沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈扇面發(fā)射動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界計(jì)算

王治宇，李高春，徐伯起，夏 成

(海軍航空大學(xué) 岸防兵學(xué)院， 山東 煙臺(tái) 264000)

1 引言

沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈具有推阻比大、速度快和射程遠(yuǎn)等突出優(yōu)勢(shì)[1-2]。其射擊方式一般為純方位攻擊或現(xiàn)在點(diǎn)攻擊，在該射擊方式下，輸入發(fā)射扇面角和目標(biāo)距離即可完成裝訂。因此針對(duì)一定的發(fā)射扇面范圍，進(jìn)行動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界的解算，能為作戰(zhàn)指揮決策提供直接的依據(jù)，綜合體現(xiàn)了發(fā)動(dòng)機(jī)性能、彈道等多種因素對(duì)導(dǎo)彈作戰(zhàn)使用的影響。顯然，靶場(chǎng)試射數(shù)據(jù)有限，動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界的求解只能依據(jù)發(fā)動(dòng)機(jī)性能數(shù)據(jù)和彈道模型等進(jìn)行仿真計(jì)算[3]。

沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈，特別是整體式液體沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈，其動(dòng)力航程可達(dá)數(shù)百公里，因此本文更關(guān)注不同的發(fā)射扇面角對(duì)其動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界的影響，忽略末制導(dǎo)段的影響。其遠(yuǎn)邊界可簡(jiǎn)單理解為導(dǎo)彈飛行時(shí)達(dá)到一定的終止條件后可實(shí)現(xiàn)的射程。

高勁松等[4]研究了以目標(biāo)為中心和以本機(jī)為中心的全向攻擊2種方式下的攻擊區(qū)解算，張安等[6]研究了空空導(dǎo)彈發(fā)射包線的靈敏度問(wèn)題，分析了導(dǎo)彈發(fā)射條件的改變對(duì)導(dǎo)彈發(fā)射包線的影響。杜昌平等[7]提出了一種空空導(dǎo)彈可攻擊區(qū)快速算法，利用可攻擊區(qū)多項(xiàng)式擬合結(jié)果作為積分計(jì)算的初始值，提升了解算速度。注意到，對(duì)空空導(dǎo)彈攻擊區(qū)的研究較多，而對(duì)反艦導(dǎo)彈的研究較少，對(duì)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)為動(dòng)力的導(dǎo)彈研究較多，而對(duì)沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)為動(dòng)力的導(dǎo)彈研究較少。

因此，本文在考慮沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈的一體化性能計(jì)算和六自由度彈道方程[8]基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了PID控制策略，在高低混合彈道模式下，建立了沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈的動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界計(jì)算模型，基于黃金分割法給出了遠(yuǎn)邊界的計(jì)算方法和流程。最后利用切比雪夫多項(xiàng)式對(duì)遠(yuǎn)邊界包絡(luò)線進(jìn)行了擬合獲取邊界函數(shù)，用以滿足工程應(yīng)用實(shí)時(shí)解算的要求。為導(dǎo)彈實(shí)際作戰(zhàn)使用時(shí)指揮決策提供了重要的依據(jù)。

2 邊界計(jì)算模型的建立

2.1 導(dǎo)彈動(dòng)力模型

導(dǎo)彈動(dòng)力裝置為固體火箭助推器和沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)。

導(dǎo)彈從艦上或發(fā)射車發(fā)射后，在助推器作用下到達(dá)一定高度，速度達(dá)到接力馬赫數(shù)，助推器脫落后沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)始工作，為增大航程通常采用高低混合彈道飛行，為增強(qiáng)突防能力通常采用超低空掠海飛行，直至命中目標(biāo)。

助推過(guò)程時(shí)間較短，且該過(guò)程采用姿態(tài)穩(wěn)定控制，維持扇面發(fā)射角不變。因此動(dòng)力學(xué)模型針對(duì)沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)工作過(guò)程。該過(guò)程中，由于沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)作為吸氣式發(fā)動(dòng)機(jī)，且進(jìn)氣道成為彈體一部分，因此發(fā)動(dòng)機(jī)、導(dǎo)彈氣動(dòng)和彈道之間存在強(qiáng)烈的耦合，有必要建立一體化動(dòng)力模型。

