由一道證明引發(fā)的思考

歐春暉

華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 湖北 鐘祥 431900

1 研究背景

中國(guó)剩余定理又稱(chēng)“孫子定理”，“中國(guó)余式定理”。1852年，英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“今有物不知其數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱(chēng)之為“中國(guó)剩余定理”.中國(guó)剩余定理應(yīng)用廣泛，在密碼學(xué)、群論、環(huán)模等領(lǐng)域均有深刻的研究?jī)r(jià)值.通過(guò)對(duì)其內(nèi)容的學(xué)習(xí)，本篇文章以一道習(xí)題為啟發(fā)，將該習(xí)題抽象，對(duì)中國(guó)剩余定理n＝2的情況進(jìn)行了討論.

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 理想互素 定義 幺環(huán)R的兩個(gè)理想I1和I2稱(chēng)為互素的，如果I1+I2＝R.

2.2 中國(guó)剩余定理 定理1設(shè)幺環(huán)R的理想I1，…，In兩兩互素，記I＝I1∩…∩In.那么有環(huán)同構(gòu):

3 習(xí)題及證明

習(xí)題

設(shè)σ1:R→S1和σ2:R→S2是幺環(huán)同態(tài)。定義σ:R→S1×S2，a? (σ1(a)，σ2(a)).

證明:

(1)σ是幺環(huán)同態(tài).

(2)kerσ＝kerσ1∩kerσ2.

(3)如果σ是滿(mǎn)同態(tài)，則理想kerσ1和kerσ2是互素的.

證明:

因?yàn)棣?和σ2都是幺環(huán)同態(tài)，所以σ是幺環(huán)同態(tài)。

(2)若α∈kerσ1∩kerσ2.則α∈kerσ1且α∈kerσ2.所以σ1(α)＝0，σ2(α)＝0.

所以σ(α)＝ (σ1(α)，σ2(α))＝ (0，0).所以α∈kerσ.所以kerσ1∩kerσ2∈kerσ.

若α∈kerσ.則σ(α)＝ (σ1(α)，σ2(α))＝ (0，0).所以σ1(α)＝0且σ2(α)＝0.

所以α∈kerσ1，α∈kerσ2.即kerσ∈kerσ1∩kerσ2.

綜上所述，kerσ＝kerσ1∩kerσ2.

(3)如果σ是滿(mǎn)同態(tài)，存在α使得σ(α)＝(1，0).即α∈kerσ2.

從而σ(1―α)＝ (σ1(1―α)，σ2(1―α))＝(0，1).即1―α∈kerσ1.

又因?yàn)棣?(1―α)＝1.所以kerσ1+kerσ2＝R.kerσ1和kerσ2是互素的.

4 進(jìn)一步思考

習(xí)題中第二問(wèn)得出kerσ＝kerσ1∩kerσ2.第三問(wèn)證明kerσ1和kerσ2是互素的.很容易聯(lián)想到中國(guó)剩余定理n＝2的情況:設(shè)幺環(huán)R的I1，I2理想互素，記I＝I1∩I2.那么有環(huán)同構(gòu):

證明:

所以存在α使得φ(α)＝ (1 +I1，I2).即α∈I2.

又因?yàn)棣?1)＝ (1+I1，1+I2).所以φ(1―α)＝ (I1，1+I2).即1―α∈I1.

因?yàn)棣?(1―α)＝1.所以I1，I2互素.

該證明說(shuō)明n＝2時(shí)中國(guó)剩余定理的逆定理成立，且利用以上結(jié)論也可以得到習(xí)題(3)的結(jié)論成立.

5 總結(jié)

中國(guó)剩余定理是數(shù)論中一個(gè)非常重要的定理，在密碼學(xué)、環(huán)模、群論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，本文通過(guò)對(duì)習(xí)題的分析及抽象，結(jié)合對(duì)中國(guó)剩余定理的思考得出n＝2時(shí)中國(guó)剩余定理的逆定理成立，這樣處理或許會(huì)簡(jiǎn)化某些研究步驟，但是此文章的不足之處在于只討論了n＝2時(shí)的情況，n＝3，4…的情況尚未討論.