基于0 特征值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控與優(yōu)化研究

王 帥，李 婷

（陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)裝備模擬訓(xùn)練中心，石家莊 050003）

0 引言

現(xiàn)實(shí)世界中，許多復(fù)雜的系統(tǒng)均可用網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)來(lái)描述，如實(shí)際的互聯(lián)網(wǎng)、電力網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)和抽象的人際社會(huì)關(guān)系網(wǎng)、生態(tài)鏈網(wǎng)絡(luò)等。這些網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，由于其網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)眾多，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜、鏈路多變，因此，常將這類網(wǎng)絡(luò)稱之為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)研究的深入，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控性成為眾多學(xué)者研究的熱點(diǎn)。2011 年，Liu［1］率先運(yùn)用自動(dòng)控制理論，在Lin［2］基礎(chǔ)上研究了網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)控制問(wèn)題，提出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可控性理論，基于Kalman 秩判據(jù)開(kāi)展復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)可控性分析。文獻(xiàn)［3］針對(duì)擁有自環(huán)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)可調(diào)解網(wǎng)絡(luò)研究了其可控性，并得出該網(wǎng)絡(luò)可控僅需一個(gè)驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)的結(jié)論；文獻(xiàn)［4］采用代數(shù)研究的方法，基于圖的連通性開(kāi)展控制節(jié)點(diǎn)選取研究，并對(duì)方法作了仿真驗(yàn)證；文獻(xiàn)［5］研究網(wǎng)絡(luò)控制過(guò)程的能量代價(jià)，證明了網(wǎng)絡(luò)控制的復(fù)雜程度與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)緊密相關(guān)；文獻(xiàn)［6］區(qū)分了網(wǎng)絡(luò)控制節(jié)點(diǎn)作用，通過(guò)將網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)劃分為關(guān)鍵點(diǎn)、間歇點(diǎn)和冗余點(diǎn)，描述了網(wǎng)絡(luò)控制的不同方式；文獻(xiàn)［7］引入了節(jié)點(diǎn)控制能力概念，利用添加輸入或者連邊的方法，給出了網(wǎng)絡(luò)精確可控的最小驅(qū)動(dòng)點(diǎn)集合和極小被控點(diǎn)集合算法，但是算法仍然較為復(fù)雜且所得不是解析解；文獻(xiàn)［8］針對(duì)有向圖，引入“支配中心性”這一新的指標(biāo)，評(píng)估有向圖中頂點(diǎn)對(duì)其他節(jié)點(diǎn)的控制和觀測(cè)能力；文獻(xiàn)［9］基于PBH 可控性判定提出了嚴(yán)格可控性理論，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)即最小控制輸入節(jié)點(diǎn)的數(shù)學(xué)求解。

戰(zhàn)場(chǎng)指揮通信網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)眾多，屬于典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，具有復(fù)雜和動(dòng)態(tài)兩種特征。要保證戰(zhàn)場(chǎng)指揮通信網(wǎng)絡(luò)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)、每條鏈路都正常運(yùn)行，需要消耗有限的管理控制資源，增大了網(wǎng)絡(luò)的管理控制難度，使其安全性、穩(wěn)定性、可靠性等方面問(wèn)題凸顯。目前的應(yīng)對(duì)措施沒(méi)有從戰(zhàn)場(chǎng)指揮通信網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)這一根本原因出發(fā)，缺乏有效的解決方案，特別是未來(lái)戰(zhàn)場(chǎng)指揮通信網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，若無(wú)有效應(yīng)對(duì)方案，將會(huì)制約戰(zhàn)場(chǎng)信息網(wǎng)絡(luò)建設(shè)。因此，需要研究戰(zhàn)場(chǎng)指揮通信網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行合理有效的結(jié)構(gòu)控制方法，解決戰(zhàn)場(chǎng)指揮通信網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控性。

1 基于“0 特征值”的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控求解

開(kāi)展復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可控性研究，是基于結(jié)構(gòu)控制理論將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)視為一個(gè)系統(tǒng)，對(duì)于有n 個(gè)節(jié)點(diǎn)、m 個(gè)控制輸入（m≤n）的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，其運(yùn)行狀態(tài)方程可表述為［10-11］。

其中，A 為n 階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣，x=（x1，x2，…，xn）T為n 維網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行狀態(tài)變量，u=（u1，u2，…uM）T為m維輸入變量，輸入矩陣B 為控制輸入矩陣。此時(shí)，在系統(tǒng)可控性判據(jù)約束下，系統(tǒng)的可控性由系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣決定，與系統(tǒng)外部具體輸入無(wú)關(guān)。常用的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控性判定方法有兩種：基本秩判據(jù)［1］和PBH 秩判據(jù)［10］。

