關(guān)于利用初等變換法求解線性方程組的教學(xué)研究與探討

夏遠(yuǎn)梅

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 401331)

在《線性代數(shù)》的教學(xué)中，初等變換法是一類非常重要的方法，同時(shí)也是學(xué)生在利用初等變換法求解線性方程組過(guò)程中容易混淆的一類方法.學(xué)生之所以在利用初等變換法求解線性方程組過(guò)程中容易混淆，其根本原因是初等變換法包括初等行變換和初等列變換兩類方法，學(xué)生在利用初等變換法求解線性方程組過(guò)程中容易將兩種變換法混合使用并且我們?cè)谡n堂教學(xué)中往往只講了初等行變換求解線性方程組的方法，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)初等列變換求解線性方程組的方法的掌握總是懵懵懂懂，所以容易產(chǎn)生混淆.本文通過(guò)對(duì)兩類方法進(jìn)行介紹并解釋為什么需要這樣進(jìn)行分類，通過(guò)讓學(xué)生著手練習(xí)，建議學(xué)生采用初等行變換求解線性方程組的方法，使得學(xué)生熟練掌握利用初等變換法求解線性方程組并避免在求解過(guò)程中混淆使用.進(jìn)一步，采用線上線下相結(jié)合的教學(xué)模式，利用雨課堂讓學(xué)生線上提交答案，掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)與收獲情況，并根據(jù)學(xué)生掌握的情況對(duì)相應(yīng)的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行補(bǔ)充.下面首先回顧一下什么叫初等行變換、初等列變換和初等變換：

定義1 下面三類變換稱為矩陣的初等行變換：

(1)對(duì)換變換：將矩陣的某兩行對(duì)換位置(對(duì)換i，j兩行，記作ri?rj)；

(2)倍乘變換：以非零常數(shù)k乘矩陣某一行的各元(第i行乘k，記作ri×k)；

(3)倍加變換：將某一行所有的元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去(第j行的k倍加到第i行上，記作ri+rj×k).

把定義中的“行”變成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義(所用記號(hào)是將“r”變成“c”).矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.

考慮如下線性方程組：

其矩陣形式是Ax=b.當(dāng)b=0時(shí)，就是齊次線性方程組Ax=0.利用初等變換法求解上述線性方程，也就是對(duì)其增廣矩陣做初等變換，主要包括兩類：

利用高斯消元法對(duì)線性方程組進(jìn)行消元的過(guò)程，針對(duì)的是方程與方程之間的運(yùn)算，也就是相同未知量的系數(shù)之間在進(jìn)行運(yùn)算，而不是不同未知量的系數(shù)在進(jìn)行運(yùn)算.因此，利用初等變換法求解線性方程組需要注意：

(1)由于增廣矩陣(A,b)的第i列(1≤i≤n)對(duì)應(yīng)的是線性方程組xi的系數(shù)，第n+1列對(duì)應(yīng)的是線性方程組的常數(shù)項(xiàng)，利用高斯消元法對(duì)線性方程組進(jìn)行消元的過(guò)程對(duì)應(yīng)的也就是對(duì)(A,b)做初等行變換，故只能對(duì)(A,b)做初等行變換.

無(wú)錫陽(yáng)山地區(qū)歷史上就文化鼎盛，地域特征明顯。陽(yáng)山不僅是歷史名鎮(zhèn)、旅游名鎮(zhèn)，更應(yīng)該是文化名鎮(zhèn)。陽(yáng)山擁有悠久的歷史，有著豐富的自然資源，是吳文化的發(fā)祥地和重要源頭之一。現(xiàn)如今，在陽(yáng)山鎮(zhèn)黨委和政府的帶領(lǐng)下進(jìn)行進(jìn)一步的深化改革，堅(jiān)持走中國(guó)特色的社會(huì)主義道路，落實(shí)科學(xué)發(fā)展觀，進(jìn)一步弘揚(yáng)陽(yáng)山獨(dú)有的文化。

(2) 同樣地，由于增廣矩陣的轉(zhuǎn)置(A,b)T的第i行(1≤i≤n)對(duì)應(yīng)的是線性方程組xi的系數(shù)，第n+1行對(duì)應(yīng)的是線性方程組的常數(shù)項(xiàng)，利用高斯消元法對(duì)線性方程組進(jìn)行消元的過(guò)程對(duì)應(yīng)的也就是對(duì)(A,b)T做初等列變換，故只能對(duì)(A,b)T做初等列變換.

