基于主成分分析法的珠磨機(jī)研磨效果評(píng)價(jià)

朱玉田，歐陽(yáng)智婉，劉釗

（同濟(jì)大學(xué)，上海 201800）

0 引言

珠磨機(jī)是現(xiàn)代工業(yè)中制備超細(xì)粉體的主要設(shè)備之一，在碳酸鈣、礦石、高嶺土及新材料超細(xì)研磨等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[1-2]。珠磨機(jī)工作時(shí)，高速旋轉(zhuǎn)的攪拌器帶動(dòng)研磨腔內(nèi)的介質(zhì)一起運(yùn)動(dòng)，物料在研磨介質(zhì)間的碰撞、摩擦、剪切作用下被粉碎[3]，研磨介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)特征影響物料在腔內(nèi)的粉碎過(guò)程，而流場(chǎng)流動(dòng)的特征可近似反映研磨介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)。目前，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者采用數(shù)值仿真的方法研究磨機(jī)流場(chǎng)，通過(guò)流場(chǎng)的速度、湍流強(qiáng)度、湍流耗散率以及湍動(dòng)能等指標(biāo)來(lái)定性分析磨機(jī)研磨效果。Blecher.L等[4]通過(guò)仿真攪拌球磨機(jī)研磨腔的流場(chǎng)，得到研磨腔內(nèi)能量分布情況，推斷能量耗散影響磨機(jī)的研磨效果。Graeme.L[5]仿真研究了Netzsch臥式珠磨機(jī)的研磨腔流場(chǎng)，提出將黏性耗散率作為局部研磨效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)。龔曙光[6]仿真研究了不同分散盤結(jié)構(gòu)對(duì)湍流強(qiáng)度分布和湍流耗散率的影響，以湍流強(qiáng)度和湍流耗散率數(shù)值大小來(lái)評(píng)價(jià)研磨效果優(yōu)劣。張宏偉[7]對(duì)葉輪式介質(zhì)攪拌磨機(jī)的流場(chǎng)進(jìn)行數(shù)值模擬，認(rèn)為流場(chǎng)能量的分配和傳輸是影響研磨效果的因素，其中研磨腔內(nèi)流場(chǎng)的能量分布基于湍流強(qiáng)度、湍動(dòng)能這兩個(gè)指標(biāo)分析，能量傳輸利用率則是基于湍流耗散率計(jì)算。這些研究主要是分析湍流強(qiáng)度、湍動(dòng)能和湍流耗散率等指標(biāo)在研磨腔流場(chǎng)中的變化規(guī)律，還沒(méi)有綜合的評(píng)價(jià)研磨腔內(nèi)各點(diǎn)研磨效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

本文以W型臥式珠磨機(jī)作為研究對(duì)象，研磨腔內(nèi)的混合體是研磨介質(zhì)、物料與溶劑組成的料漿，其中研磨介質(zhì)是氧化鋯珠，料漿種類是重質(zhì)碳酸鈣，仿真時(shí)將混合流體假設(shè)為均一單相流進(jìn)行研究。通過(guò)軟件對(duì)珠磨機(jī)研磨腔流場(chǎng)進(jìn)行仿真計(jì)算，輸出研磨腔內(nèi)各點(diǎn)湍流強(qiáng)度、湍動(dòng)能、湍流耗散率這三個(gè)研磨指標(biāo)的數(shù)值，由于這三個(gè)指標(biāo)僅可描述研磨腔內(nèi)流體運(yùn)動(dòng)的部分特征，單個(gè)指標(biāo)無(wú)法描述流場(chǎng)的全部信息，具有一定的局限性。本文應(yīng)用主成分分析法將這三個(gè)研磨指標(biāo)綜合為一個(gè)綜合指標(biāo)，綜合指標(biāo)盡可能多的保留三個(gè)研磨指標(biāo)的信息，為定量評(píng)價(jià)研磨腔內(nèi)各點(diǎn)的研磨效果提供依據(jù)，對(duì)珠磨機(jī)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)改進(jìn)具有指導(dǎo)意義。

1 研磨效果主成分分析法的評(píng)價(jià)指標(biāo)

主成分分析法是一種將多個(gè)相關(guān)的指標(biāo)轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個(gè)主成分進(jìn)行定量綜合評(píng)價(jià)的方法[8-10]，主成分分析法可將多個(gè)具有一定相關(guān)性的原有指標(biāo)重新組合為幾個(gè)互不相關(guān)的綜合指標(biāo)，且可以從中取出盡可能多的反映原系統(tǒng)信息的綜合指標(biāo)[11]，評(píng)價(jià)更客觀、準(zhǔn)確。