1）基本秩判據(jù)是構(gòu)造判定矩陣Q=［B AB A2B，… ，An-1B］=［I A A2，…，An-1］·B，通過(guò)矩陣Q 的秩來(lái)判定復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是否結(jié)構(gòu)可控，若rank（Q）=n，即判定矩陣滿秩則網(wǎng)絡(luò)是結(jié)構(gòu)可控的，若rank（Q）＜n 則網(wǎng)絡(luò)是結(jié)構(gòu)不可控。

2）PBH 秩判據(jù)是構(gòu)造判定矩陣Pk=［λkI-A|B］（λk為鄰接矩陣A 所對(duì)應(yīng)的所有特征值，k=1，2，…，n）。若所有k 對(duì)應(yīng)的Pk都滿足rank（Pk）=n，則復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控，如果有任一k 對(duì)應(yīng)的Pk滿足rank（Pk）＜n，則復(fù)雜結(jié)構(gòu)不可控。

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控的秩判定說(shuō)明了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)可控性判斷，取決于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣A 和控制輸入矩陣B。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控最少控制輸入點(diǎn)求解的思想是：基于鄰接矩陣A 和輸入矩陣B 構(gòu)造判斷矩陣，通過(guò)變換B 使判斷矩陣滿秩，B 變換對(duì)應(yīng)的行及行數(shù)量即是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控的最少輸入控制節(jié)點(diǎn)數(shù)。

這里，將進(jìn)一步對(duì)PHB 秩判據(jù)進(jìn)行深入討論。對(duì)于n 個(gè)節(jié)點(diǎn)的無(wú)向網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，則其鄰接矩陣A 為n 階對(duì)稱矩陣，且元素僅為0 或1。因此，A 為較為特殊的一種矩陣，除了具備一般n 階矩陣常見(jiàn)性質(zhì)外，還有些特殊性質(zhì)。

定理1：鄰接矩陣A 為n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，不考慮特征值的重復(fù)次數(shù)，則A 一定有n 個(gè)特征值。

證明：由矩陣?yán)碚摚?2-13］定理可知，對(duì)于n 階實(shí)對(duì)稱矩陣A 必能相似對(duì)角化，且相似對(duì)角化對(duì)角線上的元素即為A 的特征值，則A 有n 個(gè)特征值。

定理2：對(duì)于n 階實(shí)對(duì)稱鄰接矩陣A，當(dāng)矩陣秩rank（A）=k（k 為正整數(shù)且0＜k＜n），則λ=0 為A 的特征值，且為（n-k）重。

證明：A 為實(shí)對(duì)稱矩陣，由于A 不滿秩，則A必然存在值為0 的特征值。又由于A 必然能夠相似對(duì)角化，則說(shuō)明A 必然有n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，特征根重根對(duì)應(yīng)線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)等于其重?cái)?shù)。由于A 的秩為k，則特征根λ=0 為重根，其對(duì)應(yīng)（n-k）個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量，即λ=0 為（n-k）重。

推論1：對(duì)于n 階實(shí)對(duì)稱鄰接矩陣A，不存在非0 特征之外的多重特征值。

證明：假設(shè)A 存在除0 以外的多重特征根λ'≠0，其重?cái)?shù)為m（m 為正整數(shù)，0＜m＜n），則

由于是對(duì)稱矩陣，則rank（A）=n-rank（λ'I-A）=n-m。

而根據(jù)定理2，當(dāng)rank（A）=n-m 時(shí)，特征值為0且其重?cái)?shù)為n-（n-m）=m，這與λ'≠0 矛盾，因此，不成立。

推論2：對(duì)于n 階實(shí)對(duì)稱鄰接矩陣A，當(dāng)rank（A）=n 時(shí)，其有n 個(gè)特征值，這些特征值互不相同且均不為0。

證明：由于A 為實(shí)對(duì)稱矩陣，當(dāng)rank（A）=n 時(shí)，對(duì)于任意特征值λi都有

即所有特征值λi的重?cái)?shù)都為1。下面證明任意λi≠0。

反證法。如果有一特征值為0，則滿足

然而，rank（0I-A）=rank（A）=n，相互矛盾，故λ'≠0，證畢。

需要說(shuō)明的是，當(dāng)rank（A）=n，A 中行（列）向量均線性無(wú)關(guān)，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)可控結(jié)構(gòu)是最少輸入控制點(diǎn)數(shù)量為1。