導(dǎo)彈在慣性坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)模型為：

(1)

導(dǎo)彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型為：

(2)

導(dǎo)彈繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

(3)

導(dǎo)彈繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

(4)

導(dǎo)彈質(zhì)量變化方程為：

(5)

運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程中變量的定義同文獻(xiàn)[9]。

利用導(dǎo)彈氣動(dòng)估算軟件[10]對(duì)該型導(dǎo)彈建模，獲取了其彈身、翼和舵的氣動(dòng)特性，氣動(dòng)參數(shù)可插值馬赫數(shù)和飛行高度求得。顯然，氣動(dòng)力是高度、馬赫數(shù)和攻角的函數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[11]，升力和阻力可表示為：

Y=qS(αCL0+2αCLwing)+2qCLfin

(6)

X=qS(CD0+CD2α2+CDfinα2+CDwingα2)

(7)

式中:CL0、CLwing、CLfin分別表示彈身、翼和舵的升力系數(shù)；CD0、CD2分別表示彈身的阻力系數(shù)；CDfin、CDwing分別表示翼和舵的阻力系數(shù)。

沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的推力的計(jì)算基于文獻(xiàn)[12]，對(duì)若干工況進(jìn)行計(jì)算后，可將其表示為余氣系數(shù)、馬赫數(shù)、高度和攻角的函數(shù)，即：

P=f(αf,Ma,h,α)

(8)

2.2 方案彈道模型

為了精確計(jì)算不同發(fā)射扇面角對(duì)應(yīng)的動(dòng)力航程，需要建立方案彈道模型，并設(shè)計(jì)PID控制系統(tǒng)跟蹤彈道。反艦導(dǎo)彈常用攻擊方式為現(xiàn)在點(diǎn)攻擊或者純方位攻擊方式，針對(duì)這一特點(diǎn)，設(shè)計(jì)如圖1所示的水平方案彈道。

圖1 水平方案彈道示意圖

O表示發(fā)射位置，發(fā)射扇面角為導(dǎo)彈初始發(fā)射方向和目標(biāo)方向之間的夾角，用AfT表示，T為目標(biāo)點(diǎn)，DT為目標(biāo)距離，XfOZf為發(fā)射坐標(biāo)系，ON表示真北方向，Xf為發(fā)射方向。

導(dǎo)彈在高空飛行時(shí)，采用等馬赫數(shù)控制，速度視作不變?？筛鶕?jù)速度和機(jī)動(dòng)過(guò)載求解轉(zhuǎn)彎半徑，在完成水平轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)后朝向目標(biāo)飛行。在該過(guò)程中，控制系統(tǒng)調(diào)整導(dǎo)彈水平速度方向軸向目標(biāo)方向變化，直至其指向目標(biāo)點(diǎn)。

采用高低混合彈道，主要飛行過(guò)程包括爬升段、高空巡航段、下降段、低空突防段。豎直方案彈道如圖2所示。

圖2 豎直方案彈道曲線

沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈的航程跟發(fā)動(dòng)機(jī)性能密切相關(guān)，不同的爬升彈道發(fā)動(dòng)機(jī)燃耗也不同。根據(jù)文獻(xiàn)[13]，利用求解燃耗最優(yōu)的爬升彈道，作為上升段的方案彈道。爬升彈道與高空巡航彈道如圖3所示。

圖3 優(yōu)化計(jì)算后的爬升段巡航段彈道曲線

根據(jù)文獻(xiàn)[14]，下降段采用式(9)中的指數(shù)下降模型。

(9)

式中：H0為高空巡航高度；H1為掠海飛行高度；Ljg為預(yù)定降高距離；tj為到達(dá)預(yù)定降高距離的飛行時(shí)刻；τ為時(shí)間常數(shù)。

現(xiàn)在點(diǎn)攻擊方式下，可根據(jù)發(fā)射扇面角和目標(biāo)距離信息，計(jì)算此次攻擊的方案彈道模型。注意到?jīng)_壓發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈的速度在2～4個(gè)馬赫數(shù)，攻擊時(shí)間短，敵方艦艇機(jī)動(dòng)范圍有限。因此采用這種方式設(shè)計(jì)方案彈道求解動(dòng)力航程是合理的。

