從“十字架”基本相似三角形出發(fā)的試題改編及反思

阮凱能

[摘? 要] 基礎(chǔ)的幾何圖形蘊(yùn)含豐富的幾何變化和數(shù)學(xué)模型，是編題的好素材. 文章以“矩形中的十字架型”為基礎(chǔ)圖形，編擬不同的試題，達(dá)到激發(fā)學(xué)生思維、提升學(xué)生綜合能力的目的.

[關(guān)鍵詞] 基礎(chǔ)圖形;十字架型;改編

基礎(chǔ)的幾何圖形，往往蘊(yùn)含豐富的幾何變化和數(shù)學(xué)模型. 因此，這樣的圖形是我們改編和命題的好素材. 數(shù)學(xué)教師應(yīng)能夠挖掘圖形特征，合理更改結(jié)構(gòu)、巧妙變化圖形、靈活整改條件，以改編題目來達(dá)到激發(fā)學(xué)生思想、考查學(xué)生綜合能力的目的.

改編背景

筆者在講授一節(jié)中考專題復(fù)習(xí)課“矩形中的十字架型”中，提出了十字架這個(gè)基礎(chǔ)模型. 如圖1，矩形中的垂直線段構(gòu)成一組相似三角形（△ADE∽△BAC），兩條垂直線段的比等于矩形的長(zhǎng)寬比 = . 我們稱圖1這個(gè)模型為“十字架”模型. 除了這兩個(gè)三角形相似以外，也易證明在這個(gè)圖形中所有的三角形都是相似的.

然而，在后續(xù)的練習(xí)中，筆者設(shè)置了這樣一個(gè)問題：如圖2，請(qǐng)找出圖中有哪些相似的三角形？失望的是，學(xué)生受模型學(xué)習(xí)的負(fù)向遷移，顧此失彼，只能找出一小部分的相似三角形. 實(shí)際上，圖中藏著許多組教師經(jīng)常歸納總結(jié)的特征三角形，例如：全等三角形（△ADG≌△CBH）、射影定理中的相似三角形（△AGE∽△DGA）、“A”字型相似三角形（△AEG∽△ABH）、“8”字型相似三角形（△AEG∽△CDG）、“十字架”型的相似三角形（△ADE∽△BAC）……

題目改編

針對(duì)這個(gè)有眾多特征的圖形，為了激發(fā)學(xué)生對(duì)于圖形的全面分析和綜合應(yīng)用能力，筆者在之后的教學(xué)中以“雙十字架”為模型改編了一系列的綜合壓軸題.

原稿：發(fā)現(xiàn)全等相似，綜合運(yùn)用.

命題說明：

原稿筆者的意圖是想讓學(xué)生能整體把握這個(gè)圖形的特點(diǎn)，考查學(xué)生對(duì)于圖形中全等三角形、相似三角形的觀察和運(yùn)用.

題目：

如圖3，在矩形ABCD中，DE⊥AC于點(diǎn)G，BF⊥AC于點(diǎn)H，

（1）證明：EG=FH;

（2）若AD=1，AB=3，求AG;

（3）若四邊形BEDF為菱形，AE=1，求菱形的邊長(zhǎng).

解析 （1）（2）略.

（3）設(shè)菱形邊長(zhǎng)為x，

由于△AEG∽△ABH，可得BH=（1+x）EG.？搖

由于△AGD≌△CHB，可得DG=BH=（1+x）EG，ED=EG+GD=（2+x）EG=x.

由射影定理可得AE2=EG·ED，代入x2-x-2=0，則x=2，菱形的邊長(zhǎng)為2.

分析 本題前兩問比較簡(jiǎn)單，學(xué)生只需要關(guān)注單一的兩個(gè)三角形的全等或者相似. 第三問則要綜合運(yùn)用前面的全等和相似的結(jié)論，學(xué)生要關(guān)注到更加全面的三角形之間的關(guān)系，能夠充分挖掘幾個(gè)三角形的相似. 同時(shí)，運(yùn)用簡(jiǎn)單的設(shè)元思想，用方程去解決問題也會(huì)讓本題的解答更加容易.

第1稿：變化基本圖形，本質(zhì)不變.

命題說明：

十字架模型在矩形中的結(jié)論是可以延續(xù)到平行四邊形甚至三角形中的. 將原題中的矩形變成平行四邊形時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)上面的全等和相似圖形也基本會(huì)得到保留. 同時(shí)，增加垂直的條件來構(gòu)造更多的相似的直角三角形也是筆者的改編方向之一. 于是，筆者設(shè)計(jì)了以一般的平行四邊形為背景的第1稿.

題目：

如圖4，在平行四邊形ABCD中，BD=12，BD⊥AE，BD⊥CF，

（1）求證：BG=DH.

