在實踐中逐步建構數(shù)學概念
——以《分數(shù)的意義》教學為例

文 陸新強

《分數(shù)的意義》是在學生學完了整數(shù)和小數(shù)的基礎上進行的學習，也是分數(shù)的再認識。本堂課的學習是對分數(shù)的深入學習和探究，教學目標為認識單位“1”、概括出分數(shù)的意義、較完整地建立分數(shù)的概念，是由感性認識到理性認識的飛躍。我也曾在《分數(shù)的意義》公開課中充分體現(xiàn)新課程的教學理念，讓學生在動手操作、交流合作的過程中經歷分數(shù)知識的形成過程。從課堂的效果看很不錯，但是教學中發(fā)現(xiàn)學生容易對一些用分數(shù)表示的物體出錯，特別是容易混淆數(shù)量與分的份數(shù)。部分學生對單位“1”的理解還不夠，引導學生理解單位“1”是一個概念教學的過程，亦是由具體到抽象和概括的過程。本堂課從“一個圓的到多個圓的”進行研究，逐步拓展單位“1”的外延和內涵，試圖通過畫圖操作、比較想象引導學生認識“誰”的。下面談談自己在教學中如何引導學生在操作中經歷概念的形成過程，發(fā)展學生的數(shù)學抽象思維能力。

一、初次操作，感悟分數(shù)意義，感知一個整體

五年級的學生已經能從對圖形的直觀感知中理解平均分，會簡單地用分數(shù)進行表示并能正確地讀寫分數(shù)。但讓學生自己去尋找材料，用不同的物體表述已知的分數(shù)時，部分學生還存在困難，特別是有些學生還不清楚用線段、繩子、折紙等方法也可以表示分數(shù)；教學中還發(fā)現(xiàn)部分學生在操作過程中沒有把圖形平均分用分數(shù)來表示。由此看出，學生對分數(shù)的理解仍停留在表面，離真正建立分數(shù)的概念還有距離。教育心理學認為，學生獲得一個數(shù)學概念要從動作表征開始，通過動作表征積累豐富的感性認識，為概念的抽象積累思維材料。課的開始我從學生熟悉的引入，喚起學生已有的認識，提供豐富的、典型的、直觀的情境材料，引導學生在操作中建模的形成過程。

【教學片斷一】

師：怎么分？

生：平均分。

師：請同學們用不同的材料，通過折一折、畫一畫等方法來表示一下，比一比誰的方法多。

師：誰來匯報一下你是怎么想的？

……

師：通過動手操作，你發(fā)現(xiàn)了什么？

在這個過程中，學生通過直觀的實物，通過動手、動腦、動口，發(fā)現(xiàn)把一個物體平均分可以用分數(shù)來表示，在學生的展示和交流中，通過大量實物的呈現(xiàn)，使學生初步感知不同的物體都可以平均分成4 份，每一份就是它的。在這個過程中學生真真切切地感悟到的形成過程，同樣是，卻是不同物體的，讓學生初步感知每一個物體都可以看作一個整體，逐漸理解分數(shù)的含義，在頭腦中初步構建分數(shù)的概念模型，為后面研究“單位1”、真正建立分數(shù)的意義埋下伏筆。

二、再次操作，建立分數(shù)意義，感悟“單位1”

概念教學要幫助學生深入領會概念的內涵和外延，從而全面理解與把握概念。數(shù)學概念的抽象性決定了學生要想獲得正確的概念必然要經歷一個主動、復雜的思維過程，不是教師在教學中簡單地“灌”或“塞”給學生，而是讓學生經歷知識的探索過程。為了讓學生經歷完整的概念形成過程，我在創(chuàng)造分數(shù)和不斷反思的過程中逐漸生成對分數(shù)意義的教學，讓學生在不斷地操作過程中體驗數(shù)學，豐富學生對分數(shù)意義的理解。學生把對單個物體看作一個整體已有一定的認識，但對把多個物體看作一個整體還比較抽象或模棱兩可，這是本堂課的重點和難點。我為學生準備了《學習單》，要求動手操作表示4 個圓、8 個圓、12 個圓、40 個圓、x 個圓的，在操作交流中體驗、經歷分數(shù)意義的形成過程。