2.3 PID控制模型

為了克服大氣環(huán)境、發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒不穩(wěn)定等諸多擾動(dòng)因素帶來(lái)的影響，使導(dǎo)彈能按預(yù)定的方案彈道進(jìn)行飛行，通過(guò)設(shè)計(jì)PID控制系統(tǒng)對(duì)導(dǎo)彈的俯仰角和偏航角施加控制[16]。工程上通常對(duì)滾轉(zhuǎn)通道采用穩(wěn)定控制，從而達(dá)到對(duì)俯仰和偏航通道的去耦效果。進(jìn)一步根據(jù)高度和偏航誤差信號(hào)，利用PID控制系統(tǒng)，調(diào)整舵面，改變氣動(dòng)力，實(shí)現(xiàn)對(duì)方案彈道的跟蹤。誤差信號(hào)如式(10)，舵面偏轉(zhuǎn)角可由式(11)表示。

(10)

其中，hs(t)表示該時(shí)刻方案彈道的飛行高度；h(t)表示當(dāng)前時(shí)刻的高度；zs(t)表示該時(shí)刻方案彈道的Z坐標(biāo)值；z(t)表示當(dāng)前時(shí)刻的Z坐標(biāo)值。

(11)

其中，{KPy,KPz}表示控制器分別針對(duì)俯仰、偏航的比例系數(shù)； {KIy,KIz}表示積分系數(shù)； {KDy,KDz}表示微分系數(shù)。

綜上，PID控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)如圖4所示。

圖4 PID反饋結(jié)構(gòu)示意圖

2.4 彈道仿真終止條件

對(duì)扇面角進(jìn)行n等分為AfTi,i=1,2,…,n(n越大，航程包絡(luò)就越精細(xì)，但計(jì)算量也越大)。在計(jì)算某個(gè)發(fā)射扇面角對(duì)應(yīng)的最遠(yuǎn)動(dòng)力航程時(shí)，通過(guò)設(shè)定該方向上不同的目標(biāo)距離DT確定對(duì)應(yīng)的方案彈道。根據(jù)方案彈道，利用龍格庫(kù)塔積分，進(jìn)行彈道仿真，記錄剩余燃油為零時(shí)的坐標(biāo)位置，并計(jì)算發(fā)射位置到該點(diǎn)的距離di，若di

3 動(dòng)力航程邊界搜索算法設(shè)計(jì)

在發(fā)射扇面內(nèi)，動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界的集合可表示為{Rmax_1,Rmax_2,…,Rmax_n}。在對(duì)第i個(gè)發(fā)射扇面角

AfTi計(jì)算時(shí)，利用黃金分割搜索算法[17]，求解該方向的最大動(dòng)力航程。

黃金分割法具有收斂速度快等優(yōu)勢(shì)。首先確定初始范圍為：[a0,b0]，計(jì)算黃金分割點(diǎn)，將其設(shè)為目標(biāo)距離DT=a0+0.618(b0-a0)，根據(jù)目標(biāo)距離確定方案彈道，并進(jìn)行六自由度彈道仿真，根據(jù)終止條件判斷di與DT的大小，若di

4 動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界仿真

以發(fā)射扇面角30°和10°為例，對(duì)其對(duì)應(yīng)的彈道進(jìn)行仿真計(jì)算。從同一位置發(fā)射后，發(fā)射扇面為30°的彈道曲線需要在Z方向進(jìn)行更大的水平機(jī)動(dòng)，如圖5所示。上升段在工程上一般用姿態(tài)控制系統(tǒng)，不進(jìn)行水平機(jī)動(dòng)。到達(dá)巡航高度后按水平方案彈道進(jìn)行機(jī)動(dòng)，當(dāng)x方向上滿足降高距離Ljg后按豎直方案彈道進(jìn)行降高。

圖5 三維彈道仿真曲線

為方便問(wèn)題研究，不妨針對(duì)發(fā)射扇面角范圍為：AfT∈[-60°,60°]時(shí)進(jìn)行研究，對(duì)其進(jìn)行等分后，按圖6所示流程計(jì)算動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界。仿真結(jié)果極坐標(biāo)如圖7所示。當(dāng)發(fā)射扇面角較小時(shí)，遠(yuǎn)邊界變化較小。當(dāng)發(fā)射扇面超過(guò)30°時(shí)，遠(yuǎn)邊界距離大幅增加。

