基于空間平滑的單次快拍DOA 估計(jì)方法

張賀勇，王新宇，楊 杰，麻麗俊，孫 娟

（1.北方自動(dòng)控制技術(shù)研究所，太原 030006；2.駐南京地區(qū)第三軍事代表室，南京 211153）

0 引言

空間消息信號(hào)的波達(dá)方向（Direction of arrival，DOA）估計(jì)是空間信號(hào)處理過(guò)程實(shí)驗(yàn)中的首要技術(shù)任務(wù)之一，在雷達(dá)對(duì)抗偵察等許多領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛，但隨著信息技術(shù)進(jìn)步，電磁環(huán)境越來(lái)越復(fù)雜，以往的算法難以滿足作戰(zhàn)需求，所以單次快拍DOA估計(jì)算法獲得了發(fā)展［1-2］。MUSIC 算法［3］和ESPRIT算法［4］為當(dāng)前超聲波分辨率和方位差的估計(jì)研究開(kāi)辟了廣闊前景，并且已經(jīng)成為最經(jīng)典的子空間估計(jì)算法。然而相干信號(hào)將使得接收信號(hào)數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣發(fā)生秩虧，使信號(hào)子空間和噪聲子空間不正交，從而使此類算法失效。因此，在具有多徑傳播或人為干擾的復(fù)雜使用狀態(tài)下，常用的子空間類算法無(wú)法準(zhǔn)確地分辨信號(hào)的DOA 估計(jì)。為了使相干信號(hào)得到去相關(guān)處理，文獻(xiàn)［5-7］提到了基于空間平滑的技術(shù)，但是該算法增加了計(jì)算量。

以上所介紹的DOA 算法都使用大量的快拍采樣，以便更好地近似統(tǒng)計(jì)協(xié)方差矩陣，從而提高估計(jì)性能，但是無(wú)法滿足其對(duì)高實(shí)時(shí)性的需求。在通訊系統(tǒng)使用時(shí)，信號(hào)目標(biāo)轉(zhuǎn)瞬即逝，無(wú)法實(shí)現(xiàn)接收信號(hào)的大量快拍數(shù)據(jù)采樣的DOA 估計(jì)。在電子雷達(dá)戰(zhàn)場(chǎng)景下，系統(tǒng)可以應(yīng)用干擾目標(biāo)回波對(duì)策，因?yàn)槟壳按蟛糠指蓴_相對(duì)滯后，目標(biāo)回波的第一部分是干凈的，并不會(huì)受到干擾噪聲的污染，可以準(zhǔn)確地估計(jì)目標(biāo)位置。文獻(xiàn)［8］建立了基于單快拍數(shù)據(jù)重構(gòu)協(xié)方差矩陣算法，盡管該算法極大地減少了計(jì)算量，但對(duì)來(lái)波信號(hào)的要求過(guò)高，必須得到滿足，而在實(shí)際中幾乎是不可能的。文獻(xiàn)［9］建立了基于傳播算子的協(xié)方差矩陣重構(gòu)的DOA 算法，但是該算法要求陣元數(shù)為奇數(shù)，而且減少了一半的陣列孔徑。文獻(xiàn)［10-11］充分利用了單次快拍采樣數(shù)據(jù)及其共軛，能夠?qū)崿F(xiàn)DOA 的準(zhǔn)確估計(jì)，提高了系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性，但是性能沒(méi)有達(dá)到最佳。

針對(duì)DOA 估計(jì)的實(shí)時(shí)和獲得干凈數(shù)據(jù)的問(wèn)題，本文將空間平滑技術(shù)與Toeplitz 矩陣的性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，提出了基于空間平滑的單快拍DOA 估計(jì)算法。通過(guò)空間平滑技術(shù)，對(duì)獲取到的單次快拍數(shù)據(jù)信號(hào)實(shí)現(xiàn)解相干處理，并對(duì)Toeplitz 矩陣進(jìn)行協(xié)方差處理，結(jié)合已有的MUSIC 算法和ESPRIT 算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行DOA 估計(jì)。

1 信號(hào)模型

考慮在一遙遠(yuǎn)場(chǎng)景空間區(qū)域中有P 個(gè)窄帶信號(hào)平行射入到陣元間距為d 的N 元均勻等距線性陣列（其中，N＞P），它的發(fā)射方向和夾角分別為θ1，θ2，…，θp。則t 時(shí)刻該陣列接收到的信號(hào)為：