綜上所述，關(guān)于具有n 個(gè)節(jié)點(diǎn)的無(wú)向復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控，其最少輸入控制點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解轉(zhuǎn)化為其鄰接矩陣的“0 特征值”階數(shù)。可得結(jié)論：對(duì)于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的無(wú)向復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，其最少控制輸入點(diǎn)個(gè)數(shù)等于A 的0 特征值個(gè)數(shù)，即Nd為：

通常，將網(wǎng)絡(luò)可控最少控制輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)的比值定義為網(wǎng)絡(luò)可控度nd，其表達(dá)式為：

網(wǎng)絡(luò)可控度與Nd成正比，反映了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控的復(fù)雜程度，其值越大，說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)最少輸入控制節(jié)點(diǎn)數(shù)多，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控性差；反之，其值越小說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控性較好。

2 基于“0”特征值的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化策略

“0 特征值”對(duì)應(yīng)的特征矩陣存在著零向量、重復(fù)向量和線性相關(guān)向量。這是向量包含若干節(jié)點(diǎn)（行），對(duì)這些節(jié)點(diǎn)通過(guò)調(diào)整邊連接關(guān)系（增加或減少），最大限度消除零向量、重復(fù)向量和線性相關(guān)向量，則網(wǎng)絡(luò)可控最小控制輸入點(diǎn)就會(huì)減少，網(wǎng)絡(luò)可控性就會(huì)提高?；诖?，可以采用消除多重特征根的特征向量來(lái)優(yōu)化復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。在優(yōu)化過(guò)程中，設(shè)定每個(gè)運(yùn)行步長(zhǎng)只允許對(duì)一條邊進(jìn)行一次增邊或減邊操作，具體優(yōu)化策略如下：

2.2 鎮(zhèn)咳平喘作用 天冬的鎮(zhèn)咳、平喘、祛痰作用較強(qiáng)，最早在《本草綱目》中有記載，天冬酰胺是其鎮(zhèn)咳的有效成分之一。天冬醇提物對(duì)濃氨水引起的小鼠咳嗽和由組胺引起的豚鼠咳嗽有顯著抑制作用，其中對(duì)小鼠有較為明顯的祛痰作用，對(duì)組胺引起的豚鼠哮喘模型起平喘作用[16]。天冬總皂苷可以抑制哮喘模型小鼠的氣道炎性因子，顯著降低白細(xì)胞介素(interleukin，IL)4、IL-13和COX-2的水平，抑制誘導(dǎo)型一氧化氮合酶的表達(dá)，還可增加巨噬細(xì)胞數(shù)量，減小支氣管周圍血管增生及膠原蛋白層厚度，抑制血管內(nèi)皮生長(zhǎng)因子表達(dá)[17]。

1）特征根向量集中是否存在零向量。如果存在，則逐個(gè)找到各零向量的對(duì)應(yīng)行，對(duì)其進(jìn)行增邊操作。

2）特征根向量集中是否存在重復(fù)向量。如果存在，則逐個(gè)找到每個(gè)重復(fù)向量的對(duì)應(yīng)行，隨機(jī)選取其中節(jié)點(diǎn)進(jìn)行增邊或減邊操作。重復(fù)上述步驟直至重復(fù)向量消除。

3）特征根向量集中是否存在線性相關(guān)向量。如果存在，則在線性相關(guān)向量的對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)集中，任選一個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接改變，即進(jìn)行邊連接變換操作（一般為增邊）。重復(fù)上述步驟直至線性相關(guān)向量最少。

在消除重復(fù)向量和線性相關(guān)向量過(guò)程中，減邊操作可能會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)孤立節(jié)點(diǎn)（零向量），因此，在重復(fù)向量和線性相關(guān)向量?jī)?yōu)化后，均需進(jìn)一步判斷網(wǎng)絡(luò)中是否存在零向量。當(dāng)優(yōu)化后的特征矩陣不存在零向量和重復(fù)向量，線性相關(guān)向量將至最少時(shí)（不一定為0），優(yōu)化完成。此時(shí)，特征矩陣（-A）的行相關(guān)性最小，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控性得到提高。基于“0 特征值”的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化流程如圖1 所示。

