關(guān)系代數(shù)在數(shù)據(jù)庫實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐研究

譚毓銀，李懷成，繆為民

（海南大學(xué)計算機(jī)與網(wǎng)絡(luò)空間安全學(xué)院，?？?70228）

0 引言

《數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)概論》[1]是我校信息類的專業(yè)必修課，其教學(xué)目標(biāo)是向?qū)W生介紹數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)的基本概念及其構(gòu)成，使學(xué)生掌握基本的關(guān)系數(shù)據(jù)庫理論和典型關(guān)系數(shù)據(jù)語言SQL的編程。而關(guān)系代數(shù)運(yùn)算及SQL語句用法是本課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，SQL語句在實(shí)際的數(shù)據(jù)庫開發(fā)運(yùn)用中較靈活，其理論基礎(chǔ)離不開對關(guān)系代數(shù)運(yùn)算的理解[2-4]。

通過多年的教學(xué)，發(fā)現(xiàn)本課程涉及大量的理論講解，教學(xué)基本采用教材所給的案例，每章節(jié)所舉例題不盡相同，往往是東一個西一個，沒有緊密的連貫性，缺乏統(tǒng)一的教學(xué)項目和案例設(shè)計，教學(xué)效果并不是很好，造成學(xué)員學(xué)習(xí)目的不明確，成就感不強(qiáng)，消極對待數(shù)據(jù)庫原理知識和SQL語言的學(xué)習(xí)[5-7]。

在實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中，先以學(xué)生接觸較多的學(xué)生選修課程模型為依托，合理設(shè)計教學(xué)案例，輔以圖示分解教學(xué)，幫助學(xué)生掌握關(guān)系代數(shù)的運(yùn)算，再講解SQL語句基本用法，最后通過在實(shí)驗(yàn)中用SQL語句來實(shí)現(xiàn)關(guān)系代數(shù)運(yùn)算，從而加深學(xué)生對SQL語句用法和關(guān)系代數(shù)運(yùn)算的理解，為數(shù)據(jù)庫查詢打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。

1 關(guān)系代數(shù)運(yùn)算

關(guān)系代數(shù)是一種抽象的查詢語言，它用對關(guān)系的運(yùn)算來表達(dá)查詢，是處理關(guān)系數(shù)據(jù)庫的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，是關(guān)系數(shù)據(jù)操縱語言的一種傳統(tǒng)表達(dá)方式。

關(guān)系代數(shù)運(yùn)算按運(yùn)算符的不同可分為傳統(tǒng)的集合運(yùn)算和專門的關(guān)系運(yùn)算兩類。傳統(tǒng)的集合運(yùn)算是二目運(yùn)算，包括并、差、交、笛卡爾積4種運(yùn)算；專門的關(guān)系運(yùn)算包括選擇、投影、連接、除運(yùn)算等[1]。

設(shè)有學(xué)生關(guān)系Stud、學(xué)生關(guān)系Other、課程關(guān)系Course和選修關(guān)系StudCous，如表1-表4所示。下面的關(guān)系代數(shù)運(yùn)算將對這四個關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算。

表1 Stud關(guān)系

表2 Other關(guān)系

表3 Stud關(guān)系

表4 StudCous關(guān)系

1.1 傳統(tǒng)的集合運(yùn)算

設(shè)關(guān)系R和關(guān)系S具有相同的目n（即兩個關(guān)系都有n個屬性），且相應(yīng)的屬性取自同一個域，t是元組變量，t∈R表示t是R的一個元組。

（1）并運(yùn)算：將R與S合并，并且去掉重復(fù)元組后所構(gòu)成的一個關(guān)系。

例1：將Stud與Other合并成SU關(guān)系，關(guān)系代數(shù)運(yùn)算表達(dá)式為：

關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果如表5所示。因?yàn)镺ther關(guān)系中的“714002”“714004”所對應(yīng)的元組已經(jīng)存在于Stud關(guān)系中，所以合并后的關(guān)系只保留了一份。

表5 并運(yùn)算后的SU關(guān)系

表6 交運(yùn)算后的SN關(guān)系

（2）交運(yùn)算：由既屬于R又屬于S的元組組成的新關(guān)系。

例2：將Stud與Other相交成SN關(guān)系，關(guān)系代數(shù)運(yùn)算表達(dá)式為：

關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果如表6所示。因?yàn)镾tud及Other關(guān)系中都有“714002”“714004”所對應(yīng)的元組，所以相交后的關(guān)系只是由共同存在于這兩個關(guān)系的元組所組成的新關(guān)系。