1.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)的確定

珠磨機(jī)研磨腔內(nèi)物料的粉碎機(jī)理可分為碰撞粉碎機(jī)理、摩擦粉碎機(jī)理以及剪切粉碎機(jī)理這三種，研磨介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)影響物料的粉碎過(guò)程，從而影響珠磨機(jī)的研磨效果。結(jié)合珠磨機(jī)研磨腔內(nèi)物料的粉碎機(jī)理及軟件仿真結(jié)果，建立研磨效果評(píng)價(jià)體系如圖1所示。

圖1 珠磨機(jī)研磨效果評(píng)價(jià)體系

1.1.1 湍流強(qiáng)度x1

湍流強(qiáng)度是湍流脈動(dòng)速度與平均速度的比值，是雷諾數(shù)的函數(shù)，代表研磨腔內(nèi)流體流動(dòng)運(yùn)動(dòng)的混亂劇烈程度，可間接反映物料的研磨效果，計(jì)算表達(dá)式如下：

式（1）中，I為湍流強(qiáng)度；是湍流平均速度；是湍流脈動(dòng)速度。

1.1.2 湍動(dòng)能x2

湍動(dòng)能表示水流摻混的劇烈程度，珠磨機(jī)工作時(shí)，研磨腔內(nèi)流體帶動(dòng)研磨介質(zhì)做無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，湍動(dòng)能越大，研磨腔內(nèi)流體運(yùn)動(dòng)混亂程度越高，研磨介質(zhì)之間的碰撞頻率越高，研磨效果越好。湍動(dòng)能與湍流強(qiáng)度有密切關(guān)系，計(jì)算表達(dá)式如下：

式（2）中，k為流體的湍動(dòng)能。

1.1.3 湍流耗散率x3

湍流耗散率是分子粘性作用下由湍動(dòng)能轉(zhuǎn)化為分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的速率，是粘性和速度梯度的函數(shù)。湍流耗散率的計(jì)算表達(dá)式：

式（3）中，ε為湍流耗散率；μ為流體動(dòng)力粘度；為粘性耗散函數(shù)。

粘性耗散函數(shù)與研磨腔內(nèi)流場(chǎng)的速度梯度有關(guān)，速度梯度越大，研磨腔內(nèi)相鄰流層間的速度相差越大，流層間研磨介質(zhì)相互碰撞的能量越高，研磨效果越好[12]。當(dāng)珠磨機(jī)研磨腔內(nèi)流體的粘度一定時(shí)，湍流耗散率可近似表征珠磨機(jī)的研磨效果。

研磨效果定量評(píng)價(jià)涉及湍流強(qiáng)度、湍動(dòng)能以及湍流耗散率三個(gè)指標(biāo)，根據(jù)前述分析，原指標(biāo)之間存在一定的相關(guān)性，可以解釋為三者間存在信息重疊，因此可應(yīng)用主成分分析法將原三維評(píng)價(jià)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一維評(píng)價(jià)系統(tǒng)，得到一個(gè)評(píng)價(jià)珠磨機(jī)研磨效果的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)。

1.2 基于主成分分析法的珠磨機(jī)研磨效果綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算

在Solidworks中建立珠磨機(jī)的三維模型[13]，W型珠磨機(jī)三維示意圖如圖2所示，圓柱狀轉(zhuǎn)子內(nèi)外側(cè)的軸向和周向上等間距的布置圓柱形的銷釘，轉(zhuǎn)子周向上分布四個(gè)循環(huán)通孔，增強(qiáng)研磨腔內(nèi)流體的循環(huán)流動(dòng)。應(yīng)用軟件仿真時(shí)，流場(chǎng)計(jì)算節(jié)點(diǎn)分布在整個(gè)研磨腔流域中，隨機(jī)選取n個(gè)節(jié)點(diǎn)的原始指標(biāo)計(jì)算結(jié)果為數(shù)據(jù)源，主成分的基本計(jì)算方法如下：

圖2 研磨腔三維示意圖

珠磨機(jī)研磨效果評(píng)價(jià)中涉及的三個(gè)指標(biāo)分別為：湍流強(qiáng)度x1、湍動(dòng)能x2以及湍流耗散率x3，記作x=（x1，x2，x3）T，每個(gè)樣本點(diǎn)的原始評(píng)價(jià)指標(biāo)記作xi=（xi1，xi2，xi3）T，i=1,2,3,…,n，構(gòu)成評(píng)價(jià)珠磨機(jī)研磨效果的3×n階原始數(shù)據(jù)矩陣X：

