以退為進(jìn)
——芻議高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題技巧

唐 艷

(四川省德陽中學(xué)校 618000)

隨著人們對教育質(zhì)量的要求逐漸提高，越來越重視對學(xué)生能力的培養(yǎng).高中是學(xué)生在整個學(xué)習(xí)生涯中的一個重要的階段，在高中的教學(xué)過程中，教師不應(yīng)該僅僅是教授學(xué)生書本上的知識，而是應(yīng)該從書本的內(nèi)容出發(fā)，教授學(xué)生更多的數(shù)學(xué)思想和解題技巧.只有這樣，才能以不變應(yīng)萬變，應(yīng)對高中生涯中源源不斷的各種試題，才能更加有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績.以退為進(jìn)是一種基本的數(shù)學(xué)思想，在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題的教學(xué)過程中，以退為進(jìn)數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用被人們所熱議.基于此，對以退為進(jìn)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中的探析勢在必行.

一、函數(shù)的含義

在中國，函數(shù)一詞是清代數(shù)學(xué)家李善蘭最初使用的.他在1859年與英國學(xué)者烈亞力合譯的《代數(shù)學(xué)》一書中，將“function”譯作“函數(shù)”.函，即“信”，李善蘭老先生巧妙的用寄信來比喻函數(shù)，就是為了方便后來學(xué)習(xí)的人能夠輕易理解函數(shù)的意義.“你寫一封信”就是“一個自變量x”，“你寫的所有的信”構(gòu)成了集合為“值域{f(x)|x∈A}(?B)”，“你的朋友圈里的所有人”構(gòu)成的集合就是“集合B”.順著這個比喻往下理解，就很容易理解“使對于集合中的任意一個x， 在集合中都有唯一一個確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)”這句話了，就是說信x只能有一個收信人y，即f(x)， 不可能一封信有多個收信地址；而一個收信人卻可以收到很多信，即一個x只能對應(yīng)一個y，而一個y卻能有多個x與之相對應(yīng).

二、以退為進(jìn)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中運(yùn)用的意義

思維是開啟智慧的鑰匙，是開拓者手中的拐杖.以退為進(jìn)，是我國數(shù)學(xué)教育的重要思想，是教師進(jìn)行有效教學(xué)的重要策略和手段，是對我國原有數(shù)學(xué)教育思想和教育方法的重要改革，是踐行高中數(shù)學(xué)新課程改革標(biāo)準(zhǔn)的具體措施.以退為進(jìn)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中的運(yùn)用是新時代下新課改的要求，也是社會對新時代人才的要求.以退為進(jìn)，就是從抽象退到具體，從復(fù)雜退到簡單，從整體退到部分，總之，退到一個能夠解決問題的地方.

以退為進(jìn)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中的運(yùn)用為教師的實(shí)際教學(xué)指明方向，優(yōu)化了教師的教學(xué)過程，提高了學(xué)生對函數(shù)知識的吸收能力，提高了教師對學(xué)生的函數(shù)教學(xué)質(zhì)量和函數(shù)教學(xué)的實(shí)效性，有利于樹立學(xué)生對于函數(shù)學(xué)習(xí)的自信心，加強(qiáng)其面對問題積極應(yīng)對的決心，讓學(xué)生具備一定的邏輯思維能力和自主探究能力，使學(xué)生能夠充分的理解函數(shù)、掌握函數(shù)學(xué)習(xí)的基本定理和規(guī)律，讓學(xué)生們能夠熟練地運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)知識解決生活中的各項(xiàng)難題，讓高中數(shù)學(xué)的教學(xué)事半功倍，對于學(xué)生、教師、乃至社會意義重大.

三、以退為進(jìn)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中的運(yùn)用策略

1.以退為進(jìn)解填空題

退中有法，以退為進(jìn)，退出了一些選擇題、填空題的解題技巧，看似旁門左道，卻節(jié)省時間，提高效率.以退為進(jìn)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中的運(yùn)用的第一個“退”就是退到特殊情況，這里的特殊情況包括：變量值的特殊化、函數(shù)解析式的特殊化、圖形形狀的特殊化、位置關(guān)系的特殊化、極端化也是一種特殊化、甚至還包括定量問題特殊成定性問題等等.由這些退到以上這些特殊情況，就產(chǎn)生了“特殊值法、特殊函數(shù)法、特殊圖形法、極端分析法、估算法”等由以退為進(jìn)而產(chǎn)生的解題策略.通過這些方法用來解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)的選擇、填空題是十分有效的，這些方法正是體現(xiàn)了——退中有術(shù)，實(shí)現(xiàn)了以退為進(jìn)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中的巧妙解決方法.