（3）差運(yùn)算：由屬于R而不屬于S的所有元組組成，即在R中去掉R與S相同的元組。

例3：將Stud與Other進(jìn)行差運(yùn)算，關(guān)系代數(shù)運(yùn)算表達(dá)式為：

關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果如表7所示。因?yàn)镾tud及Other關(guān)系中都有“714002”“714004”所對應(yīng)的元組，所以差運(yùn)算就是在Stud關(guān)系中去掉這兩個相同元組后所組成的新關(guān)系。

表7 差運(yùn)算后的SM關(guān)系

（4）笛卡爾積

這里的笛卡爾積嚴(yán)格地講應(yīng)該是廣義的笛卡爾積。設(shè)有n元關(guān)系R及m元關(guān)系S，它們分別有p、q個元組，則關(guān)系R與S經(jīng)笛卡爾積記為R×S，該關(guān)系是一個n+m元關(guān)系，元組個數(shù)是p×q，由R與S的有序組組合而成。即用R中的每個元組分別與S中的所有元組相結(jié)合組成一個新的關(guān)系。新的關(guān)系的屬性個數(shù)為R與S屬性個數(shù)之和，元組個數(shù)為R與S元組個數(shù)相乘積。

例4：將Stud與StudCous進(jìn)行笛卡爾積運(yùn)算，關(guān)系代數(shù)運(yùn)算表達(dá)式為：

關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果如表8所示。

從表8中，可以看出，笛卡爾積實(shí)際上用左邊關(guān)系的每一行分別與右邊關(guān)系的所有行進(jìn)行相乘（或相合并）。注意：笛卡爾積的全集在應(yīng)用中是沒有意義的。這里列出全集只是表示全部可能的組合而已，并不代表實(shí)際上有這么多可行的組合。笛卡爾積運(yùn)算是為后面的連接、自然連接等做準(zhǔn)備。

表8 笛卡爾積后的SCP關(guān)系

1.2 專門的關(guān)系運(yùn)算

（1）選擇：它是由關(guān)系R中滿足邏輯條件的元組所組成的新的關(guān)系，記作：

邏輯條件F表示選擇條件，它是一個邏輯表達(dá)式，取邏輯值“true”或“false”。

例5：查詢關(guān)系Stud中Dept為“計算機(jī)科學(xué)”的信息。

結(jié)果如表9所示。Stud關(guān)系原來有5個元組，而執(zhí)行邏輯條件Dept=“計算機(jī)科學(xué)”運(yùn)算后，只有2個元組滿足條件。講到這里，大家發(fā)現(xiàn)，選擇運(yùn)算是對關(guān)系進(jìn)行元組（行）的選取，當(dāng)然，如果有重復(fù)的行，還需要刪除重復(fù)行后形成新的關(guān)系。

表9 選擇運(yùn)算后的關(guān)系

（2）投影：它是從R中選取出若干屬性列，去掉重復(fù)的元組所組成新的關(guān)系，記作：

例6：查詢關(guān)系Stud中Dept的信息。

關(guān)系代數(shù)運(yùn)算式為：∏Dept( S tud)

結(jié)果如表10所示。R關(guān)系原來有5個元組，而投影結(jié)果消除了重復(fù)的部分元組，因此只有3個元組。講到這里，大家發(fā)現(xiàn)，投影不僅取消了原關(guān)系中的某些列，而且還可能消去了某些元組，因?yàn)槿∠四承傩粤泻?，就可能出現(xiàn)重復(fù)行，就取消這些完全相同的行。所以投影是能夠把一個關(guān)系的屬性域變小的運(yùn)算。

表10 投影運(yùn)算后的關(guān)系

所以，有了投影、選擇運(yùn)算，我們就可以方便地找到一個關(guān)系內(nèi)的任意行、列的數(shù)據(jù)。

（3）連接：它是從關(guān)系R和關(guān)系S的笛卡爾積中選取屬性間滿足一定條件的元組。記作：

其中，A和B分別為R和S上列數(shù)相等且可比的屬性組，θ是比較運(yùn)算符。因此，連接也稱為θ連接。當(dāng)θ為“=”時的連接運(yùn)算稱為等值連接，可以記為：

例7：查詢每個學(xué)生及其選修課程的情況。關(guān)系Stud與關(guān)系StudCous進(jìn)行Sno=S sn o的等值連接。關(guān)系代數(shù)運(yùn)算式為：SW=StudSno=Ssno StudCous

