基于激光三角法的圓柱度誤差評定研究

劉悅雷，劉勁濤，張 陳

（沈陽工程學(xué)院a.研究生部；b.機械學(xué)院，遼寧 沈陽 110136）

隨著能源電力現(xiàn)場零部件對檢測技術(shù)要求的提高，采用接觸探針式的傳統(tǒng)測量方法的局限性逐漸顯現(xiàn)。對于由軟性材料組成的高精度表面，該方法不僅會對工件表面造成劃傷，也會對測量的精度造成一定的影響［1］，而激光三角法以非接觸、無測量力、自動化程度高、測量范圍大等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于檢測領(lǐng)域［2-3］。要實現(xiàn)物體三維形貌測量、形位誤差評定及后續(xù)加工或修復(fù)工作，首先要利用各種測量設(shè)備并選擇合理的測量方法對三維模型的表面數(shù)據(jù)進行采集，然后建立適用于圓柱度的誤差評定數(shù)學(xué)模型及算法，最后對數(shù)學(xué)模型進行誤差評定，確定形貌測量誤差，為后續(xù)加工工序或修復(fù)提供數(shù)據(jù)支持。

1 測量系統(tǒng)的原理及坐標(biāo)變換

1.1 測量系統(tǒng)的原理

激光三角法可將含有位移測量值的光信號轉(zhuǎn)換為電信號，經(jīng)計算機識別處理，為后續(xù)工作提供數(shù)據(jù)支持。由于測量時的入射光線和反射光線構(gòu)成了一個三角形，所以被稱為激光三角法［4］，主要由激光器、透鏡、成像屏和后續(xù)信號處理電路組成，如圖1所示，封裝好的激光三角測量儀如圖2所示。

圖1 激光三角法原理

圖2 激光三角測量儀

激光器的光束i照射在被測工件上的P點，再經(jīng)過物體表面折射，通過透鏡投射到成像屏上的P'點。O點是激光束與參考平面A 的交點，O'點是O點經(jīng)過透鏡的像點。a為透鏡的物距，b為透鏡的像距，A'表示物體被測平面。P點距參考平面A 的距離L為

式中，L′表示成像點P′和O′的距離；a和b是固定參數(shù)。

1.2 坐標(biāo)系的建立與轉(zhuǎn)換

為了保證激光位移傳感器的測量精度，必須把測頭的安裝誤差控制在一定范圍內(nèi)，這就需要對測頭的安裝位置進行標(biāo)定。將激光探頭安裝在測量機的Z 軸上，測量完成后需要將點激光測頭（Point Laser Sensor，PLS）的測量值從自身坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到基準(zhǔn)坐標(biāo)系下，轉(zhuǎn)換過程中所涉及的坐標(biāo)系如圖3所示。

圖3 坐標(biāo)變換坐標(biāo)系

1）建立激光測量D的設(shè)備坐標(biāo)系O-XYZ，此坐標(biāo)系下的坐標(biāo)原點為光柵尺的0 位，導(dǎo)軌方向分別對應(yīng)坐標(biāo)軸的三個方向。

2）建立點激光測頭的測量坐標(biāo)系OS-xsyszs。PLS 坐標(biāo)系的原點是測量值為0 的點，坐標(biāo)軸的三個方向分別對應(yīng)X軸、Y軸和Z軸。

3）建立機器坐標(biāo)系OM-xMyMzM。測量機回零，并調(diào)節(jié)PLS測量值為0，將此點作為坐標(biāo)系的原點，坐標(biāo)軸的方向與激光測頭的坐標(biāo)軸方向一致。

將激光三角法的測量值從激光測頭坐標(biāo)系變換到機器坐標(biāo)系中，采用齊次坐標(biāo)來表示其變換過程：

在OS-xsyszs坐標(biāo)系中，假設(shè)激光束的單位向量分別用a、b、c表示，激光位移傳感器的讀數(shù)為l（l為激光束長度），則[alblcl]T就等于式中的[XSYSZS]T，[XSYSZS]T為PLS 坐標(biāo)系OS-xs yszs的測量值。旋轉(zhuǎn)矩陣A1 和平移矩陣B1 將[XSYSZS]T從OS-xsyszs坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到OM-xMyMzM，三坐標(biāo)光柵值讀數(shù)為(xM0,yM0,zM0)。

將A1、B1和[alblcl]T代入到式（3）中，便可把PLS 測量值從OS-xsyszs坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到OM-xMyMzM坐標(biāo)系，即可獲得PLS 激光束在三個坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)化。

2 圓柱度誤差數(shù)學(xué)模型及評定算法

本文分別采用最小二乘法［5-6］和最小區(qū)域法［7］建立圓柱度誤差數(shù)學(xué)模型并選擇合適的算法進行誤差評定。

2.1 圓柱度誤差數(shù)學(xué)模型

圓柱度誤差的評定原理如圖4所示。

圖4 圓柱度誤差的評定原理

設(shè)參考圓柱面為A，橫截面半徑為R，軸線為直線L，實際圓柱面上的采樣點坐標(biāo)為Qi(xi,yi,zi)，則采樣點Qi到參考圓柱面軸線的距離為γi，設(shè)軸線L的方程為

