小學(xué)數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)原型的優(yōu)化選取

胡俊

【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視學(xué)生的直觀經(jīng)驗(yàn)，而 數(shù)學(xué)概念又具有一定的抽象性。因此，通過在生活中選取合適的現(xiàn)實(shí)原型以達(dá)到化抽象為直觀 的目的，是小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重中之重?；诶碚撆c實(shí)踐相結(jié)合的教學(xué)研究，運(yùn)用文獻(xiàn)資料 法和行動(dòng)研究法，采用教學(xué)案例與反思的形式，探索小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的內(nèi)在理論原則，尋求 現(xiàn)實(shí)原型優(yōu)化選取的方法和策略，以促進(jìn)教師概念教學(xué)的理解和把握，讓我們的教學(xué)更貼近學(xué) 生的生活經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生更好地理解抽象概念提供腳手架。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念現(xiàn)實(shí)原型優(yōu)化選取

一、 緒論

隨著基礎(chǔ)教育改革的深化，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)受到了廣 泛的關(guān)注。概念教學(xué)作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部 分，如何提升其教學(xué)效果顯得尤為重要。概念教學(xué)都經(jīng) 歷了由原型到模型再到概念的抽象過程，原型的觀察是 概念教學(xué)的起點(diǎn)，是否優(yōu)化的原型選取直接影響學(xué)生的 研究觀察與模型建立，從而影響概念的抽象過程。同時(shí)， 小學(xué)階段數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生主要源于生活的需求，大多數(shù) 數(shù)學(xué)概念均可在生活中找到它們的現(xiàn)實(shí)原型。因此，對(duì) 小學(xué)數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)原型的優(yōu)化選取的研究具有重大 意義。

通過查找、閱讀、分析、比較相關(guān)文獻(xiàn)，筆者發(fā)現(xiàn)大多 數(shù)研究都是從理論綜合的角度出發(fā)，沒有對(duì)概念進(jìn)行細(xì) 化的分類，很難有針對(duì)性地對(duì)不同類型的數(shù)學(xué)概念的現(xiàn) 實(shí)原型的選取提供合理的方案。因此，筆者基于現(xiàn)有研 究成果，結(jié)合具體實(shí)踐，對(duì)不同類型的數(shù)學(xué)概念提出不同 的優(yōu)化選取策略。

二、 數(shù)學(xué)概念

（-）數(shù)學(xué)概念的含義

數(shù)學(xué)概念是人類對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的 本質(zhì)屬性的思維形式，是架構(gòu)數(shù)學(xué)世界的基石。數(shù)學(xué)概 念的內(nèi)涵指數(shù)學(xué)概念所反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué) 概念的外延指數(shù)學(xué)概念所反映數(shù)學(xué)對(duì)象的全部。

（二）數(shù)學(xué)概念的分類

1. 按照內(nèi)容分類

數(shù)學(xué)概念可以按照數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行分類（見 圖1）。

2. 按照能否被定義分類

數(shù)學(xué)概念可以按照能否被定義進(jìn)行分類，可以分為 原始概念和定義概念。原始概念指直接作為研究?jī)?nèi)容 本身被提出，無法再加以定義的概念（如直線、射線和角 等）。定義概念指通過給概念下定義揭示其本質(zhì)屬性，使 其與其他概念區(qū)分開來而獲得的概念（如只有1和它本 身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)就是質(zhì)數(shù)）。

3. 按照溯源分類

數(shù)學(xué)概念可以按照它的來源進(jìn)行分類，可以分為直 接抽象概念和邏輯建構(gòu)概念。直接抽象概念源自對(duì)客觀 世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的直接抽象，它們往往能從 現(xiàn)實(shí)世界中找到它們的原型或近似原型（如直線、射線、 角、正方形、長(zhǎng)方形等）。而邏輯建構(gòu)概念是對(duì)已有數(shù)學(xué) 概念的邏輯建構(gòu)（如用字母表示數(shù)、方程等）□