圖1 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化流程

3 實(shí)際網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用分析

以某指揮通信網(wǎng)為例研究，該指揮網(wǎng)包括1 個(gè)中心指揮子網(wǎng)、1 個(gè)后方保障子網(wǎng)、1 個(gè)機(jī)動(dòng)指揮子網(wǎng)，7 個(gè)運(yùn)行子網(wǎng)，每個(gè)子網(wǎng)包含若干通信節(jié)點(diǎn)；同時(shí)陣地間5 個(gè)通信節(jié)點(diǎn)的干線通信網(wǎng)，另有衛(wèi)星中繼通信節(jié)點(diǎn)、3 個(gè)衛(wèi)星地面站節(jié)點(diǎn)和2 個(gè)衛(wèi)星背負(fù)站接入節(jié)點(diǎn)，共51 個(gè)通信節(jié)點(diǎn)，涉及的通信方式有電臺(tái)、微波、光纖、衛(wèi)星等。該指揮網(wǎng)結(jié)構(gòu)為層級(jí)結(jié)構(gòu)，其中，干線通信子網(wǎng)和微波中繼子網(wǎng)采用的網(wǎng)狀拓?fù)洌瑯?gòu)成點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的網(wǎng)狀連接；衛(wèi)星中繼通信子網(wǎng)采用星型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，由地面站和背負(fù)式接入站構(gòu)成中繼通信鏈路；其余通信子網(wǎng)采用星型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，各個(gè)子網(wǎng)以中心節(jié)點(diǎn)核心，各個(gè)子網(wǎng)核心節(jié)點(diǎn)通過(guò)干線通信子網(wǎng)及中繼子網(wǎng)能夠連接。由于戰(zhàn)場(chǎng)指揮通信網(wǎng)絡(luò)為雙向傳遞，而有向網(wǎng)絡(luò)通常用于描述單向信息傳遞，且由于研究指揮通信網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)可控性，僅考慮網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的連接情況而不考慮節(jié)點(diǎn)間的距離和介質(zhì)，即不考慮網(wǎng)絡(luò)中邊的權(quán)值，因此，可將戰(zhàn)場(chǎng)指揮通信網(wǎng)絡(luò)限定為無(wú)向、無(wú)權(quán)網(wǎng)絡(luò)。此外，指揮通信網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的實(shí)際應(yīng)用決定了網(wǎng)絡(luò)為無(wú)自環(huán)網(wǎng)絡(luò)。同時(shí)研究過(guò)程中，為了保證節(jié)點(diǎn)控制輸入的有效性，將每一個(gè)控制輸入視為單控制輸入，即每個(gè)控制僅能對(duì)某一節(jié)點(diǎn)進(jìn)行輸入。此時(shí)，將51 個(gè)通信節(jié)點(diǎn)分別進(jìn)行編號(hào)，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系，繪制出其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，共包括69 條邊，如圖2 所示。

圖2 某指揮通信網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

由網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，得出該網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣A 為51×51 對(duì)稱仿真，其簡(jiǎn)略表示如下：陣A，對(duì)其求秩，得

其次，根據(jù)“0 特征值”特性可知，鄰接矩陣A 存在重?cái)?shù)為19 的“0”特征值，則可得該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控的最少控制輸入點(diǎn)個(gè)數(shù)Nd為

再次，求解0 特征值對(duì)應(yīng)的特征矩陣（-A）進(jìn)行初等變換，求解出其存在8 組重復(fù)向量和5 組線性相關(guān)向量，具體如表1 所示。

表1 “0 特征值”對(duì)應(yīng)特征矩陣初等變換結(jié)果數(shù)據(jù)

網(wǎng)絡(luò)可控最少輸入節(jié)點(diǎn)是要從這8 組重復(fù)向量和5 組線性相關(guān)向量組包含的節(jié)點(diǎn)中選取19 個(gè)節(jié)點(diǎn)為控制最少輸入點(diǎn)。從計(jì)算結(jié)果可知，重復(fù)向量組和線性相關(guān)向量組之間有交叉節(jié)點(diǎn)，分別為2、12、15、22、33、36；線性相關(guān)向量組之間也有交叉點(diǎn)，分別為：19、20、47 共9 個(gè)節(jié)點(diǎn)，具體實(shí)施時(shí)，這些節(jié)點(diǎn)可以視為必選點(diǎn)，剩余10 個(gè)節(jié)點(diǎn)可以從剩余節(jié)點(diǎn)中按照PHB 置換原則進(jìn)行選擇，這樣可以進(jìn)一步縮小最少輸入控制點(diǎn)集合。

依據(jù)“0 特征值”對(duì)應(yīng)特征向量的優(yōu)化策略，對(duì)該網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化，經(jīng)過(guò)32 步優(yōu)化操作，得到優(yōu)化后的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖3 所示。

圖3 結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的旅級(jí)戰(zhàn)場(chǎng)信息網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

對(duì)優(yōu)化前后網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到優(yōu)化前后網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)部分指標(biāo)數(shù)據(jù)對(duì)比如表2 所示。