（2）設(shè)BE∶EC=k，解決以下問題：

①若k= ，四邊形AECF的面積為48，求GE;

②若k= ，四邊形AECF為菱形，求GE.？搖

解析 （1）略.

（2）①由于BE∶EC=1∶4，那么BG∶GH∶DH=1∶4∶1. 由于BD=12，那么GH=8. 四邊形AECF的面積為48，GH為四邊形的高，則AE=6. 由于△BGE∽△DGA，則GE=1.

②如圖5，連結(jié)AC，EF，由中心對(duì)稱知道O平分EF. 由于BE∶EC=1∶2，BG∶GO=1∶1，則BG=3，GO=3. 設(shè)GE=x，由于△BGE∽△DGA，則AG=3x. 由射影定理可得GO2=AG·GE，代入3x2=9，得x= ，則GE= .

分析 從矩形到平行四邊形，圖中仍然保留了兩個(gè)垂直的十字架. 學(xué)生仍要觀察圖形中的幾組全等三角形和相似三角形. 在改編過程中，圖形的核心特征和結(jié)論并沒有改變.

第二問考查了菱形的知識(shí)點(diǎn). 學(xué)生能聯(lián)想到對(duì)角線垂直，就能發(fā)現(xiàn)新的相似三角形（△AGO∽△OGE）. 再利用幾組相似三角形之間的比例轉(zhuǎn)化，就可以建立方程.

第2稿：套嵌二次函數(shù)，形藏其中.

命題說明：

函數(shù)和幾何，是學(xué)生初中學(xué)習(xí)的重要板塊. 設(shè)計(jì)一道函數(shù)與圖形相結(jié)合的大題，也是筆者思考改編設(shè)計(jì)的一個(gè)方向. 筆者希望命制一道以第一稿為基礎(chǔ)的幾何與函數(shù)綜合題，能讓學(xué)生抓住幾何特點(diǎn)，挖掘函數(shù)隱藏信息，從而解決問題.

題目：

如圖6，矩形OABC在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax2-2ax+c交AB于點(diǎn)D，交OC于點(diǎn)E，

（1）當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，4）時(shí)，若y=ax2-2ax+c的頂點(diǎn)恰好在BC上，且∠CBE=∠AOD，求函數(shù)的解析式;

（2）當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為（m，2m）時(shí)，連結(jié)AC，若AC⊥OD于點(diǎn)F，AC⊥BE于點(diǎn)G，y=ax2-2ax+c的對(duì)稱軸恰好過點(diǎn)G，求函數(shù)的解析式.

解析 （1）由于函數(shù)y=ax2-2ax+c，可知函數(shù)對(duì)稱軸為x=1. 由于頂點(diǎn)在BC上，可知頂點(diǎn)P坐標(biāo)（1，4）. 由于B（2，4），可知點(diǎn)D、點(diǎn)E關(guān)于x=1對(duì)稱，OE=AD.？搖 由于∠CBE=∠AOD，可知△BCE≌△OAD，則CE=AD，那么OE=CE，則E（0，2），D（2，2）. 代入P（1，4），E（0，2），可知函數(shù)解析式：y=-2x2+4x+2.

（2）易證明△BCE∽△COA，那么CE=0.5m，則 = . 由于△CEG∽△COF，則 = = . 由全等可知：CG=AF，則CG∶GF∶AF=1∶3∶1. 由于函數(shù)對(duì)稱軸恰好過點(diǎn)G，則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1. 根據(jù)比例關(guān)系，那么m=5，則E（0，7.5），D（5，2.5），代入可知函數(shù)解析式：y= - x2+ x+ .

分析 本題中學(xué)生要挖掘函數(shù)y=ax2-2ax+c的隱藏信息：對(duì)稱軸為x=1;同時(shí)也要挖掘幾何圖形的信息：多組的全等三角形和相似三角形. 用幾何條件來提供代數(shù)的條件，比較好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想. 第二小題中，學(xué)生既可以用比例關(guān)系求得m的值，也可以用常規(guī)方法去表示G點(diǎn)的坐標(biāo). 題目起點(diǎn)較低，能讓不同思維層次的學(xué)生都有所收獲.？搖？搖？搖？搖

第3稿：挖掘中心對(duì)稱，加入圓形.

命題說明：

從整體上看，這個(gè)圖形是以長(zhǎng)方形的中心為對(duì)稱中心的圖形. 從這個(gè)特點(diǎn)分析，在這個(gè)圖形上添加其他的中心對(duì)稱圖形，既能豐富圖形的內(nèi)涵，同時(shí)又能保留圖形的優(yōu)美性質(zhì). 筆者在嘗試以后，考慮到垂直與圓有很多結(jié)論，于是在原圖形上添加一個(gè)圓，命制了第3稿.