4. 按照表現(xiàn)形式分類

數(shù)學(xué)概念可以按照它的表現(xiàn)形式進(jìn)行分類，可以分 為定義式概念和描述式概念。定義式概念指通過精練完 整的語言揭示出事物的本質(zhì)屬性（如含有未知數(shù)的等式 是方程）。描述式概念指通過言語對(duì)研究對(duì)象的本質(zhì)屬 性進(jìn)行描述概括所得到的概念（如像+20、+8844.4這樣 的數(shù)都是正數(shù)）。

5. 分類的目的與啟示

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)概念大都以原始概念、直接抽象概 念、描述式概念為主，這些概念往往在現(xiàn)實(shí)生活中都能比 較輕松地找到大量的現(xiàn)實(shí)原型，然而對(duì)于現(xiàn)實(shí)原型的選 取還取決于數(shù)學(xué)概念按照內(nèi)容的分類。統(tǒng)計(jì)與概率的現(xiàn) 實(shí)原型大都以邏輯建構(gòu)概念為主，現(xiàn)實(shí)原型不容易找到， 因此對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)原型的優(yōu)化選取可以分為 數(shù)概念和形概念兩部分進(jìn)行選取的考量。

（三）數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)歷程

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)從認(rèn)知結(jié)構(gòu)角度來看，就是新知與 學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知 結(jié)構(gòu)的過程。首先，學(xué)生借助已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、直接經(jīng)驗(yàn)與 一定的學(xué)習(xí)情境，通過對(duì)現(xiàn)實(shí)原型的觀察、研究，在“說” 的過程中，產(chǎn)生認(rèn)知需求或認(rèn)知沖突，從而獲得對(duì)現(xiàn)實(shí) 原型所蘊(yùn)含的本質(zhì)屬性的充分體驗(yàn)，初步在腦海中抽象 出現(xiàn)實(shí)原型的數(shù)學(xué)模型。接著，由任務(wù)驅(qū)動(dòng)，通過自主、 探究、合作等學(xué)習(xí)方式，對(duì)腦海中原有圖式進(jìn)行加工、重 組（或同化或順應(yīng)），建構(gòu)出新的圖式，從形象概念抽象出 數(shù)學(xué)符號(hào)概念。最后，回歸本質(zhì)相同的具體情境，在操作 應(yīng)用中，補(bǔ)充和完善我們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升我們的思維 能力和認(rèn)知水平，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和掌握（見 圖2）。

建構(gòu)概念源自數(shù)學(xué)知識(shí)體系本身的需求，在現(xiàn)實(shí)情境中 幾乎無法找尋它的影子，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，絕大多數(shù)概念均 屬于前者，均可以在現(xiàn)實(shí)情境中追根溯源。

（二） 現(xiàn)實(shí)原型的分類

基于前文對(duì)數(shù)學(xué)概念的分類和小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的 現(xiàn)實(shí)意義，按照數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容和研究對(duì)象，小學(xué)數(shù)學(xué)概 念的現(xiàn)實(shí)原型可被分為數(shù)概念的現(xiàn)實(shí)原型和形概念的現(xiàn) 實(shí)原型。數(shù)概念的現(xiàn)實(shí)原型大多以具體操作或具體情 境為表征（如“10的認(rèn)識(shí)”中通過手指數(shù)、計(jì)數(shù)器撥、小 棒捆等具體操作為表征;蘇教版數(shù)學(xué)“兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)” 中通過給敬老院送菜椒的具體情境圖為表征等）。形概 念的現(xiàn)實(shí)原型大多以現(xiàn)實(shí)生活中的具體事物為載體進(jìn)行 表征（如“認(rèn)識(shí)射線”激光燈的光束等）。

（三） 現(xiàn)實(shí)原型與數(shù)學(xué)概念的關(guān)系

1.數(shù)學(xué)發(fā)展

在歷史的長(zhǎng)河中，伴隨著人類科學(xué)文明的發(fā)展歷程， 數(shù)學(xué)發(fā)展是從具體到抽象，從現(xiàn)實(shí)原型到數(shù)學(xué)概念的單 向發(fā)展關(guān)系（見圖3 ）。

