從數(shù)學抽象素養(yǎng)的角度分析人教A版高中數(shù)學教材函數(shù)概念的抽象

白逸飛

【摘要】數(shù)學抽象素養(yǎng)是通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng).數(shù)學抽象經(jīng)歷了簡約階段、符號階段、普適階段，同時具有實物抽象、半符號抽象、符號抽象和形式化抽象四種表現(xiàn)形式.高中函數(shù)概念在高中階段是一個非常重要并且非常抽象的概念，所以，我們有必要從數(shù)學抽象素養(yǎng)的角度分析人教A版高中數(shù)學教材函數(shù)概念的抽象.本文將從數(shù)學抽象素養(yǎng)的內(nèi)涵及水平劃分、階段及表現(xiàn)形式、各表現(xiàn)形式在人教A版高中數(shù)學教材函數(shù)概念中的體現(xiàn)三部分進行論述.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學抽象;函數(shù)概念;內(nèi)涵及水平劃分;階段;表現(xiàn)形式

一、引言

2014年，教育部頒布了《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》，其中明確指出：研究制定學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學業(yè)質(zhì)量標準.2016年，《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》發(fā)布，核心素養(yǎng)包含人文底蘊、科學精神、責任擔當、實踐創(chuàng)新、學會學習、健康生活.2018年，教育部頒布的《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》凝練并提出數(shù)學學科核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，同時其也指出數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，貫串在數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.從數(shù)學抽象素養(yǎng)的角度出發(fā)分析教材非常有意義.

函數(shù)是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，并且作為高中數(shù)學課程的一條主線.函數(shù)在高中階段是一個非常重要并且非常抽象的概念.高中階段函數(shù)的概念具有抽象性，很多學生不理解高中數(shù)學函數(shù)的概念，這對后續(xù)學習函數(shù)的內(nèi)容產(chǎn)生了影響.所以我們很有必要從數(shù)學抽象素養(yǎng)的角度分析人教A版高中數(shù)學教材函數(shù)概念的抽象.

二、研究方法

本文采用文獻研究和案例分析的方法，收集關(guān)于數(shù)學抽象素養(yǎng)內(nèi)涵及水平劃分、階段及表現(xiàn)形式方面的文獻，同時結(jié)合人教A版高中數(shù)學教材函數(shù)概念的教學案例，分析數(shù)學抽象素養(yǎng)的各個表現(xiàn)形式在人教A版高中數(shù)學教材函數(shù)概念中的體現(xiàn).

三、研究問題

本文主要從數(shù)學抽象素養(yǎng)的角度分析人教A版高中數(shù)學教材函數(shù)概念的抽象，從數(shù)學抽象素養(yǎng)的內(nèi)涵及水平劃分、階段及表現(xiàn)形式、各表現(xiàn)形式在人教A版高中數(shù)學教材函數(shù)概念中的體現(xiàn)三部分進行論述.

四、數(shù)學抽象素養(yǎng)的內(nèi)涵及水平劃分

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出：數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng).數(shù)學抽象的對象是空間形式和數(shù)量關(guān)系，數(shù)學在本質(zhì)上研究的是抽象的東西.抽象是思維的基礎(chǔ)，學生只有具備了一定的抽象能力，對事物的認識才能從感性認識上升到理性認識，從而獲得事物的本質(zhì)特征.

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》把數(shù)學抽象素養(yǎng)水平劃分為三部分，水平一是高中學業(yè)水平考試的要求，水平二是高考的要求，水平三是大學自主招生的要求.水平一要求學生能夠在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學概念和規(guī)則;能夠在特例的基礎(chǔ)上歸納并形成簡單的數(shù)學命題;能夠模仿學過的數(shù)學方法解決簡單問題;能夠解釋數(shù)學概念和規(guī)則的含義，了解數(shù)學命題的條件與結(jié)論;能夠在熟悉的情境中抽象出數(shù)學問題;能夠了解用數(shù)學語言表達的推理和論證;能夠在解決相似的問題中感悟數(shù)學的通性通法，體會其中的數(shù)學思想;在交流的過程中，能夠結(jié)合實際情境解釋相關(guān)的抽象概念.

水平二要求學生能夠在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出一般的數(shù)學概念和規(guī)則;能夠?qū)⒁阎獢?shù)學命題推廣到更一般的情形;能夠在新的情境中選擇和運用數(shù)學方法解決問題;能夠用恰當?shù)睦咏忉尦橄蟮臄?shù)學概念和規(guī)則;能夠理解數(shù)學命題的條件與結(jié)論;能夠理解和構(gòu)建相關(guān)數(shù)學知識之間的聯(lián)系;能夠理解用數(shù)學語言表達的概念、規(guī)則、推理和論證;能夠提煉出解決一類問題的數(shù)學方法，理解其中的數(shù)學思想;在交流的過程中，能夠用一般的概念解釋具體現(xiàn)象.

水平三要求學生能夠在綜合的情境中抽象出數(shù)學問題，并用恰當?shù)臄?shù)學語言予以表達;能夠在得到的數(shù)學結(jié)論基礎(chǔ)上形成新命題;能夠針對具體問題運用或創(chuàng)造數(shù)學方法解決問題;能夠通過數(shù)學對象、運算或關(guān)系理解數(shù)學的抽象結(jié)構(gòu);能夠理解數(shù)學結(jié)論的一般性;能夠感悟高度概括、有序多級的數(shù)學知識體系;在現(xiàn)實問題中，能夠把握研究對象的數(shù)學特征，并用準確的數(shù)學語言予以表達;能夠感悟通性通法的數(shù)學原理和其中蘊含的數(shù)學思想;在交流的過程中，能夠用數(shù)學原理解釋自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象.

五、數(shù)學抽象素養(yǎng)的階段及表現(xiàn)形式

數(shù)學抽象素養(yǎng)經(jīng)歷了簡約階段、符號階段、普適階段三個基本階段.簡約階段指把握事物的本質(zhì)，把繁雜問題簡單化、條理化，并能夠清晰地表達;符號階段指去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡約化了的事物在內(nèi)的一類事物;普適階段指通過假設(shè)和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般的意義上解釋具體事物.張勝利也認為數(shù)學抽象具有層次性，將數(shù)學抽象具體劃分為實物抽象、半符號抽象、符號抽象、形式化抽象四個表現(xiàn)形式.其中實物抽象和半符號抽象處于簡約階段，符號抽象處于符號階段，形式化抽象處于普適階段.

實物抽象指以實物為對象進行抽象，其在很大程度上依據(jù)人對實物的直觀感受.例如，教師在講解圓的概念時，引入車輪、圓月等實物，給人以圓的直觀感受，這是抽象的第一步.

半符號抽象指部分屬性已經(jīng)從實物中提煉出來，但是并沒有完全脫離實物.例如，教師在講解函數(shù)的奇偶性時，通過觀察一些初中學過的具體的函數(shù)圖像，提煉出偶函數(shù)性質(zhì)是定義域關(guān)于原點對稱，圖像關(guān)于y軸對稱，但是這些僅僅基于一些具體的函數(shù)，并沒有推廣到所有的偶函數(shù)，沒有完全脫離實物.

符號抽象指完全脫離具體的內(nèi)容，抽象結(jié)果具有一定的可推廣性.下面我們列舉一個具體的例子：

一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I，區(qū)間DI：

如果x1，x2∈D，當x1