在利用初等變換法求解線性方程組時(shí)還常涉及兩個(gè)重要定理，用于判別線性方程組有解的情況：

定理1 齊次線性方程組Ax=0有非零解的充要條件為r(A)

定理2 (1)非齊次線性方程組Ax=b有解的充要條件為r(A)=r(A,b).

(2)非齊次線性方程組Ax=b有唯一解的充要條件為r(A)=r(A,b)=A的列數(shù)，即未知量的個(gè)數(shù)n.

定理3 若(Ax=b)有解，則其一般解(通解)為

x=ξ0+ξ,

ξ=k1ξ1+k2ξ2+…+kpξp

是Ax=0(稱為(Ax=b)的導(dǎo)出組)的一般解.

注該定理給出了非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).由該定理可知，要獲得非齊次線性方程組的一般解，只需要求它的一個(gè)特解和它導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

下面給出利用初等變換法求解線性方程組的具體步驟：

齊次線性方程組(Ax=0)

第一步 先用初等行變換(初等列變換)將系數(shù)矩陣A(系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置AT)化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣U(行簡(jiǎn)化階梯形矩陣U的轉(zhuǎn)置UT)；

第二步 將U或UT改寫(xiě)成方程組的形式，并整理成列矩陣的形式；

第三步 寫(xiě)出基礎(chǔ)解系，并寫(xiě)出其通解.

非齊次線性方程組((Ax=b))

第一步 先用初等行變換將增廣矩陣(A,b)(增廣矩陣的轉(zhuǎn)置(A,b)T)化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣(U,d)(行簡(jiǎn)化階梯形矩陣(U,d)的轉(zhuǎn)置(U,d)T)；

第二步 將(U,d)或(U,d)T改寫(xiě)成方程組的形式，并整理成列矩陣的形式；

第三步 寫(xiě)出(Ax=b)的一個(gè)特解及其導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系，根據(jù)定理3寫(xiě)出其通解.

例1 試用上述方法求下列齊次線性方程組的一般解:

解法一對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣：

x=c1ξ1+c2ξ2，其中c1,c2∈R.

解法二對(duì)系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置AT進(jìn)行初等列變換化為UT：

后續(xù)過(guò)程同解法一.

通過(guò)上述解法可以讓學(xué)生意識(shí)到解法一,也就是利用初等行變換求解線性方程組更不容易混淆.

在求解非齊次線性方程組的一般解時(shí)，我們?cè)谇懊嫣岬剑盒枨笏囊粋€(gè)特解和它導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.但是，在求導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系時(shí)，學(xué)生容易求成是非齊次線性方程組的線性無(wú)關(guān)的解，然后將其線性組合加上求的一個(gè)特解作為非齊次線性方程組的一般解.然而，非齊次線性方程組的解的線性組合一般不是它的解，所以這種求法是有問(wèn)題的.在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中需給學(xué)生重點(diǎn)強(qiáng)調(diào).進(jìn)一步，在雨課堂軟件設(shè)置一些問(wèn)答：包括對(duì)非齊次線性方程組的增廣矩陣的初等變換過(guò)程、特解的選擇、基礎(chǔ)解系的選擇，主要是學(xué)生易混淆的知識(shí)點(diǎn)等，然后在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中讓學(xué)生作答.通過(guò)學(xué)生的作答情況，對(duì)相應(yīng)的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行補(bǔ)充強(qiáng)調(diào).