具強(qiáng)阻尼的Sine-Gordon型吊橋方程的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為研究

呂鵬輝，呂小俊

(蘇州大學(xué) 應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215325)

本文所研究的具強(qiáng)阻尼的Sine-Gordon型吊橋方程的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為：

utt-Δut+Δ2u+k2u++g(sinu)+f(u)=h(x)，(x，t)∈Ω×[0， ∞)，

(1)

u(x， 0)=u0(x),ut(x， 0)=u1(x)，x∈Ω，

(2)

u(x，t)=Δu(x，t)=0，x∈Γ.

(3)

其中Ω是R中具有光滑邊界的有界域， 其光滑邊界為Γ，k2是彈性系數(shù)， 函數(shù)為：

1990年吊橋方程由A.C.Lazer和P.J.Mckenna[1]作為非線性分析領(lǐng)域的新問題提出， 該方程描述了吊橋路面在垂直平面內(nèi)的震動(dòng)． 吊橋方程提出來(lái)之后， 眾多學(xué)者對(duì)該模型進(jìn)行了許多相關(guān)研究． 其中：Park等[2]得到了非線性阻尼吊橋方程的整體吸引子的存在性； 劉世芳等[3]研究了帶有歷史記憶的阻尼吊橋方程的長(zhǎng)時(shí)間行為， 并通過利用收縮函數(shù)的方法， 獲得解在強(qiáng)拓?fù)淇臻g下全局吸引子的存在性． 隨著對(duì)該方程地研究深入， 許多學(xué)者對(duì)各類吊橋方程的長(zhǎng)時(shí)間性態(tài)進(jìn)行了研究， 如自治吊橋方程的整體吸引子[4-5]， 維數(shù)估計(jì)[6-7]， 吊橋方程的指數(shù)吸引子[8-9]， 非自治吊橋方程的拉回吸引子[10-11]等. Sine-Gordon方程是波動(dòng)方程中的一個(gè)重要模型， 具有豐富的物理背景， 對(duì)該類方程的長(zhǎng)時(shí)間行為(包括整體吸引子、 指數(shù)吸引子、 維數(shù)估計(jì)等)也有許多學(xué)者進(jìn)行了研究， 可參見文獻(xiàn)[12—16]及其他相關(guān)文獻(xiàn)． 張建文等[12]利用算子半群理論證明了在一定邊界條件下系統(tǒng)存在連續(xù)解， 并且由算子半群分解的方法構(gòu)造出漸近緊的不變吸收集， 進(jìn)而得到系統(tǒng)整體吸引子的存在性．

有許多學(xué)者[17-19]研究了Kirchhoff型吊橋方程的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為． 而有關(guān)Sine-Gordon型吊橋方程的研究相對(duì)甚少． 因此， 本文在前人研究的基礎(chǔ)上， 根據(jù)吊橋方程和Sine-Gordon方程的特點(diǎn)， 研究具強(qiáng)阻尼Sine-Gordon型吊橋方程吊橋的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為， 包括在空間X=G2×H的整體吸引子的存在性， 整體吸引子A的Hausdorff維數(shù)及分形維數(shù)有限.

1 預(yù)備知識(shí)及相關(guān)理論

G4?G2?H?G-2，

其中G-2為G2的共軛空間．

下面定義Hilbert空間， 并賦予范數(shù)：

下文中出現(xiàn)的λ1為-Δ的第1特征值，Ci為不同正常數(shù)，Ci(·， ·)為依賴?yán)ㄌ?hào)內(nèi)的不同正常數(shù)． 為得到問題(1)～(3)的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為， 接下來(lái)給出相關(guān)理論．

引理1[20-21]若在Banach空間X中定義的一個(gè)連續(xù)半群{S(t)}t≥0滿足下列條件：

1)存在一個(gè)有界吸收集B?X， 使得對(duì)任意有界集B0?X， dist(S(t)B0，B)→0(t→+∞)；

2)S(t)可分解為S(t)=P(t)+U(t)， 其中P(t)是X→X的一個(gè)連續(xù)映射， 且對(duì)每個(gè)有界集B0?X， 使得：

則連續(xù)半群{S(t)}t≥0存在整體吸引子．

引理2[20]設(shè)半群S(t)在整體吸引子A上是Frechet可微的， 且存在時(shí)間t0， 使得對(duì)所有的t>t0是緊的， 若qm<0， 則整體吸引子A的Hausdorff維數(shù)和分形維數(shù)是有限的， 其中，

2 整體吸引子的存在性

定理1假定(H1):f∈C′(R)， 且

(4)

(5)

(6)

問題(1)～(3)存在唯一整體解u∈L∞(0， +∞；G2)，ut∈L∞(0， +∞；H).