則有

依據(jù)形狀誤差定義可知圓柱度誤差為

2.2 最小二乘評定法

以被測實際表面的最小二乘圓柱面為參考圓柱面，進行圓柱度誤差評定的方法叫做最小二乘評定法。根據(jù)最小二乘法原理，選擇一個圓柱體的軸線作為最小二乘軸線，同時也作為該圓柱體的基準(zhǔn)軸線。根據(jù)該軸線建立兩個可以將實際圓柱體包含的理想圓柱面，外側(cè)圓柱體半徑減去內(nèi)側(cè)圓柱體半徑所得數(shù)值即為實際圓柱體的圓柱度誤差［8］。

依據(jù)最小二乘原理：

設(shè)(a*,b*,p*,q*,R*)為式（9）取得最小值的解：

則將(a*,b*,p*,q*)代入式（10）即可得到最小二乘法評定下的圓柱度誤差fLS：

2.3 最小區(qū)域法評定

首先，建立滿足最小條件的圓柱面作為參考，其軸線作為基準(zhǔn)軸線；然后，根據(jù)基準(zhǔn)軸線建立兩個同軸的圓柱面，將實際圓柱面包含在內(nèi)，則大圓柱面的半徑R減去小圓柱面的半徑r所得差值就表示圓柱度誤差［9］。

按圓柱度誤差評定法的要求，函數(shù)fZY(a,b,p,q)需取最小值。

設(shè)[a*,b*,p*,q*]T為滿足最小條件的參數(shù)，其極小值fZY(a,b,p,q)為該算法下的圓柱度誤差值，記為FZY。

3 數(shù)據(jù)采集及誤差評定

為了驗證激光三角法測量圓柱度誤差的可靠性，采用激光三角法與三坐標(biāo)測量機測量法對試件的數(shù)據(jù)進行采集，對測量數(shù)據(jù)進行最小二乘法誤差評定和最小區(qū)域法誤差評定。

3.1 數(shù)據(jù)采集

測量1 個直徑φ為30 mm 的圓柱體試件，選取3個不同截面，每個截面之間的距離為10 mm，在每個截面上按角度等分為12 個點，分別利用三坐標(biāo)測量機和激光測量系統(tǒng)對其進行測量，獲得圓柱度誤差數(shù)據(jù)如表1和表2所示。

表1 三坐標(biāo)測量機的采樣數(shù)據(jù) mm

表2 激光三角法測量的采樣數(shù)據(jù) mm

3.2 數(shù)據(jù)誤差評定

3.2.1 Matlab優(yōu)化工具箱介紹

在進行數(shù)據(jù)誤差評定前先要選取算法。優(yōu)化工具箱是Matlab 數(shù)值計算擴展計算能力的函數(shù)工具［10］，包括了常用的一些優(yōu)化算法模型。表3 和表4列出了幾種常見的函數(shù)及其求解類型。

表3 極小值問題函數(shù)

表4 極小值問題函數(shù)列表

在求解過程中，通常會根據(jù)目標(biāo)函數(shù)是否具有可微性來選擇算法。表3 中要求目標(biāo)函數(shù)具有可微性的算法有fminbnd、fmincon、fminimax 和fmi‐nunc，而ga 和fminsearch 不要求目標(biāo)函數(shù)可微。在表4 中，lsqlin 和lsqnonneg 可用于線性最小二乘問題；lsqcurvefit 和lsqnonlin 可用于非線性最小二乘求解。根據(jù)圓柱度誤差的目標(biāo)函數(shù)不可微并且不是凸函數(shù)，選取ga遺產(chǎn)算法。

3.2.2 誤差評定

在ga 遺傳算法中，初值對遺傳算法的最終結(jié)果具有很大的影響。因此，其求解過程如下：

1）確定最小二乘初值，代入(Xi,Yi,Zi)，用lsqnon‐lin算法求解，得到最小二乘解(a*,b*,p*,q*,R*)。

2）坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，如將(Xi,Yi,Zi)轉(zhuǎn)變?yōu)?xi,yi,zi)。

3）依據(jù)前面算法的設(shè)計，利用Matlab程序?qū)A柱度誤差進行評定。將表1和表2中的坐標(biāo)數(shù)據(jù)代入目標(biāo)函數(shù)中，分別利用激光測量系統(tǒng)和三坐標(biāo)測量機獲得采樣數(shù)據(jù)，用最小二乘法和最小區(qū)域法對其圓柱度誤差進行評定，通過fminsearch 算法求解，將激光測量系統(tǒng)的評定結(jié)果與三坐標(biāo)測量的結(jié)果進行比較，結(jié)果如表5 所示。同時，繪制圓柱度誤差評定結(jié)果的數(shù)據(jù)曲線，如圖5 所示。結(jié)合表5與圖5 可知，激光三角法的測量結(jié)果具有很好的可靠性，可以用于在線檢測環(huán)境。

表5 圓柱度誤差評定結(jié)果

圖5 圓柱度誤差評定結(jié)果曲線

4 結(jié)論

1）激光三角法測量數(shù)據(jù)的最小區(qū)域法評定結(jié)果與三坐標(biāo)測量機的結(jié)果幾乎相同，說明線性誤差很小。

2）兩次最小區(qū)域法的誤差評定結(jié)果都小于最小二乘法的誤差評定結(jié)果，說明最小區(qū)域法的誤差評定方法在符合最小條件原理的同時，還能夠有效地收斂到全局最優(yōu)點。

3）當(dāng)激光三角法測量評定方法用于實際測量時，評定時間較短，速率較快，具有一定的優(yōu)勢。通過誤差評定結(jié)果可知，在圓柱度誤差評定的測量方法中，基于激光三角法的測量方法是可行的。