【教學片斷二】

（學生操作，討論交流，課堂氣氛活躍，教師巡視，收集學生的作品進行展示）

師：在這里我們可以把4 個圓看作一個整體，平均分成4 份，每份是它的

師：誰會這樣說？

生：把12 個圓看作一個整體，平均分成4 份，每份是它的

生：把40 個圓看作一個整體，平均分成4 份，每份是它的

師：同學們說得真好，把你的想法說給你的同桌聽一聽。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

師：在這里我們可以把4 個圓、8 個圓、12 個圓、許多圓都可以看作一個整體，這個整體在數(shù)學上叫做單位“1”。

師：同學們在生活中還可以把什么看作單位“1”？

生：把一盒粉筆看作單位“1”。

生：把一條公路看作單位“1”。

生：把我們班級的人數(shù)看作單位“1”。

師：我們可以把生活中的許多物體都看作單位“1”，把單位“1”平均分成若干份表示這樣的一份或幾份都可以用分數(shù)來表示。

通過讓學生動手分一分、動筆畫一畫、動腦想一想、動口說一說，進行實際操作，刺激學生多種感官的協(xié)同參與，從大量的具體實例出發(fā)，以學生的感性經驗為基礎，形成表象，初步建立分數(shù)的意義，會用語言來簡單地表述分數(shù)的意義。再通過舉例生活中的單位“1”，讓學生直觀感受一盒粉筆、一條公路、全班同學等都可以看作一個整體，感悟抽象的單位“1”，彌補抽象思維水平低的缺陷，有助于形成正確的概念。

三、深入操作，鞏固分數(shù)意義，融會貫通

分數(shù)與以前學過的數(shù)有所不同，以前學過的數(shù)都是絕對的，比如4 個圓、12 個棋子等，但分數(shù)是相對的，是通過部分數(shù)與整體的比較產生的，具有“量”與“率”的雙重屬性。例如：把12 個蘋果平均分成2 份，每份是這些蘋果的；如果平均分成4 份，每份是這些蘋果的。第一個問題學生往往填，第二個問題往往填，造成錯誤的原因是什么呢？錯誤的本質是學生未真正理解分數(shù)的意義，對分數(shù)“量”與“率”的雙重屬性不能正確表述。學生沒有真正理解把12 個蘋果看作單位“1”，每份是這些蘋果的幾分之幾與分的份數(shù)有關，與蘋果的數(shù)量沒有關系。《數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：數(shù)學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經驗基礎之上，幫助學生在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識和技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經驗。為了更好地鞏固分數(shù)的意義，我又設計了一個讓學生動手操作的機會，通過畫一畫、分一分創(chuàng)造自己喜歡的分數(shù)，并能在教師的引導下更好地理解分數(shù)的意義。

【教學片斷三】

師：把《任務單》上的蘋果分一分、畫一畫，創(chuàng)造出自己喜歡的分數(shù)，你是怎樣想的？

（教師巡視，學生操作）

師：誰來說一說你是怎么想的？

生：我把12 個蘋果看作單位“1”，平均分成2 份，其中的一份就是這些蘋果的

生：我把12 個蘋果看作單位“1”，平均分成3 份，其中的一份就是這些蘋果的

師：你還有不一樣的分數(shù)嗎？

生：我把12 個蘋果看作單位“1”，平均分成3 份，其中的兩份就是這些蘋果的

生：我把12 個蘋果看作單位“1”，平均分成6 份，其中的五份就是這些蘋果的

生：我把12 個蘋果看作單位“1”，平均分成4 份，其中的三份就是這些蘋果的

師：如果把12 個蘋果改成一些蘋果，又可以怎么表示呢？

生：我把一些蘋果看作單位“1”，平均分成6 份，其中的兩份就是這些蘋果的

生：我把一些蘋果看作單位“1”，平均分成12 份，其中的十份就是這些蘋果的

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

在這個分數(shù)活動的過程中，學生通過動手分一分，認識到把12 個蘋果通過不同的平均分可以表示不同的分數(shù)，不僅可以表示幾分之一，還可以表示幾分之幾。同樣把12 個蘋果變?yōu)橐恍┨O果，又是一次質的飛躍，通過平均分使學生真真切切理解分數(shù)的意義，溝通了具體與抽象、部分與整體、份數(shù)與分數(shù)之間的關系，凸顯了分數(shù)的本質特性。在相互交流的過程中，學生結合自己的親身體驗，概括出分數(shù)的意義，在數(shù)學活動中感受到了數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，切實提高了自主探究的學習能力。

總之，《分數(shù)的意義》這節(jié)課，教師利用數(shù)與形之間的對應轉化，搭建抽象思維和形象思維之間的橋梁，通過三次有效的操作，把概念教學由抽象變直觀、由難變易，讓學生在自主探究交流的過程中經歷了數(shù)學知識的形成過程，對學生來說受益終生。