小學(xué)生推理能力培養(yǎng)的三個(gè)階段

文 唐少雄

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。”推理作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)基本能力，受到了空前的重視。早在2001年的實(shí)驗(yàn)版課標(biāo)中就把“推理能力”列為六個(gè)核心詞語(yǔ)之一，2011年版的課標(biāo)更是賦予“推理能力”全新的解釋，并明確了推理能力的教學(xué)價(jià)值與目標(biāo)要求。邏輯推理是高中學(xué)生發(fā)展的六大核心素養(yǎng)之一，進(jìn)一步明確了推理能力的學(xué)科地位和價(jià)值取向?？梢?jiàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)把學(xué)生推理能力的培養(yǎng)和發(fā)展作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，貫穿在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程。推理是學(xué)生學(xué)習(xí)的基本能力，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和保障，是重要的學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)思想，教師應(yīng)重視學(xué)生推理能力的培養(yǎng)和發(fā)展。

一、小學(xué)生推理能力培養(yǎng)的總體目標(biāo)

從基本內(nèi)涵看，邏輯推理是指從一些數(shù)學(xué)已有的事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他的事實(shí)和命題。一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，讓學(xué)生憑借知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比等推斷其他的數(shù)學(xué)事實(shí)；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括概念、規(guī)律和性質(zhì)等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則加以證明。小學(xué)階段以合情推理為主，演繹推理為輔，把對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)貫穿于學(xué)生整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，在解決實(shí)際問(wèn)題中，這兩種推理經(jīng)常相輔相成、合二為一。合情推理用于探索思路，蘊(yùn)含在學(xué)生的數(shù)學(xué)探究中，引導(dǎo)學(xué)生在操作中發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理則用于一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)證明。合情推理的基本形式有歸納、類比，是一種從特殊到一般的推理；演繹推理則是從一般到特殊的推理，借助一般的數(shù)學(xué)事實(shí)推導(dǎo)出其特殊性，并加以證明。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)有具體明確的目標(biāo)要求，在第一學(xué)段中要著力培養(yǎng)學(xué)生“在觀察、操作等活動(dòng)中，能提出一些簡(jiǎn)單的猜想”“會(huì)獨(dú)立思考問(wèn)題，表達(dá)自己的想法”；第二學(xué)段則要“在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過(guò)程與結(jié)果”“會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)一些數(shù)學(xué)的基本思想”。從目標(biāo)要求看，第一學(xué)段重在培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，能結(jié)合數(shù)學(xué)活動(dòng)提出猜想，關(guān)注學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)；第二學(xué)段重在培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和創(chuàng)新意識(shí)。這就決定了，推理能力的發(fā)展具有一定的階段性，每個(gè)階段要有明確的目標(biāo)要求和滲透重點(diǎn)。

二、小學(xué)生推理能力培養(yǎng)的三個(gè)階段

在教材的編排上，人教版以《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》為指導(dǎo)，把推理貫穿學(xué)生整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程，從一年級(jí)上冊(cè)就開始有意識(shí)地滲透推理。教材的編排思路主要是逐步滲透、螺旋上升，突顯邏輯推理的階段性和發(fā)展性，根據(jù)學(xué)生的年齡特征和思維習(xí)慣，人教版教材對(duì)邏輯推理的滲透分三個(gè)階段，每個(gè)階段有明確的目標(biāo)要求。

第一階段：?jiǎn)⒚呻A段。

人教版教材對(duì)推理的滲透從一年級(jí)上冊(cè)就開始了，主要的編排特征是逐步滲透，重在啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。如《9 加幾》一課中，由于學(xué)生之前已經(jīng)在《10 的組成》中學(xué)會(huì)了湊十，而且也學(xué)會(huì)了連加的計(jì)算，這些是學(xué)生學(xué)習(xí)本課的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，而“湊十法”是本課教學(xué)的重點(diǎn)，是正式引入推理的載體。教材以“9＋4”為例，先引導(dǎo)學(xué)生擺小棒進(jìn)行計(jì)算，體驗(yàn)“接著數(shù)”的基本方法；接著，引導(dǎo)學(xué)生感受“湊十法”，即“9＋1＋3”的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程是學(xué)生推理的理論基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生把4 分成“1＋3”再進(jìn)行湊十；最后，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臍w納推理（如下圖）。