A.11 B.10 C.9 D.8

2.以退為進(jìn)解綜合題

很多學(xué)生對于解答數(shù)學(xué)綜合題往往感到無從下手,而在高考數(shù)學(xué)中,綜合題占了半壁江山.因此高考數(shù)學(xué)考得是否成功,很大程度上取決于綜合題.數(shù)學(xué)綜合題各個知識點(diǎn)之間是互相補(bǔ)充、制約和滲透的,考查考生對基本知識點(diǎn)的掌握、理解及運(yùn)用，綜合題的題設(shè)條件內(nèi)涵豐富,對解題過程中的轉(zhuǎn)化、變換、聯(lián)想、類比、歸納等技巧要求高,題目的結(jié)論還可以是開放性的,主要考查考生思維的發(fā)散性和獨(dú)創(chuàng)性,這些都是高考的熱點(diǎn).在函數(shù)解題的過程中，教師要在實(shí)際的高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動時，充分發(fā)揮學(xué)生們的發(fā)散思維.教師可以利用書本中的例題來對某一知識點(diǎn)進(jìn)行反復(fù)論證與講解，盡可能的融合書里的知識，抓住學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的盲點(diǎn)及誤區(qū)，培養(yǎng)學(xué)生多方面的解題思路，讓學(xué)生能更好地學(xué)習(xí)和吸收數(shù)學(xué)知識.

3.以退為進(jìn)看題目

“看懂題目”簡單的說就是審題，審題說起來簡單，真正做起來大多數(shù)人可以做到，但是能夠正確審題的學(xué)生卻少之又少.在高中函數(shù)的解題過程中，很多學(xué)生都會在解題過程中出現(xiàn)各種各樣的錯誤，其原因很多都是因?yàn)閷忣}的時候出現(xiàn)了失誤.在審題過程中，要求學(xué)生能都清楚的了解題目的題意，清楚明白命題的層次結(jié)構(gòu)及其隱藏條件，這樣才能解出題目的正確答案.所以，教師教授高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題技巧時，要注意培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，用以退為進(jìn)的方式讓學(xué)生能看懂題目，讓學(xué)生先退到學(xué)生最容易看清楚的地方，認(rèn)透了，鉆深了，然后再上去.引導(dǎo)學(xué)生能夠獨(dú)立自主的發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，使學(xué)生掌握解題的基本方法，進(jìn)行正確的解題，培養(yǎng)學(xué)生的韌性和毅力.讓學(xué)生從“完全不認(rèn)識”到“擔(dān)心害怕”到“壯著膽子試試”，從“慢慢認(rèn)識”到“找到規(guī)律”到“得出正確結(jié)果”.在遇到一個很困難的問題時，可將它們分解為一系列的步驟.

例如，已知f(θ)=sin2θ+sin2(θ+α)+sin2(θ+β)，其中α,β是滿足0≤α≤β≤π的常數(shù)，試問α,β為何值時，f(θ)與θ無關(guān).分析:根據(jù)題設(shè)條件可知，對于所有不同的θ，f(θ)恒為定值.為了探求α,β的值，所以我們考慮θ的幾個特殊值，θ=0,-α,-β，使f(θ)的表達(dá)式變得較為簡單.

以退為進(jìn)就是給學(xué)生設(shè)置問題串,把比較復(fù)雜的題目通過問題串的形式一步一步退到最基礎(chǔ)的題目上來,發(fā)現(xiàn)題目想考查的知識點(diǎn),讓學(xué)生更能理解出題者的意圖.

綜上所述，以退為進(jìn)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用和滲透至關(guān)重要，新時代下對高中數(shù)學(xué)的教學(xué)，應(yīng)該致力于將以退為進(jìn)應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)函數(shù)的教學(xué)中，用以退為進(jìn)的方式解填空題、綜合題，用以退為進(jìn)的方式讓學(xué)生看懂題目，教師在教學(xué)中要積極進(jìn)行以退為進(jìn)教學(xué)方式的提煉和滲透，加強(qiáng)對以退為進(jìn)的應(yīng)用，這樣才能實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自我完善以及綜合能力的提高，促進(jìn)我國高中數(shù)學(xué)的教學(xué)水平和教學(xué)質(zhì)量的提高，為社會和國家培養(yǎng)出優(yōu)秀的社會主義接班人.