基于旋量理論的全方位移動機器人運動與誤差分析

葉長龍，王 瑞，趙 東，于蘇洋

(沈陽航空航天大學 機電工程學院，沈陽110136)

全方位移動機器人以其全方位運動特性被廣泛關注和應用，尤其在一些特殊場合，如裝配車間，其作為移動裝配機器人的運動平臺，使裝配變得更加靈活方便[1-2]。為了滿足高端裝配需要，仍需進一步分析其運動及誤差以尋求提高運動精度的方法。

目前機器人的運動學分析建模與誤差分析建模多采用速度適量法[3]和矩陣法[4]。然而當同一構件兩端關節(jié)的軸線互相平行時，參數(shù)的微小變化將導致末端位姿的階躍，使得機構運動學模型中的參數(shù)映射不連續(xù)，若采用旋量方法會避免這種情況發(fā)生。荊學東等[5]應用螺旋公式使用矩陣指數(shù)和指數(shù)積建立了機器人運動學模型。Yi BJ等[6]用旋量理論建立了移動平臺的運動學模型。Moon等[7]將旋量矩陣微分獲得機器人的的誤差矩陣。

本文應用虛擬連桿原理[8-10]和旋量理論方法[11-14]，以實驗室研發(fā)的基于MY4輪的全方位移動裝配機器人(MY4-robot)為研究對象，建立其運動學模型與誤差模型，分析了各誤差對裝配精度的影響，最后提出改進方法。

1 全方位機器人運動學模型

1.1 MY4-robot

圖1為實驗室自主研發(fā)的MY4-robot試驗樣機,主要包括全方位移動平臺和并聯(lián)裝配平臺兩部分，末端執(zhí)行器安置于O1點。其結構與文獻[15]中MY3-robot的不同僅在于其全方位移動平臺采用并聯(lián)式MY輪組(即MY4輪)結構，MY4-robot相關參數(shù)如表1所示。

1.2 全方位機器人運動學模型建立

1.2.1 全方位移動平臺的運動學模型

MY4-robot底盤輪結構布局如圖2所示，4組MY4輪組均勻布置，編號1～4，αj為j號輪組的布置角。移動平臺坐標系xroryr與實際坐標系xwowyw重合。or為平臺的幾何中心，設定平臺在圖2a所示位姿為初始位姿。

圖1 MY4-robot樣機

表1 機器人的結構性能參數(shù)

圖2 全方位移動平臺結構

全方位移動平臺的運動可看作：沿xw方向的平移sx，沿yw方向的平移sy及繞幾何中心or的自轉θr。如圖3所示，此時世界坐標系為固定基，機器人的位姿變化為xr→x′ry′r→x″ry″r。

圖3 全方位移動平臺運動分析

由于MY4輪組的驅動始終沿yjr軸方向，為了得到MY4輪組速度與全方位移動平臺運動速度的關系，選取變化后輪組坐標系為固定基，以1號輪組為例，如圖4所示。

圖4 1號輪組為固定基

當移動平臺按如圖4a方式運動時，全方位移動平臺的運動學正解指數(shù)積POE公式為

(1)

移動平臺按圖4b所示方式運動也可以到達x″ry″r位姿，全方位移動平臺的運動學正解指數(shù)積公式為

(2)

由公式(1)、(2)得到螺旋運動方程

(3)

式(3)中：ξ11=[0,1,0]T、ξ12=[0,0,1]T、ξ13=[1,0,0]T、ξrx=[0,cθrφ1,-sθrφ1]T、ξry=[0,sθrφ1,-cθrφ1]T、ξrθ=[1,0,R]T，表示移動平臺運動后的運動旋量坐標，其中cθrφ1=cos(θr+φ1)，sθrφ1=sin(θr+φ1)。

輪組驅動只沿yjr軸方向，故由式(3)取得

(4)

同理綜合2、3、4號輪組可得到全方位移動平臺的逆運動學模型

ψP=JP·VP

(5)