注：由假設(shè)(H1)(4)可知， 存在兩個(gè)正常數(shù)C1，C2及η>0， 使得：

f(s)s+ηs2+C1≥0，F(xiàn)(s)+ηs2+C2≥0．

(7)

證明方程(1)與ut作H內(nèi)積得到：

(8)

(9)

結(jié)合(8)式和(9)式， 得：

(10)

由Gronwall不等式， 得：

(11)

令v=ut+εu， 則方程(1)可寫為：

vt-εv+ε2u-Δv+εΔu+Δ2u+k2u++g(sinu)+f(u)=h(x)，

(12)

方程(12)與v作H內(nèi)積得到：

(13)

(14)

由假設(shè)條件得：

(15)

(16)

將(15)～(16)式代入(13)式得：

(17)

(18)

(19)

(20)

所以， 對(duì)?R1>0， 存在t1， 使得：

由此， 可以得到G2×H的有界吸收集．

則B1是在G2×H中的有界吸收集．

(21)

其中j=1， 2， …，n， 當(dāng)n→∞時(shí)， 在G2×H中， (u0n，u1n)→(u0，u1).

對(duì)(21)在(0，t)上積分， 則有：

(22)

|g(sinun)-g(sinu)|≤3c1|un-u|，

即有：

兩邊對(duì)t求導(dǎo)， 再由wj在G2中的稠密性知：

utt-Δut+Δ2u+k2u++g(sinu)+f(u)=h(x)，

即u∈L∞(0，T；G2)，ut∈L∞(0，T；H)∩u∈L2(0，T；G1).

接下來(lái)， 證明解的唯一性.

令u(t)，v(t)是方程(1)～(3)對(duì)應(yīng)于初值(u0，u1)， (v0，v1)的兩個(gè)解， 則w(t)=u(t)-v(t)滿足：

wtt-Δwt+Δ2w+g(sinu)-g(sinv)+f(u)-f(v)+k2(u+-v+)=0，

(23)

(23)式與wt作H內(nèi)積得：

=(k2(v+-u+)+g(sinv)-g(sinu)+f(v)-f(u)，wt).

(24)

根據(jù)假設(shè)條件、 Holder不等式、 Young不等式和Poincare不等式， 得：

(25)

(26)

(27)

將(25)～(27)式代入(24)式， 得：

(28)

運(yùn)用Gronwall不等式可得解的唯一性,則解的唯一性證明完畢． 此外， 由定理1， 則B1是半群{S(t)}t≥0在X中的有界吸收集， 從而有下列定理．

定理2在定理1假設(shè)條件下， 則球B1=BX(0，R1)是問題(1)～(3)生成的解半群{S(t)}t≥0在X中的有界吸收集， 即對(duì)X中任意有界集B， 存在t1=t1(B)， 使得當(dāng)t≥t1(B)時(shí)， 有S(t)B?B1.

接下來(lái)， 為得到整體吸引子， 將解半群進(jìn)行分解， 具體如下：

設(shè)u=v+z， 其中：

ztt-Δzt+Δ2z=0，z(0)=u0，zt(0)=u1;

(29)

vtt-Δvt+Δ2v=h-f(u)-g(sinu)-k2u+:=φ，v(0)=0，vt(0)=0．

(30)

引理3如果 (u0，u1)∈B， (z，zt)是(29)式的解， 則

且

R(t)→0， 當(dāng)t→+∞.

證明(29)式分別與zt，εz作H-內(nèi)積， 得：

(31)

由定理1假設(shè)條件， 則存在正常數(shù)κ，ρ， 使得：

(32)

(33)

(34)

(35)

通過Gronwall不等式得到：

(36)

引理3結(jié)論證明完畢．

引理4如果(u0，u1)∈B， (v，vt)為(30)式的解， 則存在緊集N(T)?X且(v，vt)∈N(T).

證明對(duì)(30)式兩邊同時(shí)乘以算子A1/4， 得到：

ξtt-Δξt+Δ2ξ=A1/4φ，ξ(0)=0，ξt(0)=0，

(37)

其中ξ=A1/4v． 令η=ξt+εξ， 則

ηt-εη+ε2ξ-Δη+εΔξ+Δ2ξ=A1/4φ，

(38)

(38)式中的方程與η作H-內(nèi)積， 得到：

(39)

由定理1假設(shè)條件， 得：

(40)

(41)

(42)

結(jié)合(40)～(42)式， 得：

(43)

(44)

(45)

根據(jù)G3×G1→X是緊嵌入的， 則得到G3×G1的有界集是X的緊集． 引理4結(jié)論證明完畢．

定理3在定理1的假設(shè)條件下， 由問題(1)～(3)生成的連續(xù)解半群{S(t)}t≥0在X中存在緊的整體吸引子．

證明定義P(t)(u0，u1)=(z(t)，zt(t))，U(t)(u0，u1)=(v(t)，vt(t)).