結(jié)果如表11所示。該關(guān)系實(shí)際上是在表8關(guān)系中進(jìn)行邏輯條件為“Sno=S sn o”的選擇運(yùn)算后得到的新關(guān)系，該運(yùn)算大大減少了元組的個數(shù)。但是請大家注意Sno和S sn o屬性對應(yīng)的值是一樣的。假如我們把S sno屬性名改為Sno，就將會變成自然連接。

表11 等值連接后的SW關(guān)系

（4）自然連接：自然連接是一種特殊的等值連接。它要求：①兩個關(guān)系要有公共的屬性域；②通過公共域的相等值進(jìn)行連接。記作：

例8：假設(shè)我們將關(guān)系StudCous中的S sn o屬性改名為Sno，把關(guān)系Stud與改名后的關(guān)系StudCous進(jìn)行自然連接。

關(guān)系代數(shù)運(yùn)算式為：SP=Stud?StudCous

結(jié)果如表12所示。該關(guān)系和表11的關(guān)系很類似，只是少了Sno（S sn o已經(jīng)更名為Sno）的同名屬性列。即自然連接是在等值連接的基礎(chǔ)上，消除兩個關(guān)系的公共屬性域的連接。

表12 自然連接后的SP關(guān)系

一般的連接操作是從行的角度進(jìn)行運(yùn)算，但自然連接還需要取消重復(fù)列，所以是同時從行和列的角度進(jìn)行運(yùn)算。

（5）除運(yùn)算

設(shè)關(guān)系R除以關(guān)系S的結(jié)果為T，則T包含所有在R但不在S中的屬性及其值，且T的元組與S的元組的所有組合都在R中。記作：

這個定義是教材給出的。在這幾種運(yùn)算中，除法運(yùn)算復(fù)雜、抽象，是教學(xué)環(huán)節(jié)中的難點(diǎn)問題，學(xué)生理解起來比較困難[8]。如何來講解除法運(yùn)算呢？

我們先對StudCous關(guān)系的S sn o和Cno屬性做投影操作，即：SCNO=∏Ssno,Ccno(StudCous)，得到的關(guān)系SCNO如表13所示。再對Course關(guān)系的Cno屬性做投影操作，即：CNO=∏Cno(Course)，得到的關(guān)系CNO如表14所示。那么SCNO÷CNO得到的關(guān)系SSNO如表15所示。這實(shí)際上就是：

表13 SCNO關(guān)系

表14 CNO關(guān)系

表15 SSNO關(guān)系

例9：查詢選修了所有課程的學(xué)生姓名。

2 SQL中關(guān)系代數(shù)運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)

2.1 SQL簡介

SQL（Structured Query Language）是關(guān)系數(shù)據(jù)庫的標(biāo)準(zhǔn)語言，也是一個通用的、功能極強(qiáng)的關(guān)系數(shù)據(jù)庫語言。其主要特點(diǎn)包括：綜合統(tǒng)一、高度非過程化、面向集合的操作方式、以同一種語法結(jié)構(gòu)提供多種使用方式、語言簡潔、易學(xué)易用等。

2.2 數(shù)據(jù)查詢

數(shù)據(jù)查詢是數(shù)據(jù)庫的核心操作。SQL提供了SELECT語句進(jìn)行數(shù)據(jù)查詢，該語句具有靈活的使用方式和豐富的功能[10]。其一般格式為：

基本的工作原理：FROM子句先被執(zhí)行，通過FROM子句獲得一個虛擬表，然后通過WHERE子句從虛擬表中獲取滿足條件的記錄，生成新的虛擬表。將新虛擬表中的記錄通過GROUP BY子句分組后得到更新的虛擬表，而后HAVING子句在最新的虛擬表中篩選出滿足條件的記錄組成另外一個虛擬表中，SELECT子句會將指定的列提取出來組成更新的虛擬表，最后ORDER BY子句對其進(jìn)行排序得出最終的虛擬表。通常這個最終的虛擬表被稱為查詢結(jié)果集[11]。