由于研磨腔流場(chǎng)仿真計(jì)算結(jié)果中直接選取的三個(gè)指標(biāo)量綱不同，且數(shù)值差異較大，不適宜直接進(jìn)行分析計(jì)算，將原始樣本矩陣X基于Z-Score法標(biāo)準(zhǔn)化，標(biāo)準(zhǔn)化后的樣本矩陣Z：

式（6）中，

標(biāo)準(zhǔn)化后的樣本矩陣Z的協(xié)方差矩陣C為實(shí)對(duì)稱矩陣，其對(duì)角線上的元素為各指標(biāo)的方差，非對(duì)角線上的元素是指標(biāo)兩兩之間的協(xié)方差。根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，可知C一定可以找到3個(gè)特征值λ1，λ2，λ3，λ1≥λ2≥λ3，對(duì)應(yīng)3個(gè)單位正交特征向量e1，e2，e3，按列組成矩陣E（e1e2e3），有：

主成分方差貢獻(xiàn)率aj=λj/（λ1+λ2+λ3），j=1，2，3，累計(jì)方差貢獻(xiàn)率為：當(dāng)前k個(gè)主成分累計(jì)方差貢獻(xiàn)率達(dá)到85%～95%時(shí)，可認(rèn)為前k個(gè)主成分基本包含原系統(tǒng)的信息，第j主成分的計(jì)算表達(dá)式為：

2 基于仿真樣本的綜合指標(biāo)確定

2.1 珠磨機(jī)研磨腔流場(chǎng)分析

W型珠磨機(jī)研磨腔流場(chǎng)某截面如下圖3所示，轉(zhuǎn)子上均勻分布有銷釘和通孔，流體在研磨腔內(nèi)做繞主軸周向旋轉(zhuǎn)和軸向運(yùn)動(dòng)。

圖3 研磨腔流場(chǎng)某截面示意圖

轉(zhuǎn)子為非回轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)，珠磨機(jī)工作時(shí)，研磨腔內(nèi)流體形態(tài)在時(shí)間和空間上不斷變化，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)90°是一個(gè)小周期，研磨腔流場(chǎng)是一個(gè)周期性變空間瞬態(tài)流場(chǎng)，選用有限體積法求解研磨腔流場(chǎng)的瞬態(tài)問(wèn)題。

2.2 基于仿真樣本的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)

應(yīng)用流體仿真軟件求解轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為800r/min工況下的研磨腔流場(chǎng)，將CFD-POST后處理軟件計(jì)算得到湍流強(qiáng)度、湍動(dòng)能、湍流耗散率的數(shù)值作為主成分分析法的數(shù)據(jù)源，從整個(gè)研磨腔中隨機(jī)選取100000個(gè)計(jì)算節(jié)點(diǎn)作為樣本點(diǎn)，提取每個(gè)樣本點(diǎn)的3個(gè)指標(biāo)數(shù)值，組成原始數(shù)據(jù)矩陣X如下表1所示：

表1 原始樣本矩陣X

按照式（6）對(duì)原始數(shù)據(jù)矩陣X進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，標(biāo)準(zhǔn)化 后的樣本矩陣Z如表2所示：

表2 標(biāo)準(zhǔn)化后的樣本矩陣Z

由前述主成分的計(jì)算過(guò)程，在軟件中計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化后的樣本矩陣Z的協(xié)方差矩陣C，結(jié)果如下：

計(jì)算協(xié)方差矩陣C的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量，結(jié)果如下表3所示：

表3 特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量

每一個(gè)特征值代表其對(duì)應(yīng)的綜合指標(biāo)保留原系統(tǒng)的信息量，為確定珠磨機(jī)研磨效果評(píng)價(jià)的主成分個(gè)數(shù)，計(jì)算各個(gè)特征值的方差貢獻(xiàn)率和累計(jì)貢獻(xiàn)率，結(jié)果如下表4所示：

表4 主成分方差貢獻(xiàn)率

由表4知，特征值λ1的方差貢獻(xiàn)率為89.133%，說(shuō)明第一個(gè)主成分包含大部分信息，選取第一個(gè)主成分進(jìn)行珠磨機(jī)研磨效果的評(píng)價(jià)即可。第一個(gè)特征值λ1對(duì)應(yīng)的特征向量為：e1=（0.585 0.603 0.543）T，由式（8）計(jì)算第一主成分：

