求最短距離，育核心素養(yǎng)

田淑琴

【摘要】教材的例題習(xí)題的教育價(jià)值不僅僅在于鞏固知識(shí)，更在于思想的滲透、文化的感染。習(xí)題中“將軍飲馬”題型的教學(xué)，應(yīng)從培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)出發(fā)，進(jìn)行思想方法的滲透、解題技能的傳授。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);“將軍飲馬”題型;解題教學(xué)

在提倡核心素養(yǎng)的教育背景下，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指滿足學(xué)生終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所必備的數(shù)學(xué)方面的必備品格和關(guān)鍵能力，是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。因此，核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)理念不僅要關(guān)注知識(shí)本身，還要關(guān)注知識(shí)的文化背景和學(xué)生的應(yīng)用遷移能力。下面以教材中一道習(xí)題為例，在解題教學(xué)中如何培養(yǎng)與滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，談?wù)劰P者的實(shí)踐與思考。

一、原題呈現(xiàn)

題目選自北師大版七年級(jí)下冊(cè)第五章《生活中的軸對(duì)稱》第三節(jié)《簡單的軸對(duì)稱圖形》第一課時(shí)的習(xí)題5.3第5題。原題如下：

如圖1所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使A，B到它的距離之和最短？

二、教學(xué)價(jià)值

本習(xí)題屬于著名的“將軍飲馬”題型，是一道經(jīng)典的幾何最值問題，語出唐朝詩人李頎的《古從軍行》：“百日登山望，黃昏飲馬傍交河?！边@個(gè)問題在西方也有傳說，早在古羅馬時(shí)代，亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫。有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求解這個(gè)讓他百思不得其解的問題，當(dāng)時(shí)，海倫稍加思索便圓滿地解答了這個(gè)問題。“將軍飲馬”題型不僅顯示著古人的數(shù)學(xué)智慧，而且充分彰顯著數(shù)學(xué)燦爛的文化價(jià)值和不朽的應(yīng)用價(jià)值。

一方面，學(xué)生在學(xué)習(xí)了“作一個(gè)點(diǎn)關(guān)于某條直線的對(duì)稱點(diǎn)”“線段公理”“軸對(duì)稱性質(zhì)”等數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上練習(xí)此題，旨在鞏固和聯(lián)系已學(xué)知識(shí)，發(fā)散學(xué)生思維。這類題型具有科學(xué)性、典型性、示范性和功能性，對(duì)學(xué)生的綜合要求高。

另一方面，最短距離問題一直是各省地市中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題，往往會(huì)以圓、菱形、正方形等具有軸對(duì)稱性的幾何圖形、二次函數(shù)等為載體出現(xiàn)，練習(xí)此題有助于學(xué)生獲得必要的技能，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)和解決問題奠定基礎(chǔ)、提供支持。因此，掌握此題的解題技巧尤為重要。

三、功能分析

基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中提倡的“四基”教學(xué)，筆者對(duì)本道習(xí)題的功能作以下層面的分析：

從知識(shí)層面上看，鞏固“作一個(gè)點(diǎn)關(guān)于某條直線的對(duì)稱點(diǎn)”“兩點(diǎn)之間，線段最短”“軸對(duì)稱性質(zhì)”等知識(shí)點(diǎn)。

從技能層面上看，發(fā)展學(xué)生的尺規(guī)作圖能力、抽象思維能力、分析問題和解決問題的能力。

從思想方法上看，在解題過程中讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想（求位于直線同側(cè)兩點(diǎn)到直線的最短距離之和轉(zhuǎn)化為求位于直線異側(cè)兩點(diǎn)的最短距離之和）、類比思想（作A/B的對(duì)稱點(diǎn)類比作B/A的對(duì)稱點(diǎn)）。

從活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)上看，學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，演繹、歸納“位于直線同側(cè)兩點(diǎn)到直線的最短距離之和”的思想方法，培養(yǎng)勇于質(zhì)疑、敢于創(chuàng)新的精神，積累數(shù)學(xué)探究、發(fā)現(xiàn)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)文化的情感，感受數(shù)學(xué)的文化價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。