式(5)中：VP=[ωP,vx,vy]T，為全方位移動平臺速度矩陣；ψP=[v1,v2,v3,v4]T，為4組輪組驅動速度矩陣；

1.2.2 并聯(lián)裝配平臺的運動學模型

并聯(lián)裝配平臺的驅動絲杠實現(xiàn)舉升平臺上下的伸縮運動，直線伸縮導軌對上平臺起到一定的限位作用，使上平臺只能繞著導軌的上鉸接位置翻轉，所以并聯(lián)裝配平臺具有兩個自由度：即通過兩側的絲杠實現(xiàn)上平臺沿著z軸方向的舉升和繞著x軸翻轉，所以針對并聯(lián)機構的運動只需要在zroryr面內進行分析。

圖5為并聯(lián)機構的zr-or-yr面內結構簡圖。圖5中，θ10、θ11、θ21、θ30、θ31、S1、S2、S3表示關節(jié)變量，{S}表示慣性坐標系，{T}表示工具坐標系，末端執(zhí)行器固定于O1點。并聯(lián)機構包括3條子鏈：1號鏈P0-P1-O1，2號鏈Or-O1，3號鏈Q0-Q1-O1。為了簡化計算,取如圖5所示時刻為參考位姿。

圖5 并聯(lián)機構zr-or-yr面內結構簡圖

圖5中3條子鏈的運動學正解指數(shù)積公式為

(6)

(7)

(8)

由公式(6)、(8)得到螺旋運動方程

(9)

式(9)中：ξP0=[1,0,l]T、ξ′P1=[1,acθ10,l-asθ10]T、ξS1=[0,sθ10,cθ10]T，表示并聯(lián)機構運動后1號鏈各運動副旋量；ξO1=[1,b,0]T、ξS2=[0,0,1]T，表示并聯(lián)機構運動后2號鏈各運動副的旋量坐標。

其中a=H+S1，(b=H+S2，c=H+S3)，sθ10=sinθ10，cθ10=cosθ10，后文采用同樣的表達方式。

(10)

同理，由式(6)、(7)推導可得

(11)

通過式(10)、(11)的相加與相減，得到并聯(lián)機構的逆運動學模型

ψb=Jb·Vb

(12)

式(12)中，Vb=[ωb,vz]T，為并聯(lián)裝配平臺末端速度矩陣；Jb=(pη1-qμ1)·(pη2-qμ2)，為逆雅克比矩陣，p=[ξP0+ξP1,ξQ0-ξQ1]+、q=[ξP0+ξP1,ξQ1-ξQ0]+、μ1=[2ξS2,2ξO1-ξP1-ξQ1]、η1=[0,ξQ1-ξP1]、μ2=[ξS1,ξS3]、η2=[ξS1,-ξS3];ψb=[vs1,vs3]，為絲杠伸縮的線性速度。

綜合式(5)、(12)得到全方位移動機器人的整體逆運動學模型

ψr=Jr·Vr

(13)

2 全方位移動機器人誤差模型

2.1 移動平臺誤差模型

式(5)兩邊同時乘以dt，可得到移動平臺的簡單誤差模型

(14)

2.2 仿真分析

圖6 移動平臺位置誤差仿真結果

通過比較圖6中的仿真結果發(fā)現(xiàn)平臺的位置誤差隨著平臺姿態(tài)周期性變化而呈現(xiàn)出正余弦周期性變化。分析圖6b、6c、6d、6f和6g，全方位移動平臺位置誤差幅值由圖6b中的0.707 mm升到6f中的1 mm和降到6c、6d及6g中接近于0 mm可知，對稱位置輪組的驅動誤差同向相等時可抵消對平臺位置誤差的影響，但對稱輪組驅動誤差反向時反而會增加對平臺位置誤差的影響。比較圖6a和圖6h，移動平臺位置誤差幅值由6a中的0.5 mm降到6h中的0.05 mm表明平臺的位置誤差與輪組驅動誤差成正比；圖6b和圖6e對比分析，位置誤差幅值都為0.707 mm可知，非對稱輪組驅動誤差的方向不會改變平臺整體位置誤差峰值大小，只會改變平臺達到位置誤差峰值時的姿態(tài)角度。