式（9）中，z1，z2，z3分別為研磨腔內(nèi)某一點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)化后的指標(biāo)值。第一主成分是隨機(jī)選取研磨腔內(nèi)100000個(gè)樣本點(diǎn)計(jì)算得到的，樣本點(diǎn)數(shù)足夠多，包含了研磨效果三個(gè)指標(biāo)的信息。與使用單個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)評(píng)價(jià)研磨效果相比，第一主成分是湍流強(qiáng)度、湍動(dòng)能、湍流耗散率這三個(gè)描述珠磨機(jī)研磨效果且量綱不同的評(píng)價(jià)指標(biāo)轉(zhuǎn)化后的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)，保留原來(lái)三個(gè)指標(biāo)的大部分信息，可直接將式（9）用于計(jì)算研磨腔內(nèi)任一點(diǎn)的研磨效果綜合評(píng)價(jià)得分。

3 珠磨機(jī)研磨效果評(píng)價(jià)

珠磨機(jī)研磨腔流場(chǎng)是一個(gè)周期性變空間瞬態(tài)流場(chǎng)，達(dá)到穩(wěn)定的工作狀態(tài)后，流場(chǎng)的變化為周期性變化。選取轉(zhuǎn)子穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)后的流場(chǎng)計(jì)算結(jié)果，以圖3所示截面為例，計(jì)算該截面各點(diǎn)研磨效果綜合評(píng)價(jià)得分，可權(quán)衡該截面上各點(diǎn)的研磨效果。

提取圖3所示流場(chǎng)截面上的全部計(jì)算節(jié)點(diǎn)，輸出該截面上各點(diǎn)的坐標(biāo)和3個(gè)原始評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)值，基于式（9）計(jì)算截面上各點(diǎn)綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)值，并在MATLAB中繪制截面各點(diǎn)綜合評(píng)價(jià)得分散點(diǎn)圖，能夠較直觀地判斷截面上不同位置的研磨效果，各點(diǎn)研磨效果綜合評(píng)價(jià)得分情況如下圖4所示：

圖4 某截面各點(diǎn)研磨效果綜合評(píng)價(jià)得分分布圖

根據(jù)顏色棒，截面上各點(diǎn)的顏色直觀反映該點(diǎn)的研磨效果綜合評(píng)價(jià)得分，得分高低與顏色棒相對(duì)應(yīng)，顏色越淺，綜合評(píng)價(jià)得分越高，研磨效果越好。由圖4可知，棒釘和循環(huán)通孔出口右側(cè)附近的研磨效果好，轉(zhuǎn)子外側(cè)比轉(zhuǎn)子內(nèi)側(cè)的研磨效果好，轉(zhuǎn)子右側(cè)與筒壁之間區(qū)域研磨效果不佳，其主要原因是轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)使得靠近銷釘處的流體速度增加，距離銷釘越遠(yuǎn)，流體速度越小，銷釘附近物料研磨更加充分，而在循環(huán)通孔出口附近，研磨后較粗的物料顆粒與從進(jìn)料口進(jìn)入的料漿混合，研磨介質(zhì)碰撞概率大，物料粉碎效果好。

4 結(jié)語(yǔ)

（1）珠磨機(jī)研磨效果評(píng)價(jià)涉及湍流強(qiáng)度、湍流耗散率和湍動(dòng)能三個(gè)原始指標(biāo)，在盡可能多的保留流場(chǎng)信息的基礎(chǔ)上，提出基于主成分分析法的珠磨機(jī)研磨效果綜合評(píng)價(jià)方法，得到800r/min轉(zhuǎn)速工況下的珠磨機(jī)的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算式，可定量描述研磨腔各點(diǎn)研磨效果。

（2）選取珠磨機(jī)研磨腔某截面，應(yīng)用綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算該截面各點(diǎn)研磨效果得分，繪制綜合評(píng)價(jià)得分分布圖，知轉(zhuǎn)子外側(cè)銷釘附近和循環(huán)通孔右側(cè)出口附近綜合評(píng)價(jià)得分較高，研磨效果好。

（3）由研磨腔某截面研磨效果綜合評(píng)價(jià)結(jié)果，確定綜合評(píng)價(jià)得分較低的區(qū)域，并依此對(duì)研磨腔結(jié)構(gòu)提出改進(jìn)建議，提高研磨效果。