同時(shí)，在教學(xué)過程中體現(xiàn)以上功能的有機(jī)整合。

四、教學(xué)方法

根據(jù)“讓學(xué)生從生活走進(jìn)數(shù)學(xué)、發(fā)揮學(xué)生的主體地位”這一課程基本理念，筆者嘗試從學(xué)生的情況出發(fā)：到七年級(jí)下學(xué)期，學(xué)生已經(jīng)具有初步的觀察和邏輯推理能力，活潑好動(dòng)的他們更希望獨(dú)立思考和發(fā)表見解。

鑒于此，筆者確定的教法是啟發(fā)引導(dǎo)法，同時(shí)在教學(xué)中采用多媒體、幾何畫板和板書相結(jié)合的教學(xué)手段，變抽象為形象，有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，有力地突破解題的難點(diǎn)。此外，筆者認(rèn)為應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生采用自主探索、討論學(xué)習(xí)、類比學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方法，具體為教師設(shè)問，學(xué)生思考，然后師生互動(dòng)交流，共同探索和解決題目。與此同時(shí)，在教學(xué)中，注意反饋調(diào)控，觀察學(xué)生的活動(dòng)參與度。

五、教學(xué)實(shí)施

1.獨(dú)立思考，動(dòng)手畫圖

師：數(shù)學(xué)史上的“將軍飲馬”題型，也就是“求最短距離問題”，可追溯到我國唐朝期間，甚至是西方古羅馬時(shí)代，當(dāng)時(shí)亞歷山大城的學(xué)者海倫稍加思索便解答了這個(gè)問題。通過前面的學(xué)習(xí)，我們嘗試獨(dú)自用尺規(guī)作圖的方法畫出奶站的位置。（學(xué)生自主探索，動(dòng)手畫圖，教師巡視。5分鐘后，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤做法主要有以下三種，其中圖4的做法占比重較大）

筆者通過分析得知，學(xué)生出現(xiàn)以上錯(cuò)誤的原因在于犯了“拿來主義”，將聯(lián)想到的知識(shí)點(diǎn)拿來就用，知識(shí)體系不完備，沒有找到問題的本質(zhì)。

2.教師啟發(fā)，轉(zhuǎn)換思想

師：觀察到A，B兩點(diǎn)位于街道的同側(cè)，我們嘗試改變A，B兩點(diǎn)的位置，使得兩點(diǎn)位于街道的異側(cè)。此時(shí)，奶站應(yīng)建在何處？（教師使用幾何畫板，將居民區(qū)A的位置“拖”到街道的下方，如圖5）

眾生：連接A，B兩點(diǎn)，線段A B與街道的交點(diǎn)就是所求的位置。

（教師根據(jù)學(xué)生的說法，在幾何畫板上操作畫圖，如圖6）

師：很好！那么，我們這樣操作的依據(jù)是什么？

生1：兩點(diǎn)之間，線段最短。

師：正確！現(xiàn)在，我們將居民區(qū)A的位置“拖”回到街道的“上方”，此時(shí)，奶站應(yīng)該建在何處？（如圖7）

教學(xué)說明：將位于直線同側(cè)兩點(diǎn)的最短距離轉(zhuǎn)化為求位于直線異側(cè)兩點(diǎn)的最短距離，將實(shí)際應(yīng)用問題抽象為數(shù)學(xué)問題，化難為易，接近學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”，滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想，實(shí)現(xiàn)技能層面、思想方法層面上的功能。

3.比較學(xué)習(xí)，深化認(rèn)知

生2：嘗試找到A點(diǎn)關(guān)于街道的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，與街道的交點(diǎn)就是奶站所在的位置。

師：非常好！我們一起用尺規(guī)作圖的方法將生2的畫法畫出來，那我們畫圖的第一步應(yīng)該怎么做？

眾生：畫出A點(diǎn)關(guān)于街道的對(duì)稱點(diǎn)A'。