2.個(gè)體認(rèn)知發(fā)展

在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)歷程（即學(xué)生個(gè)體的認(rèn)知發(fā)展歷 程）中，現(xiàn)實(shí)原型和數(shù)學(xué)概念呈現(xiàn)一個(gè)封閉的回路狀態(tài)。 學(xué)生在具體情境中對(duì)現(xiàn)實(shí)原型進(jìn)行充分體驗(yàn)，抽象出形 象概念，在元認(rèn)知、學(xué)習(xí)方式的參與下，從形象概念抽象 出數(shù)學(xué)符號(hào)概念，最終回歸到具體情境中的問題解決（見 圖4）。

三、現(xiàn)實(shí)原型

（-）現(xiàn)實(shí)原型的含義

現(xiàn)實(shí)原型指在現(xiàn)實(shí)生活中能反映數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性 的具體情境或具體實(shí)物。按照上文的思路，數(shù)學(xué)概念按 來源分類可分為直接抽象概念和邏輯建構(gòu)概念。直接抽 象概念源于現(xiàn)實(shí)生活的需要，在現(xiàn)實(shí)生活中，能直接找到 許多相似的具體情境，即數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)原型。

四、現(xiàn)實(shí)原型的優(yōu)化選取

（一）現(xiàn)實(shí)原型的優(yōu)化選取方法

1. 尋找原型

通過追根溯源的方式，由教學(xué)數(shù)學(xué)概念倒推其現(xiàn)實(shí) 原型，逆向還原數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)歷程，在由果索因的過程 中，找尋合適的現(xiàn)實(shí)原型。

2. 確定原型

從知識(shí)本身、學(xué)生實(shí)際和原型的客觀條件等方面，綜合考量現(xiàn)實(shí)原型的合理性，以達(dá)到現(xiàn)實(shí)原型的選取優(yōu)化。

3. 優(yōu)化原型

通過對(duì)教學(xué)方法、學(xué)生情況和客觀條件等方面的考 量，對(duì)所選現(xiàn)實(shí)原型的不足之處加以補(bǔ)充優(yōu)化，從而使現(xiàn) 實(shí)原型的選取達(dá)到最優(yōu)化。

4. 校對(duì)原型

重塑從現(xiàn)實(shí)原型到數(shù)學(xué)模型再到數(shù)學(xué)概念的過程， 在順向的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)歷程中對(duì)所選現(xiàn)實(shí)原型進(jìn)行再 考量。

（二）以"認(rèn)識(shí)射線”為例

1. 尋找射線原型

從教學(xué)目標(biāo)出發(fā)，為我們的追根溯源做好準(zhǔn)備。教 學(xué)目標(biāo)：經(jīng)歷觀察、畫圖和交流等活動(dòng)，認(rèn)識(shí)射線，掌握 射線的特征;建立“無限長(zhǎng)“的概念。

從數(shù)學(xué)概念想起：什么是射線？書本中采用的是描 述式概念，即“像這些光線就可以把它們看作是射線”那 么這些光線有什么特點(diǎn)呢？ “從一點(diǎn)出發(fā)、直直的、無限 長(zhǎng)?！边@就是射線這一抽象概念的形象模型。結(jié)合這一 特征，在具體情境中尋找符合這些特征的實(shí)例?？烧业?“各種燈光的光束” “動(dòng)畫片《龍宮奪寶》中孫悟空不斷 變大的金箍棒”等現(xiàn)實(shí)原型。