表2 網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化前后網(wǎng)結(jié)構(gòu)特性對(duì)比表

從表1 可以看出優(yōu)化后的網(wǎng)絡(luò)增加了部分邊數(shù)，結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，但是網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)指標(biāo)數(shù)據(jù)相比先前網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有了明顯優(yōu)化，可控性大大提到。當(dāng)然這個(gè)優(yōu)化過(guò)程可以進(jìn)一步結(jié)合網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的使命任務(wù)和通信方式，則優(yōu)化后的網(wǎng)絡(luò)更具價(jià)值。

進(jìn)一步地，從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)抗毀性對(duì)優(yōu)化前后網(wǎng)絡(luò)性能進(jìn)行對(duì)比。分別采用隨機(jī)攻擊和蓄意攻擊［14-15］兩種方式進(jìn)行。隨機(jī)攻擊時(shí)考察網(wǎng)絡(luò)的連通狀態(tài)隨機(jī)攻擊網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)量增加的變化情況，為消除隨機(jī)性，建立200 次攻擊樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。則網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化前后網(wǎng)絡(luò)達(dá)到不連通狀態(tài)所需要的攻擊節(jié)點(diǎn)數(shù)量，如圖4 所示。

圖4 隨機(jī)攻擊條件下網(wǎng)絡(luò)失效隨攻擊節(jié)點(diǎn)數(shù)量變化圖

由圖4 可見(jiàn)，隨機(jī)攻擊條件下，優(yōu)化前網(wǎng)絡(luò)平均遭受6 個(gè)節(jié)點(diǎn)的攻擊網(wǎng)絡(luò)便處于不連通狀態(tài)，優(yōu)化后網(wǎng)絡(luò)平均遭受14 個(gè)節(jié)點(diǎn)的攻擊網(wǎng)絡(luò)，才能失效為不連通，網(wǎng)絡(luò)抗隨機(jī)攻擊性能大幅提高，證明了在隨機(jī)攻擊條件下網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化策略的有效性。

蓄意攻擊分別采用按節(jié)點(diǎn)度和節(jié)點(diǎn)介數(shù)進(jìn)行攻擊，考察網(wǎng)絡(luò)最大連通子圖數(shù)量變化和網(wǎng)絡(luò)效率［16］變化情況，如圖5 所示。

圖5 不同攻擊條件下網(wǎng)絡(luò)性能變化隨攻擊節(jié)點(diǎn)數(shù)量變化圖

由圖5 可見(jiàn)，隨意攻擊條件下，優(yōu)化前網(wǎng)絡(luò)的最大連通子網(wǎng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量和網(wǎng)絡(luò)效率下降相對(duì)較慢；按節(jié)點(diǎn)度攻擊條件下，優(yōu)化前網(wǎng)絡(luò)的最大連通子網(wǎng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量和網(wǎng)絡(luò)效率均劇烈下降，網(wǎng)絡(luò)很快失效；按節(jié)點(diǎn)介數(shù)攻擊條件下，優(yōu)化前網(wǎng)絡(luò)的最大連通子網(wǎng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量和網(wǎng)絡(luò)效率呈現(xiàn)快速下降。然而，同樣攻擊條件下，最大連通子圖節(jié)點(diǎn)數(shù)量和網(wǎng)絡(luò)效率較優(yōu)化前下降過(guò)程更為緩慢，表現(xiàn)了更好的抗毀性能，也證明了蓄意攻擊條件下網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化策略的有效性。

4 結(jié)論

基于“0 特征值”的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控最少輸入點(diǎn)數(shù)量求解和結(jié)構(gòu)優(yōu)化策略，本質(zhì)上是將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控分析轉(zhuǎn)化為網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣特性研究上，由鄰接矩陣便能迅速確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控最少輸入點(diǎn)數(shù)量以及控制節(jié)點(diǎn)范圍，對(duì)鄰接矩陣初等行列變換能夠有效優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。這一結(jié)果在對(duì)比網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特性統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和抗毀性測(cè)試方面得到印證，可將其用于戰(zhàn)場(chǎng)指揮通信網(wǎng)絡(luò)的規(guī)劃設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)分析等，對(duì)于維護(hù)指揮通信網(wǎng)絡(luò)的安全性、穩(wěn)定性、可靠性等具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。但是，該方法目前僅適用于無(wú)向無(wú)權(quán)無(wú)自環(huán)網(wǎng)絡(luò)，關(guān)于有向、有權(quán)和有自環(huán)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)可控與優(yōu)化，還需要進(jìn)一步研究。