中的邊緣判決閾值都設置為Th=0.9，Tl=0.5。

Figure 4 “series” in aerial image dataset圖4 航空影像數(shù)據(jù)集中“series”影像

從圖5a白色實線方框中房屋和白色虛線方框中道路的邊緣檢測結果可以看出，Canny算法不能有效檢測具有低對比度的房屋邊緣，同時檢測結果中還存在大量的偽邊緣和噪聲信息。圖5b中AAGK與Canny檢測結果相比，其檢測到的虛假邊緣的信息明顯減少，但是在邊緣兩端處的偽邊緣卻明顯增多，由第2節(jié)的分析可知，這是由ANDD的 ESM的邊緣拉伸效應造成的。圖5c中IAGK也未能完全檢測房屋與道路等弱邊緣，但是與Canny算法相比，檢測結果中噪聲信息得到了較好的抑制；而圖5d中本文算法則能夠有效提取房屋、道路等弱邊緣，同時與Canny算法相比，較好地抑制了噪聲信息。綜合對比4種算法檢測結果可以看出，Canny算法檢測到由噪聲引起的偽邊緣較多，AAGK算法檢測到由ESM的拉伸引起的偽邊緣較多，IAGK算法在弱邊緣檢測時，仍然存在漏檢的情況，本文算法能夠有效抑制邊緣拉伸效應，同時檢測更多的弱邊緣。

Table 1 FOM detection results on aerial image dataset

Figure 5 Edge detection results of "series" in aerial image dataset using four algorithms圖5 影像利用4種算法得到航空影像數(shù)據(jù)集中“series”的邊緣檢測結果

4 結束語

傳統(tǒng)邊緣檢測算法通?；诟飨蛲愿咚篂V波器定位與提取邊緣，這種方法得到的邊緣定位精度相對不高，且對噪聲較敏感。各向異性高斯濾波器具有較高的定位精度和噪聲魯棒性，但是其與影像卷積生成的ESM具有較強的邊緣拉伸效應，導致邊緣兩端產(chǎn)生較多的偽邊緣。IAGK算法融合了各向異性和各向同性高斯濾波器算法的ESM，可有效提升傳統(tǒng)基于各向同性高斯濾波器邊緣檢測算法定位結果的精度、噪聲魯棒性，同時抑制各向異性高斯濾波器較強的邊緣拉伸效應。但是，由于各向同性高斯導數(shù)濾波器的引入，Canny算法固有的缺陷也被引入，導致ANDD的邊緣模糊效應更加明顯，算法對噪聲的魯棒性也有所下降。為了更好地抑制偽邊緣的產(chǎn)生，同時具有更高的噪聲魯棒性，本文在利用AAGK算法自動選擇最優(yōu)各向異性因子的基礎上，對IAGK算法的ESM計算方法進行修正，加入邊緣強度修正因子，進一步抑制了偽邊緣像素在ESM中的強度值。同時新的算法還能夠有效提升弱邊緣的相對邊緣強度值，從而提升對弱邊緣的檢測能力。經(jīng)典邊緣檢測數(shù)據(jù)集上的測試結果顯示，與Canny、AAGK和IAGK算法相比，本文提出的算法具有更少的偽邊緣、更好的噪聲魯棒性和更強的弱邊緣檢測能力。

下一步將深入分析邊緣強度修正因子λ的數(shù)學含義，進一步研究λ的“自適應”選取方法，以增強算法的普適性。