2.3 SQL實(shí)現(xiàn)

每種關(guān)系運(yùn)算在SQL中都有對應(yīng)的實(shí)現(xiàn)，Union、Intersect、Except分別對應(yīng)集合運(yùn)算中的并、交、差運(yùn)算，但在SQL Server中不支持Intersect、Except運(yùn)算符的使用。本實(shí)驗(yàn)通過在SQL Server 2008環(huán)境下實(shí)現(xiàn)關(guān)系代數(shù)的各種運(yùn)算（例1-例9），使學(xué)生在感性上進(jìn)一步認(rèn)識關(guān)系代數(shù)在數(shù)據(jù)庫中的應(yīng)用，從而更深刻地理解了關(guān)系代數(shù)運(yùn)算和更熟練地掌握了SQL語句的用法[12]。

例1中并運(yùn)算的SQL語句

Select*from Stud Union Select*from Other

例2中交運(yùn)算的SQL語句

Select Stud.*from Stud,Other Where Other.Sno=Stud.Sno）

例3中差運(yùn)算的SQL語句

Select*from Stud Where Sno not in（Select Sno from Other）

例4中笛卡爾積運(yùn)算的SQL語句

Select*from Stud,StudCous

例5中選擇運(yùn)算的SQL語句

Select*from Stud Where Dept=^'計算機(jī)科學(xué)'例6中投影運(yùn)算的SQL語句

Select Distinct Dept from Stud

例7中等值連接運(yùn)算的SQL語句

Select*from Stud,StudCous Where Stud.Sno=Stud?Cous.Ssno

例8中自然連接運(yùn)算的SQL語句

Select*from Stud,StudCous Where Stud.Sno=Stud?Cous.Sno

例9的SQL語句，除運(yùn)算

Select Sname From Stud Where not exists

（Select*From Course Where not exists

（Select*From StudCous Where Stud.Sno=StudCous.Ssno

And Course.Cno=StudCous.Ccno

）

）

注意，在做連接查詢時，至少涉及兩個以上的表，用到的關(guān)系運(yùn)算為笛卡爾積或連接或自然連接。但它們都是在笛卡爾積的基礎(chǔ)上所進(jìn)行的操作。

最后，我們利用教材中的一個例子，引導(dǎo)學(xué)生思考查詢優(yōu)化的步驟，激發(fā)學(xué)生對查詢優(yōu)化的興趣。

例3.51查詢選修了95203的課程且成績在80分以上的所有學(xué)生的學(xué)號和姓名。

Select Stud.Sno,Stud.Sname From Stud,StudCous

Where Stud.Sno=StudCous.Ssno and StudCous.Score>=80

對應(yīng)的關(guān)系代數(shù)運(yùn)算表達(dá)式為：

從這個表達(dá)式中，先是關(guān)系Stud與StudCous做笛卡爾積運(yùn)算，然后再選取滿足邏輯條件為σCcno=95203∧Score≥80的元組組成一個虛擬表關(guān)系，再對該關(guān)系的Sno，Sname列進(jìn)行投影運(yùn)算，如果有重復(fù)行，去掉重復(fù)行后組成查詢結(jié)果集。在課堂講解上，就用表8笛卡爾積運(yùn)算的結(jié)果來演示，讓學(xué)生知道會產(chǎn)生大量的元組及屬性，然后引出優(yōu)化的問題。

該查詢優(yōu)化的思想是先從StudCous中選取出σCcno=95203∧Score≥80的元組形成一個虛擬表關(guān)系，再和Stud中滿足連接條件的元組進(jìn)行連接得到最終的結(jié)果關(guān)系。

由此，一步步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行查詢優(yōu)化的提出，在加強(qiáng)學(xué)生關(guān)系代數(shù)的學(xué)習(xí)的同時，也為后續(xù)學(xué)生學(xué)習(xí)SQL查詢優(yōu)化指引了一個方向。

3 結(jié)語

關(guān)系代數(shù)運(yùn)算是數(shù)據(jù)庫原理課中較為抽象的內(nèi)容，是SQL查詢的理論基礎(chǔ)。如果以純理論教學(xué)為主，學(xué)生不能真正理解關(guān)系代數(shù)運(yùn)算，也就不可能寫出優(yōu)異的SQL語句。這就要求教師在設(shè)計教學(xué)案例時，能夠縱覽全局，設(shè)計前后統(tǒng)一、連貫性強(qiáng)的教學(xué)項目案例，將能幫助學(xué)生快速理解該知識點(diǎn)乃至該門課程起到至關(guān)重要的作用，同時也能提高學(xué)生的實(shí)驗(yàn)動手能力。由于該課程在近幾年中一直是我校的教學(xué)示范課程，2018年3月該課程成為“第二批海南省高校精品在線開放課程立項建設(shè)課程”。