這是人教版滲透推理的雛形，也是正式引入推理的開始，比較完整地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，學(xué)會(huì)有理有據(jù)地推理。從一般的數(shù)學(xué)思考“接著數(shù)”，到有依據(jù)地?cái)?shù)學(xué)思考“湊十法”，重在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，促進(jìn)他們思維的發(fā)展，培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣。像這樣零散的推理在后續(xù)的“8、7、6 加幾”“5、4、3、2 加幾”比比皆是，這些數(shù)學(xué)思維都是“湊十法”的延續(xù)和發(fā)展，是類比推理思維形式的豐富與發(fā)展，到了一年級(jí)下冊(cè)《20 以內(nèi)的退位減法》更是“湊十法”的反思與推理，在“想加算減法”的基礎(chǔ)上借助“破十法”進(jìn)行退位減法，體會(huì)一般的歸納推理。一年級(jí)下冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”安排了《找規(guī)律》一課，奠定了“推理”的基礎(chǔ)地位，讓學(xué)生在找規(guī)律中體驗(yàn)歸納與類比的推理過(guò)程，感悟推理的基本思想，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。

第二階段：形成階段。

人教版二年級(jí)下冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角”編排了獨(dú)立單元“推理”，主要的編排特征是正式引入“推理”，讓學(xué)生結(jié)合具體的情境，初步學(xué)會(huì)用推理的思維進(jìn)行判斷，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)推理，重在感受推理的基本形式，學(xué)會(huì)有理有據(jù)地?cái)?shù)學(xué)思考，體會(huì)推理的應(yīng)用價(jià)值?！锻评怼芬徽n安排了兩個(gè)例題，例1 以小紅、小麗和小剛?cè)朔謩e拿了語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和品德與生活三本書為情境，讓學(xué)生在活動(dòng)中體會(huì)推理的思維形式。

教學(xué)中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從信息本身尋找解決問(wèn)題的突破口，讀懂信息背后蘊(yùn)含的信息。首先，要從既定的事實(shí)出發(fā)?！靶〖t拿的是語(yǔ)文書”這一信息是確定的，可以作為解決問(wèn)題的突破口，并以此為判斷依據(jù)，也可以進(jìn)一步理解剩下的兩本書分別是數(shù)學(xué)和品德與生活。其次，要從其他的信息尋求思路?！靶←惸玫牟皇菙?shù)學(xué)書”這一信息背后蘊(yùn)藏著兩條信息，一是小麗拿的不是數(shù)學(xué)書，二是剩下數(shù)學(xué)和品德與生活兩本書，這兩條信息是相互關(guān)聯(lián)的，是進(jìn)一步推理的基礎(chǔ)和前提。最后，進(jìn)行合情推理。剩下的兩本書是數(shù)學(xué)和品德與生活，因?yàn)樾←惸玫牟皇菙?shù)學(xué)書，所以，小麗拿的肯定是品德與生活。那么，剩下一本數(shù)學(xué)書就是小剛拿的。在看似簡(jiǎn)單的推理中蘊(yùn)含推理的基本形式，讓學(xué)生明白簡(jiǎn)單推理的思維形式，能確定的要先確定，能排除的要排除，要讀懂信息，還要讀懂信息背后的隱藏信息。同時(shí)，在邏輯推理時(shí)，要注意適當(dāng)?shù)爻橄?，引?dǎo)學(xué)生用形式化的語(yǔ)言表達(dá)，如用畫圖、列表等方法幫助學(xué)生梳理信息、理解信息，實(shí)現(xiàn)更好的推理。

例2 是例1 的豐富和發(fā)展，是在稍復(fù)雜情境中對(duì)信息的甄別與分析，培養(yǎng)學(xué)生尋找解決問(wèn)題的突破口，從推理的角度進(jìn)行思考和分析。

教材要求在16 宮格中判斷B 是幾，讀懂基本要求“每個(gè)數(shù)在每行、每列都只出現(xiàn)一次”，因此要引導(dǎo)學(xué)生思考：哪一個(gè)空格所在的行和列出現(xiàn)了三個(gè)不同的數(shù)？這樣就把“A 是幾”作為解決問(wèn)題的關(guān)鍵，A所在的行有了2，所在的列有了1 和3，這就有了推理的依據(jù)，A 就是4，把能確定的先確定下來(lái)。用同樣的推理方式，引導(dǎo)學(xué)生思考B 所在的行和列各有哪些數(shù)？找到行和列有2、3、4，所以B 應(yīng)該是1，接下去，讓學(xué)生自己嘗試推理其他的空格。教學(xué)中，要盡量引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)使用“因?yàn)椤浴薄霸僖驗(yàn)椤浴钡木涫奖磉_(dá)自己的推理過(guò)程，學(xué)會(huì)有理有據(jù)地推理。