題目：

，矩形ABCD中，DE⊥AC于點(diǎn)G，BF⊥AC于點(diǎn)H. 請(qǐng)完成以下問題：

（1）證明：△AGE≌△CHF;

（2）若AD=3，AB=4，求AG和△ADE的面積;

（3）連結(jié)EF，以EF為直徑作圓，分別交DE、BF于點(diǎn)M、N，若GM∶MD=1∶2，AG=3，求圓的半徑.

解析 （1）（2）略.

（3）如圖8，由中心對(duì)稱性質(zhì)可知EF與AC的交點(diǎn)就是圓心O. 由垂徑定理知EG=MG. 由于GM∶MD=1∶2，則EG∶GD=1∶3. 由△AGD≌△CHB可得DG=BH，則EG∶BH=1∶3. 由于△AEG∽△ABH且AG=3，可得GH=6，OG=3. 由射影定理可得AG2=EG·GD，代入EG= ，則r= =2 .

分析 對(duì)比第1稿，第3稿題目考查的知識(shí)點(diǎn)更加靈活多樣. 從大的整體入手，學(xué)生要把握?qǐng)D形的中心對(duì)稱，尋找圓心. 從小的圓和垂直入手，則提醒學(xué)生去聯(lián)想垂徑定理，計(jì)算半徑.

改編后本題的關(guān)鍵是靈活轉(zhuǎn)化GM∶MD=1∶2這個(gè)條件，將這個(gè)比例轉(zhuǎn)化到不同的相似三角形中去. 第3稿的改編，仍然需要學(xué)生觀察運(yùn)用圖形中的相似和全等三角形，圖形的核心特征和考查點(diǎn)仍然得到了很好的保留，幾個(gè)經(jīng)典模型的組合也很好地考查了學(xué)生的綜合運(yùn)用能力.

總結(jié)

1. 利用圖形的變化，特殊到一般相互轉(zhuǎn)化

改編題目的時(shí)候，最常見的思路就是變化圖形，這里使用平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱又是最常見的變化方式. 對(duì)于基礎(chǔ)形狀，我們?cè)诰庮}的時(shí)候又可以考慮從特殊到一般地進(jìn)行探究發(fā)現(xiàn). 例如，在原稿到第1稿的改編中，筆者就是把矩形變化成了平行四邊形. 反過來，我們也可以在一般的圖形上面加入一些特殊的形狀來引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步的探究思考. 例如，在原稿和第1稿中筆者最后都加入了菱形，豐富了題目的內(nèi)涵. 靈活變化基礎(chǔ)圖形，發(fā)掘圖形變化中“不變的內(nèi)核”，這是改編者的重要的技能.

2. 整合條件，調(diào)整結(jié)構(gòu)，凸顯考查方向？搖

題目的條件變化會(huì)讓題目煥然一新. 正確的改編要讓題目的一些條件隱藏起來，一些結(jié)論顯現(xiàn)出來. 例如，第3稿中筆者在最后一問中給出了“GM∶MD=1∶2”這個(gè)條件，凸顯了比例關(guān)系，是希望學(xué)生去聯(lián)想轉(zhuǎn)化相似的比例線段. 選擇半徑作為所求結(jié)論，是因?yàn)榍髨A的半徑是較常見的題型，筆者期望學(xué)生能夠聯(lián)想垂徑定理去求半徑. 利用條件的變化，我們可以改變考查方向和意圖. 對(duì)于題目的條件和結(jié)論的調(diào)整轉(zhuǎn)化能讓試題的考查方向變得清晰. 另外，變更條件和結(jié)論的方式，也常常能讓題目有更多的拓展可能.

3. 組合基本模型，創(chuàng)造改編方向

解決復(fù)雜的幾何題目往往需要學(xué)生有能夠從其中剝離出一些基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型的能力，教師也經(jīng)常會(huì)在日常的教學(xué)中補(bǔ)充滲透很多數(shù)學(xué)模型. 同樣地，對(duì)于題目的改編我們也可以參考這類方法，在原來的圖形上構(gòu)造基礎(chǔ)模型或者將幾個(gè)基礎(chǔ)圖形進(jìn)行組合重構(gòu). 在第1、2、3稿中筆者的改編想法都是緊緊圍繞對(duì)原稿中原本的圖形增添一些基本圖形來展開的，加入圖形、加入坐標(biāo)系甚至加入函數(shù)都是我們可以去思考改編題目的方向.

同時(shí)，我們可以將大題分小題設(shè)置，凸顯其中的某些基礎(chǔ)模型，這會(huì)讓題目有梯度，同時(shí)也是設(shè)計(jì)探究發(fā)現(xiàn)類大題的重要方法.