2 DOA 估計(jì)算法

2.1 算法分析

陣列天線獲取數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可以表現(xiàn)為如下公式：

當(dāng)一個(gè)來(lái)波相干信號(hào)為非相干噪聲信號(hào)時(shí)，協(xié)方差矩陣的秩等于一個(gè)來(lái)波相干信號(hào)的個(gè)數(shù)，對(duì)協(xié)方差矩陣采用信號(hào)數(shù)據(jù)特征和數(shù)值式的分解，得到一個(gè)正交的信號(hào)子空間和噪聲子空間，通過(guò)基于子空間類估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)DOA 估計(jì)。但是當(dāng)一個(gè)來(lái)波信號(hào)作為一個(gè)相干來(lái)波信號(hào)時(shí)，協(xié)方差特征矩陣的秩就會(huì)發(fā)生減少，導(dǎo)致來(lái)波信號(hào)的特征矢量發(fā)散到噪聲子空間中，從而也就導(dǎo)致常用的子空間類算法不能準(zhǔn)確地對(duì)其進(jìn)行DOA 估計(jì)。

以左側(cè)首個(gè)子陣作參考，那么第k 個(gè)子陣的接收信號(hào)可表示為：

很明顯得到的矩陣R 具有共軛對(duì)稱性質(zhì)（Toeplitz 性質(zhì)），但是對(duì)角線上的元素并不匹配，因此，為了把矩陣R 構(gòu)造成Toeplitz 矩陣，對(duì)每條對(duì)角線上的元素做平均，得到的矩陣如下所示：

式中，Rij表示矩陣R 中的各個(gè)元素。

2.2 DOA 估計(jì)

通過(guò)噪聲特征算法對(duì)矩陣Rx 進(jìn)行特征分解，得到了一個(gè)相應(yīng)的信號(hào)子空間US和噪聲子空間UN，并同時(shí)結(jié)合了MUSIC 算法進(jìn)行DOA 估計(jì)。其譜向量空間的搜索函數(shù)公式如下所示：

2.3 算法步驟

3）根據(jù)公式構(gòu)造矩陣Y；

4）對(duì)矩陣Y 進(jìn)行協(xié)方差處理，獲得矩陣R；

5）對(duì)矩陣R 的對(duì)角線元素做平均，獲得Toeplitz 矩陣Rx；

6）對(duì)Rx 采用特征數(shù)據(jù)信號(hào)分解，可以獲得特征信號(hào)子空間和噪聲子空間；

7）利用MUSIC 算法或者ESPRIT 算法進(jìn)行角度估計(jì)。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

3.1 DOA 估計(jì)的性能分析

4 個(gè)全相干遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)源入射到陣元數(shù)為17的均勻等距線性陣列上，子陣的個(gè)數(shù)為9，MUSIC 算法的搜索步長(zhǎng)為0.1°；其入射的方向分別為-30°、-10°、20°、45°，信噪比SNR=10 dB，測(cè)試結(jié)果如下頁(yè)圖2 所示。其余條件不變，3 個(gè)全相干入射信號(hào)的方向分別為-30°、-10°、20°，非相干入射信號(hào)方向?yàn)?5°，通過(guò)本文的算法實(shí)現(xiàn)DOA 估計(jì)，其測(cè)試結(jié)果如圖3 所示。

從圖2 和圖3 可以看到無(wú)論對(duì)于相干信號(hào)，還是同時(shí)包含有相干、非相干的混合信號(hào)，本文主要給出的兩種算法都能更好地用于實(shí)現(xiàn)信號(hào)DOA 估計(jì)，這是由于采取的是單拍數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行重新構(gòu)建，無(wú)論其入射信號(hào)是否完全相干，都能有效地確保協(xié)方差矩陣的秩和信源數(shù)相等。

圖2 4 個(gè)全相干信號(hào)的DOA 估計(jì)結(jié)果

圖3 3 個(gè)全相干信號(hào)和1 個(gè)非相干信號(hào)的DOA 估計(jì)結(jié)果

3.2 估計(jì)性能比較

3 個(gè)窄帶信號(hào)，其DOA 角度為［-50°，20°，45°］，陣元個(gè)數(shù)為17，子陣的個(gè)數(shù)為9，搜索步長(zhǎng)為0.1°；在相同的環(huán)境條件下比較了本文的算法和文獻(xiàn)［10］中的算法，當(dāng)信噪比SNR=0 dB 時(shí)，仿真實(shí)驗(yàn)后如圖4 所示，當(dāng)信噪比SNR=10 dB 時(shí)，仿真實(shí)驗(yàn)后如圖5 所示。