在形成階段，教師首先要注重引導(dǎo)學(xué)生讀懂信息，發(fā)現(xiàn)推理的關(guān)鍵信息；其次要尋找突破口，找到最先能確定的既定信息，尋找推理的重要依據(jù)；接著，嘗試根據(jù)已有的信息合情推理，探尋推理的一般方法；最后，學(xué)會(huì)用一定的邏輯思維有依據(jù)地推理，形成推理的一般表達(dá)習(xí)慣，學(xué)會(huì)嚴(yán)謹(jǐn)有條理的推理過(guò)程，培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣。

第三階段：發(fā)展階段。

人教版教材六年級(jí)下冊(cè)總復(fù)習(xí)編排了“數(shù)學(xué)思考”獨(dú)立內(nèi)容，意在對(duì)第二學(xué)段所滲透的邏輯推理作梳理、總結(jié)和提升，為第三學(xué)段的數(shù)學(xué)探究提供思維基礎(chǔ)和方法保障，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。六年級(jí)下冊(cè)總復(fù)習(xí)中的“數(shù)學(xué)思考”集中安排了四道例題，涵蓋小學(xué)階段所涉及的合情推理和演繹推理兩種思維形式（見(jiàn)下表），這四道例題所采用的素材不一樣，呈現(xiàn)的形式也不一樣，但是其教學(xué)的內(nèi)涵是一樣的，都蘊(yùn)含著推理的思想方法。

例1 找規(guī)律 合情推理例2 列表推理演繹推理例3 等量代換例4 簡(jiǎn)單的幾何證明

這四道例題的編排思路由易及難、相互關(guān)聯(lián)、相互補(bǔ)充，完整呈現(xiàn)了小學(xué)階段的邏輯推理形式。

例1 的找規(guī)律是一年級(jí)簡(jiǎn)單找規(guī)律的高級(jí)形式，要求平面上幾個(gè)點(diǎn)可以連多少條線段，讓學(xué)生從簡(jiǎn)單入手通過(guò)尋找增加的點(diǎn)數(shù)和增加的線段數(shù)之間的關(guān)系，利用枚舉和數(shù)列，尋找蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，推理出點(diǎn)數(shù)與線段數(shù)之間的關(guān)系，是一種典型的合情推理。例2 的列表推理是對(duì)二年級(jí)推理形式的發(fā)展，從簡(jiǎn)單的列表推理到復(fù)雜情境中的列表推理，讓學(xué)生通過(guò)列表，逐步縮小與A 同班的人的范圍，最終確認(rèn)唯一符合要求的人。讓學(xué)生在列表推理中不斷排除矛盾、推出必然結(jié)果的思維方式，是一種演繹推理。例3的等量代換，在之前的編排中雖有涉及，但不系統(tǒng)，這里結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解等量代換時(shí)，可以用一個(gè)與它相等的量去代替，它是演繹推理的基礎(chǔ)，為第三學(xué)段解方程的方法、發(fā)展代數(shù)思想做準(zhǔn)備。例4 是一道經(jīng)典的用演繹推理來(lái)進(jìn)行證明的幾何題，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)沒(méi)涉及證明，通過(guò)本例題教學(xué)可以發(fā)展學(xué)生的推理能力，積累證明的基本經(jīng)驗(yàn)，有利于中小學(xué)教學(xué)的良好銜接。

在小學(xué)的整理和復(fù)習(xí)階段，安排了以“推理”為主線的這幾個(gè)內(nèi)容，讓學(xué)生系統(tǒng)地經(jīng)歷從特殊到一般的合情推理、從一般到特殊的演繹推理的過(guò)程，讓學(xué)生在觀察、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過(guò)程與結(jié)果。這樣的編排有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、獨(dú)立思考，體會(huì)一些數(shù)學(xué)的基本思想，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，結(jié)合實(shí)例體會(huì)推理的應(yīng)用價(jià)值和實(shí)踐意義。