圖7中的仿真結果表明平臺的姿態(tài)誤差與平臺起始姿態(tài)角無關。圖7a表明隨著存在誤差的輪組數(shù)量的增加平臺的姿態(tài)誤差增大；圖7b表明平臺姿態(tài)誤差隨著輪組驅動誤差的增大而增大；分析圖7c發(fā)現(xiàn)輪組間驅動誤差方向相反時對平臺姿態(tài)誤差的影響有抵消作用。上述發(fā)現(xiàn)為降低該類全方位移動平臺位姿誤差提供了參考依據(jù)，即可以通過采取合適的控制方法提高各對稱位置輪組驅動誤差的同步性來降低平臺的位置誤差。同時，在單輪驅動精度很難進一步提高的情況下，轉而調整控制算法使輪組間驅動誤差方向相異，以達到進一步降低平臺姿態(tài)誤差的目標。

3 實驗

3.1 移動平臺實驗

移動平臺的仿真軌跡為

(16)

仿真結果如圖8所示。

在地面上粘貼長半軸為1 000 mm，短半軸為600 mm的橢圓理想軌跡，帶寬16 mm。機器人的運動過程如圖9所示。圖10顯示了移動平臺在運動過程中的實際軌跡，其中黑色區(qū)域為標定理想軌跡域，白色線條為記錄的實際軌跡。

因為機器人輪子驅動誤差很難定量控制，實驗中通過人為設定速度偏差，忽略不可控誤差，以驗證結論的正確性。通過圖9、圖10可以看出機器人成功地完成了設定的軌跡運動，說明對稱輪組驅動誤差同向相等時可抵消對平臺位置誤差結論的正確性，同時也驗證了運動學模型的正確性。

圖8 仿真結果

圖9 機器人跟蹤軌跡實驗

圖10 實際軌跡

3.2 舉升翻轉實驗

并聯(lián)平臺的仿真軌跡為

(17)

仿真結果如圖11所示。

對并聯(lián)裝配平臺進行了兩組實驗，兩組實驗分別為舉升實驗(如圖12所示)和翻轉實驗(如圖13所示)。實驗采用分辨率為0.1°的數(shù)字螺距尺來測量上平臺的翻轉角度，通過?？怂箍狄曈X檢測系統(tǒng)來測量其舉升高度，其分辨率為0.1 mm，在實驗過程中放置重物的重量為6 kg。兩組實驗的實驗數(shù)據(jù)如表2、表3所示。

圖11 仿真結果

圖12 舉升實驗

圖13 舉升實驗

表2 舉升實驗數(shù)據(jù)

通過分析實驗數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，基于運動學旋量模型的舉升和翻轉實驗誤差分別在1 mm和1°左右，驗證了并聯(lián)裝配平臺運動學模型的正確性，但與高精密作業(yè)精度要求還有差距。

4 結論

本文應用旋量理論的指數(shù)積公式建立了全方位移動裝配機器人的運動學模型，避免了位姿階躍。速度矢量方法建立的移動平臺運動學模型是先確定輪的驅動方式后建立模型，而旋量方法可以一次得到多種運動學模型，然后根據(jù)實際選取的驅動方式得到特定的運動學模型，通過仿真實驗與樣機實驗驗證了這種建模方法的有效性。并在此基礎上，應用旋量理論的指數(shù)積公式結合虛擬連桿原理建立了全方位移動裝配機器人的誤差模型。通過仿真實驗分析這種關系得到如下結論：

(1)對于該類全方位移動平臺，對稱的輪組的驅動誤差相近時平臺的位置誤差會減小，平臺的姿態(tài)誤差與輪組的誤差始終成正比，非對稱輪組驅動誤差的方向不會改變平臺整體位置誤差幅值大小，其只會改變平臺達到位置誤差峰值時的姿態(tài)角度；

(2)隨著存在誤差的輪組數(shù)量的增加平臺的姿態(tài)誤差增大，平臺姿態(tài)誤差隨著輪組驅動誤差的增大而增大，輪組間驅動誤差方向相反時對平臺姿態(tài)誤差的影響有抵消作用。

通過分析仿真結果提出幾點改進措施：

(1)根據(jù)全方位移動機器人在X和Y方向的精度要求的不同，調整機器人的姿態(tài)角度從而提高機器人在某一方向(如X和Y方向)的精度要求；

(2)在滿足運動要求前提下，采用盡量少的驅動輪組數(shù)量;

(3)提高鉸接的內孔與桿長的尺寸精度，以進一步提高整體運動精度。以上措施為該類全方位移動機器人運動精度的深入研究提供參考。