從圖4 和圖5 的對(duì)比可以得到用本文提出的MUSIC 算法進(jìn)行DOA 估計(jì)，無(wú)論信噪比的高低，都可以實(shí)現(xiàn)更加準(zhǔn)確的估計(jì)，而文獻(xiàn)［10］的算法在高信噪比的時(shí)候仍能夠得到準(zhǔn)確的估計(jì)，但是在低信噪比下，估計(jì)誤差比本文所提出的算法更大。

圖4 SNR=0 dB 時(shí)的兩種算法的結(jié)果對(duì)比

圖5 SNR=10 dB 時(shí)的兩種算法的結(jié)果對(duì)比

3.3 統(tǒng)計(jì)性能比較

2 個(gè)全相干窄帶信號(hào)源入射到陣元數(shù)為17 的均勻等距線性陣列上，子陣的個(gè)數(shù)為7，MUSIC 算法的搜索步長(zhǎng)為0.1°；入射信號(hào)滿足要求，入射方向分別為［-30°，45°］，信噪比SNR 從-10 dB 變化到25 dB，信噪比增加的狀態(tài)下做300 次蒙特·卡羅獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，定義了每個(gè)信號(hào)的估計(jì)偏差在1 °之內(nèi)，認(rèn)為這次估算是成功的。在相同環(huán)境條件下比較了本文算法、文獻(xiàn)［8］算法和文獻(xiàn)［10］算法的DOA 估計(jì)成功概率，其結(jié)果如圖6 所示。圖7 仿真比較了本文算法和文獻(xiàn)［10］算法的DOA 估計(jì)的均方誤差（RMSE）隨著信噪比（SNR）變化的曲線，SNR從-3 dB 變化到25 dB，其他條件同上。借鑒了陣列接收到的數(shù)據(jù)本身和其共軛的形式，有效地利用了接收數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性。在較低信噪比下，本文算法的DOA 估計(jì)成功概率要比文獻(xiàn)［10］的算法更好，即統(tǒng)計(jì)意義上的DOA 估計(jì)性能高于文獻(xiàn)［10］的算法。由于文獻(xiàn)［10］中的算法已經(jīng)失效，所以圖7 只仿真了剩余兩種算法的RMSE。由圖可知，無(wú)論信噪比的高低，本文算法都有更低的RMSE。

圖6 時(shí)，成功概率隨SNR 的變化

圖7 時(shí)，RMSE 隨SNR 的變化

圖8 時(shí)，成功概率SNR 的變化

圖9 時(shí)，RMSE 隨SNR 的變化

3.4 與多快拍算法的估計(jì)性能比較

在信噪比SNR 從0 dB 升高到25 dB 的狀態(tài)下，做300 次蒙特·卡羅獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，其他條件同上。圖10 仿真了本文算法和多快拍的前向空間平滑算法（FSS 算法）的均方誤差（RMSE）隨著SNR 變化的結(jié)果，其中，F(xiàn)SS 算法采用的快拍數(shù)為500。

圖1 空間平滑結(jié)構(gòu)圖

由圖10 可知，本文算法近似媲美多快拍的前向空間平滑算法的效果，證明了該算法的有效性。

圖10 DOA 估計(jì)的RMSE 曲線隨SNR 的變化曲線

4 結(jié)論

本文就DOA 估計(jì)的實(shí)時(shí)性和搜集干凈數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)了一種基于空間平滑的單次快拍DOA 估計(jì)算法。由空間平滑技術(shù)對(duì)獲得的單快拍數(shù)據(jù)采用解相干處理，再對(duì)Toeplitz 矩陣進(jìn)行協(xié)方差處理構(gòu)造，采用信號(hào)特征分解，使用MUSIC 算法和ESPRIT 算法，對(duì)信號(hào)實(shí)現(xiàn)DOA 估計(jì)。在相同環(huán)境條件下，通過(guò)對(duì)計(jì)算機(jī)仿真的實(shí)驗(yàn)分析證明，該算法可以使用單快拍數(shù)據(jù)對(duì)相干和非相干信號(hào)進(jìn)行精確的DOA估計(jì)；與文獻(xiàn)［8］相比，該算法無(wú)需限制來(lái)波信號(hào)的類型，具有實(shí)際的工程應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)也對(duì)噪聲作了協(xié)方差處理，增加了抗噪聲干擾的能力；與文獻(xiàn)［10］算法相比，該算法無(wú)論信噪比高低，都有更低的RMSE；與前向空間平滑算法相比，本文算法的估計(jì)性能可以與空間平滑算法相媲美，而且其運(yùn)算量也大大減少。