圖6 動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界搜索流程框圖

圖7 動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界極坐標(biāo)圖

注意到，有關(guān)空空導(dǎo)彈攻擊區(qū)的文獻(xiàn)[18-20]表明，進(jìn)入角為180°時(shí)的攻擊區(qū)遠(yuǎn)邊界最大，并隨著進(jìn)入角的減小而減小。這主要是因?yàn)檫M(jìn)入角越小，水平方向的機(jī)動(dòng)就越大，攻擊區(qū)邊界就越小。

導(dǎo)彈發(fā)射扇面角為0°時(shí)動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界較小，總體上隨著發(fā)射扇面角的增大而增大，如圖8所示。

圖8 不同發(fā)射扇面角對(duì)應(yīng)的動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界曲線

盡管發(fā)射扇面角的增大會(huì)增加水平機(jī)動(dòng)，使得軌跡長(zhǎng)度增加，將消耗更多的燃油。但是在x方向降高距離Ljg不變的前提下，發(fā)射扇面角的增大，也增加了高彈道巡航飛行的距離，從而整體上節(jié)約了燃油，增加了導(dǎo)彈的動(dòng)力航程。

高空巡航段長(zhǎng)度的變化可用圖9表示，注意到，圖8曲線所表示的動(dòng)力航程增加的趨勢(shì)與圖9曲線所表示的高空巡航段的增長(zhǎng)趨勢(shì)非常一致。

圖9 不同發(fā)射扇面角對(duì)應(yīng)的高空巡航距離曲線

從圖8和圖9可知，當(dāng)發(fā)射扇面角較小(25°以內(nèi))時(shí)，高空巡航距離基本不變，而總航程變長(zhǎng)，故而射程減小，遠(yuǎn)邊界下降。

當(dāng)發(fā)射扇面角超過(guò)25°后，x方向預(yù)定降高距離Ljg不變，故而高空巡航段距離變長(zhǎng)，其所占全彈道比重增加。在消耗相同燃油時(shí)，抵消了總路徑變長(zhǎng)的影響，射程增大，遠(yuǎn)邊界增加。

因此，得出結(jié)論:沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈在高低混合彈道模式下，動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界的求解具有其特殊性。主要原因在于大發(fā)射扇面狀態(tài)時(shí)，高空巡航段距離的增加，總體上抵消了路徑變長(zhǎng)的影響，使得動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界增大。

為了使上述研究成果可用于導(dǎo)彈實(shí)時(shí)求解動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界，以發(fā)射扇面角為自變量，對(duì)動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界進(jìn)行切比雪夫多項(xiàng)式擬合。通過(guò)切比雪夫多項(xiàng)式擬合的途徑，能最大限度降低龍格現(xiàn)象，可實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式在連續(xù)函數(shù)的最佳逼近效果。

經(jīng)過(guò)試驗(yàn)得知6階切比雪夫多項(xiàng)式效果最好，如圖10所示。擬合函數(shù)式如式(12)。

圖10 以發(fā)射扇面角為自變量的遠(yuǎn)邊界擬合曲線

得到擬合函數(shù)后，可以求得任一發(fā)射扇面角對(duì)應(yīng)的動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界，滿足作戰(zhàn)實(shí)時(shí)性要求。

(12)

5 結(jié)論

在充分考慮沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈一體化性能建模和6自由度彈道方程的基礎(chǔ)上，對(duì)其動(dòng)力航程的遠(yuǎn)邊界計(jì)算精確建模。合理的確定了方案彈道和控制策略，模型相對(duì)誤差小，滿足工程需求。通過(guò)黃金分割法搜索求解動(dòng)力航程遠(yuǎn)邊界包絡(luò)，為了滿足實(shí)時(shí)性要求，利用切比雪夫多項(xiàng)式對(duì)包絡(luò)線進(jìn)行擬合。最大程度避免了擬合過(guò)程中的龍格現(xiàn)象，保證了擬合效果。仿真結(jié)果表明擬合精度較高、模型誤差較小，可為沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈指揮作戰(zhàn)提供參考。