顯然，S(t)=P(t)+U(t)． 引理3表明任意的(u0，u1)∈B?X， 算子P(t):X→X是連續(xù)的， 并且滿足引理1的2)． 同時(shí)， 引理4表明U(t)是一致緊的． 再由定理2， 存在有界吸收集， 所以{S(t)}t≥0在X中具有緊的整體吸引子． 定理3證畢．

3 整體吸引子的維數(shù)估計(jì)

定理4在定理1假設(shè)條件下， 問題(1)～(3)生成的整體吸引子A的Hausdorff維數(shù)、 分形維數(shù)有限．

證明問題(1)～(3)形式上的線性化方程為：

Utt-ΔUt+Δ2U+k2Ut+g′(sinu)cosu·U+f′(u)U=0，U(0)=ξ，Ut(0)=ζ．

(46)

第1步證明變分方程解的存在性， 方法類似于證明整體解的存在性， 并結(jié)合定理1可知存在唯一解U， 且(U，Ut)∈L∞(R+，G2×H)．

第2步證明S(t)在A上是一致可微的．

定義L(t，φ0):G2×H→G2×H，L(t，φ0)(ξ，ζ)=(U，Ut)，φ0∈A， 則

L(t，φ0)=DS(t)φ0，

證明S(t)在X=G2×H上的有界集上是Lipschitz連續(xù)．

φ(0)=ξ，φt(0)=ζ，

(47)

在(47)兩端用φt作H內(nèi)積， 得：

(48)

(49)

(50)

(51)

將(49)～(51)式代入(48)式， 則有：

(52)

由Gronwall不等式， 得到：

即

令?=φ-U， 則?滿足：

?tt-Δ?t+Δ2?+g′(sinu)cosu·?+f′(u)?=F，

(53)

對(duì)(53)兩端用?t作H內(nèi)積， 則有：

(54)

(55)

(56)

(57)

將(55)～(57)式代入(54)式， 則有：

(58)

由Gronwall不等式知：

所以， 對(duì)任一t， 當(dāng)(ξ，ζ)→0時(shí)， 有：

即得到S(t)在A上是Frechet可微的.

第3步整體吸引子A的Hausdorff維數(shù)、 分形維數(shù)有限．

首先把方程(1)～(3)寫成在空間X上的一階抽象發(fā)展方程.令ψ=(u，ut+εu)T， 則ψ滿足

ψt+Λεψ+G(ψ)=0，ψ(0)=(u0，u1+εu0)T，

(59)

其中

G(ψ)=(0，h(x)-k2u+-g(sinu)-f(u))T，

其中I為恒等算子．

記{Sε(t)}為由(59)式生成的群， 則對(duì)φ0=(u0，u1)T∈X，Sε(t)φ0=RεS(t)R-εφ0， 其中Rε是X中的一個(gè)同構(gòu)Rε:(u，ut)→(u，ut+εu)．

所以， 記A為{S(t)}的整體吸引子， 則RεA為{Sε(t)}的整體吸引子， 且它們有相同的維數(shù).現(xiàn)估計(jì)RεA的維數(shù)． 而(59)式的一階變分方程為：

Ψt=-ΛεΨ-G′(ψ)Ψ≡F′(ψ)Ψ，

(60)

其中，Ψ=(U，Ut+εU)T，G′(ψ)Ψ=(0， -k2U+-g′(sinu)cosu·U-f′(u)U)T， 初始條件為：

Ψ(0)=ω=(ξ，ξt+εξ)T∈X.

(61)

設(shè)Ψ1(τ)，Ψ2(τ)， …，Ψm(τ)為(60)～(61)式分別對(duì)應(yīng)于初值ω1(τ)，ω2(τ)， …，ωm(τ)，ωi∈X的解， 并記Φj(τ)=(ξj，ζj)T，j=1， 2， …，m為空間Qm(τ)E0=span{Φ1(τ)，Φ2(τ)， …，Φm(τ)}的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基， 則：

根據(jù)引理3， 存在M>0，α≥0， 使得：

(62)

根據(jù)引理4， 存在常數(shù)c>0， 使得：

U(t，φ)G2+δ×Gδ≤c， ?φ∈A，t≥0， 0<δ<<1，

(63)

(64)

因此， 根據(jù)(62)～(64)式， 得到：

綜合上述， 得到：

其中λj，j=1， 2， …，m為-Δ的前個(gè)特征值， 所以

(65)

qm<0.

(66)

根據(jù)文獻(xiàn)[22]可得，RεA的Hausdorff維數(shù)(dimH)和分形維數(shù)(dimf)分別滿足：

dimH(RεA)≤m， dimf(RεA)≤2m，

這里的m由(66)決定， 所以

dimH(A)≤m， dimf(A)≤2m，

證畢.