2. 確定射線原型

“認(rèn)識(shí)射線”這一知識(shí)屬于圖形與幾何領(lǐng)域基本圖 形的概念教學(xué)。在概念的分類上屬于采用描述的表現(xiàn)形 式的原始性概念。從學(xué)生角度來看，“金箍棒”更具有趣 味性，也更貼近學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和興趣愛好，而“燈的光 束”則更加真實(shí)，同時(shí)能在操作活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的多種 能力。從原型的客觀條件來說，“燈光的光束”受軌跡呈 現(xiàn)形式、自然界中各種物質(zhì)的影響，給課堂的觀察研究帶 來不確定性。從課堂效率來說，“金箍棒”可能效率更高， 而“燈光的光束”相對(duì)比較耗時(shí)。綜上所述，這兩種現(xiàn)實(shí) 原型各有利弊均可選取，確定選取哪一種，取決于教師的 教學(xué)理念和學(xué)生的需求。

3. 優(yōu)化射線原型

在此環(huán)節(jié)，筆者將從“燈光的光束”和“金箍棒”兩 條線路進(jìn)行闡述。

選取“燈光的光束”為現(xiàn)實(shí)原型需要考量：（1）觀察 對(duì)象：取材容易，便于觀察;（2 ）呈現(xiàn)軌跡：清晰可見;（3） 射線表征：延展性;（4）介質(zhì)影響：是否筆直。

結(jié)合考量，提出解決方案：（1）觀察對(duì)象：激光筆（電 光筆）;（2）呈現(xiàn)軌跡：在較暗的環(huán)境中或者采用霧化的 方法，在空氣中噴灑水汽;（3）射線表征：為了突顯光線 是不斷向前延伸的，可以先用激光筆照射在室內(nèi)門（墻） 上，讓學(xué)生觀察光的運(yùn)動(dòng)軌跡，再讓光照射出教室，照射 在校園里，讓學(xué)生觀察光的運(yùn)動(dòng)軌跡，最后再將光照射向 天空，讓學(xué)生想象光的運(yùn)動(dòng)軌跡。（4）介質(zhì)影響：由于光 在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)受到自然界中各種物質(zhì)的影響，并不是 筆直的，而我們?cè)谘芯窟^程中對(duì)這種影響是忽略不計(jì)的， 因此教學(xué)過程中要強(qiáng)調(diào)“沒有遮擋物”。

選取“金箍棒”為現(xiàn)實(shí)原型只需要考量如何將射線 最重要的表征“一端可以無限延長(zhǎng)”表現(xiàn)出來。提出解 決方案：讓“金箍棒”動(dòng)起來，不斷伸長(zhǎng)，引發(fā)思考：“金 箍棒沖破海面，沖出云層……還能不能再伸長(zhǎng)了？讓我 們閉上眼睛，想象一下，這根金箍棒還在不斷地延長(zhǎng)，不 斷地延長(zhǎng)……可能延長(zhǎng)到哪里了？"

4. 校對(duì)射線原型

將塑造好的射線的現(xiàn)實(shí)原型整合到教學(xué)設(shè)計(jì)中，對(duì) 射線這一概念順向教學(xué)歷程的梳理，校對(duì)現(xiàn)實(shí)原型選 取的合理性，通過校對(duì)，兩種優(yōu)化后的現(xiàn)實(shí)原型均符合 要求。

本研究從小學(xué)數(shù)學(xué)概念的含義和類型著手，闡述了 數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)歷程，揭示了現(xiàn)實(shí)原型與數(shù)學(xué)概念的關(guān) 系，并為小學(xué)數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)原型的優(yōu)化選取提出了解 決方案，對(duì)小學(xué)概念教學(xué)的理論研究和教學(xué)實(shí)踐有指導(dǎo) 意義。

仍存有遺憾，如：小學(xué)數(shù)學(xué)概念的梳理整合;現(xiàn)實(shí)原 型的分類準(zhǔn)則的細(xì)化;現(xiàn)實(shí)原型的意義和價(jià)值;以數(shù)概 念的角度為例詮釋現(xiàn)實(shí)原型的優(yōu)化選取方法等。這些問 題將是筆者下一階段研究的方向。

【參考文獻(xiàn)】

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